Fourier-Reihen. Definition. Eine auf R definierte Funktion f heißt periodisch mit der Periode T 0, wenn f(x + T ) = f(x) x R.

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1 Fourier-Reihen Sehr häufig in der Natur begegnen uns periodische Vorgänge, zb beim Lauf der Gestirne am Nachthimmel In der Physik sind Phänomene wie Schwingungen und Wechselströme periodischer Natur Zumeist wird versucht, einen allgemeinen periodischen Vorgang durch einfachere zusammenzusetzen Die einfachsten periodischen Vorgänge sind solche, welche durch die trigonometrischen Funktionen cos nx und sin nx, n N beschrieben werden Definition Eine auf R definierte Funktion f heißt periodisch mit der Periode, wenn f(x + ) = f(x) x R Bemerkungen (i) Ist f periodisch mit der Periode, so ist auch k, k N eine Periode (ii) cos nx und sin nx, n N sind periodisch mit der Periode = π Definition Das (π-periodische) Funktionensystem ϕ (x) = 1 ϕ 1 (x) = cos x, ϕ (x) = sin x ϕ 3 (x) = cos x, ϕ 4 (x) = sin x ϕ 5 (x) = cos 3x, ϕ 6 (x) = sin 3x heißt trigonometrisches System Bemerkung Für das trigonometrische System gilt ϕ m (x)ϕ n (x)dx = πδ nm wenn n, ϕ (x)ϕ (x)dx = π 1

2 Physikalische Problemstellungen führen oft auf die Untersuchung von Randund Anfangswertproblemen bei partiellen Differentialgleichungen Da diese Differentialgleichungen meist linear sind, ist das Superpositionsprinzip anwendbar, sodass also die Lösung eines solchen Problems durch eine Linearkombination spezieller Lösungen (die bereits die Randbedingungen erfüllen) erzielt werden kann Dies bedeutet dann aber, dass eine gegebene Funktion f(x) (Anfangsbedingung) in eine Reihe nach einem vorgegebenen Funktionensystem zu entwickeln ist, ie f(x) = c k ϕ k (x) Ein Beispiel für eine derartige Entwicklung war ja bereits im Rahmen der aylor-reihen gegeben, wobei dort das Funktionensystem das System der Potenzen 1, x x, (x x ), war Im Fall von periodischen Funktionen liegt es nahe, eine solche Funktion in eine Reihe nach dem trigonometrischen System zu entwickeln f(x) = a + (a k cos kx + b k sin kx) k= Wir betrachten zuerst den Fall von gleichmäßig konvergenten Reihen Satz Sei X = [, π] und gelte f(x) = a X + (a k cos kx + b k sin kx) Dann sind die Koeffizienten durch a k = 1 π f(x) cos kxdx für k =, 1,, b k = 1 π f(x) sin kxdx für k = 1,, 3, gegeben Beweis Wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe ist f(x) stetig, die Funktionen f(x) cos kx und f(x) sin kx sind R-integrierbar auf [, π] und gliedweise Integration ist erlaubt Damit erhalten wir f(x) cos kxdx = ( a + l=1 ) (a l cos lx + b l sin lx) cos kxdx =

3 = a ( cos kxdx + l=1 a l cos lx cos kxdx + b l ) sin lx cos kxdx = πa k weil cos kxdx = πδ k, sin lx cos kxdx = cos lx cos kxdx = πδ lk und Analog zeigt man, dass f(x) sin kxdx = πb k Damit können wir nun einer R-integrierbaren periodischen Funktion eine trigonometrische Reihe zuordnen Definition Die π-periodische Funktion f(x) sei R-integrierbar auf [, π] Dann heißen die Zahlen a k = 1 π f(x) cos kxdx (k =, 1,, ) und b k = 1 π von f die f f(x) sin kxdx (k = 1,, 3, ) die Fourier-Koeffizienten und die mit diesen Koeffizienten gebildete trigonometrische Reihe zugeordnete Fourier-Reihe Bemerkung Im Falle der gleichmäßigen Konvergenz der Fourier-Reihe wird die Funktion f(x) auch tatsächlich durch die Fourier-Reihe dargestellt Im allgemeinen Fall einer R-integrierbaren Funktion ist dies nicht von vornherein gewährleistet In den meisten Fällen kommt man mit dem folgenden hinreichenden Kriterium aus Satz Sei f(x) eine π-periodische R-integrierbare Funktion Falls an einer Stelle x der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert f(x + ) bzw f(x ) sowie die verallgemeinerten rechts- und linksseitigen Ableitungen f + f(x (x ) = lim +h) f(x + ) h + h bzw f f(x (x ) = lim +h) f(x ) h + h existieren, konvergiert die Fourier-Reihe gegen das arithmetische Mittel 3

4 f(x + )+f(x ) (Im Falle der Stetigkeit an x und Existenz der einseitigen Ableitungen an x folgt also damit, dass die Fourier-Reihe gegen f(x ) konvergiert) Bemerkung Ist f(x) eine periodische Funktion mit der Periode, so kann man f eine Fourier-Reihe der Form f(x) a + ( ) ak cos πkx + b k sin πkx zuordnen, wobei a k = b k = f(x) cos πkx dx (k =, 1, ) und f(x) sin πkx dx (k = 1,, ) Dies wird durch die ransformation x = π πt bzw t = wobei nun die Funktion f(t) mit f(t) = f( π x erzielt, t) die Periode π besitzt Die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten von f(t) und Rücksubstitution liefert die Behauptung Satz Sei f(x) eine π-periodische Funktion 1) Ist f(x) eine gerade Funktion, ie f( x) = f(x) x, dann hat die zugeordnete Fourier-Reihe die Form a + a k cos kx ) Ist f(x) eine ungerade Funktion, ie f( x) = f(x) x, dann hat die zugeordnete Fourier-Reihe die Form b k sin kx Beweis Im Falle einer geraden Funktion f(x) ist der Integrand bei b k, f(x) sin kx eine ungerade Funktion Damit ist aber das Integral über das symmetrische Intervall [, π] Null Im Falle einer ungeraden Funktion f(x) ist der Integrand bei a k, f(x) cos kx ebenfalls eine ungerade Funktion Damit ist aber das Integral über das symmetrische Intervall [, π] Null 4

5 Bei manchen Anwendungen wie etwa der schwingenden Saite ist auf einem Intervall [, L] eine Funktion f(x) gegeben (Anfangsbedingung) Vorteilhaft wäre es, f(x) in eine Reihe mit nur Sinus-Gliedern zu entwickeln Um dieses Ziel zu erreichen, setzt man f(x) so auf das Intervall [ L, L] fort, dass f(x) auf [ L, L] ungerade ist, und anschließend zu einer periodischen Funktion mit Periode L auf ganz R fort Analog kann man vorgehen, wenn eine auf einem Intervall [, L] gegebene Funktion in eine reine Cosinus-Reihe entwickelt werden soll Beispiele 1) Die Vorzeichenfunktion 1 wenn π < x < f(x) = sign(x) = wenn x =,, π 1 wenn < x < π f(x ± π) = f(x) ist eine ungerade Funktion Ihre Fourier-Reihe enthält damit nur Sinus- Glieder b k = 1 π sign(x) sin kxdx = π sin kxdx = kπ cos kx π = kπ (1 ( 1)k ) Daraus folgt, dass b n = und b n+1 = 4 (n+1)π ist Die zugeordnete Fourier-Reihe ist damit sign(x) 4 π sin(n+1)x n+1 Gemäss dem früheren Satz stellt die Fourier-Reihe die Funktion überall dar, ie sign(x) = 4 sin(n+1)x π n+1 Setzt man etwa x = π, so folgt π 4 = ( 1) n n+1 sign(x) ) Die Betragsfunktion f(x) = x für x π und f(x ± π) = f(x) ist eine gerade Funktion und ihre Fourier-Reihe enthält daher nur Cosinus-Glieder a = 1 π x dx = π xdx = π 5

6 a k = 1 π x cos kxdx = π x cos kxdx = = k π (1 ( 1)k ) Daraus folgt, dass a n = und a n+1 = 4 (n+1) π ist Die zugeordnete Fourier-Reihe ist damit x π 4 π cos(n+1)x (n+1) Wiederum stellt die Fourier-Reihe die Funktion x überall dar, also x = π 4 π cos(n+1)x (n+1) Setzt man etwa x = ergibt sich 1 (n+1) = π 8 3) Die Sägezahnfunktion f(x) = x für < x < π und f(x ± π) = f(x) ist eine ungerade Funktion und ihre Fourier-Reihe enthält daher nur Sinus-Glieder Man zeigt leicht, dass b k = 1 k ( 1)k+1 ( 1) k+1 k sin kx ist und die Fourier-Reihe 4) Die Funktion f(x) = x für x π und f(x ± π) = f(x) ist eine gerade Funktion und ihre Fourier-Reihe enthält daher nur Cosinus- Glieder Dabei ist a = π 3 und a k = 4 k ( 1) k Die zugeordnete Fourier-Reihe ist somit x π ( 1) k k cos kx Da wiederum (siehe früher) die Fourier-Reihe die Funktion überall darstellt, gilt x = π ( 1) k k cos kx Setzt man x = π, erhält man man ( 1) k 1 k = π 1 1 k = π 6 Setzt man x =, erhält 6