mit der Anfangsbedingung u(x, 0) = cos(x), x R. (i) Laut besitzt die Lösung folgende Darstellung
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- Herbert Althaus
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1 Mathematik für Ingenieure IV, Kurs-Nr. 094 SS 008 Lösungsvorschläge zu den Aufgaben für die Studientage am 0./ Kurseinheit 5: Die Wärmeleitungsgleichung Aufgabe : Gegeben ist das Anfangswertproblem u t u mit der Anfangsbedingung u(, 0 cos(, R. (i Laut 5.. besitzt die Lösung folgende Darstellung u(, t 4πt ( ( y cos(y ep dy. (ii Wir starten mit einem Ansatz der Form u(, t T (tx(, R, t > 0, wobei T (0 gelten soll. Wegen u(, 0 T (0X( cos(, erhält man X( cos(, also u(, t T (t cos(. Mit diesem Lösungsansatz geht man in die Differentialgleichung. Es gilt u t (, t T (t cos(, u (, t T (t cos(, R, t > 0. Damit ergibt sich notwendig für T das Anfangswertproblem T (t T (t mit T (0. Die Lösung lautet T (t e t, t 0. Als Kandidat für eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung kommt somit nur u(, t cos( e t, R, t > 0 in Frage. Man verifiziert sofort, dass u(, t tatsächlich eine Lösung ist.
2 (iii Aus der Eindeutigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung (vgl. 5.. folgt nun mit (i und (ii cos( e t 4πt ( y cos(y ep ( dy, R, t > 0. Mit der Substitution z : (y und der Setzung β : über in geht obige Gleichung cos( e 4β β π cos( + z ep( βz dz, R, β > 0. Speziell für 0 erhält man e 4β β π cos(ze βz dz und damit die gewünschte Gleichung. (b Wir bestimmen nun die Lösung des Anfangswertproblems u t u Sie lautet gemäß Satz 5.. u(, 0 cos( e, R, t > 0. u(, t 4πt cos(y e y e ( y dy. In der Lösung zu Aufgabe 5..4 wurde gezeigt, dass y + ( y ( + y gilt. Daher wird zweckmäßigerweise substituiert + s y ( + ( bzw. y + s + +.
3 Damit erhält man für R und t > 0 u(, t 4πt cos e + π + Dies geht mit der Substitution z u(, t e + π + e + π e + π ( + s + e + e s + + ds + cos ( + s + e s ds. + s über in ( cos z + e + z + dz + ( cos z + Da sin eine ungerade Funktion ist, folgt Folglich ist + e + z dz [ ( ( ] cos(z cos sin(z sin e + z dz. + + ( sin(z sin e + z dz u(, t e cos π ( + cos(ze + z dz. Setzt man im letzten Integral β : +, so erhält man mit (a(iii u(, t ( e + π cos e t + π + + ( e +t + cos, R, t >
4 Aufgabe : Gesucht ist die Lösung der Wärmeleitungsgleichung ] u t u 0 in 0, π [ ]0, [, die der Anfangsbedingung u(, 0 4 sin(0 sin( für 0 < < π und den Randbedingungen u(0, t 0 und ( π u, t e 9t für t > 0 genügt. Wir setzen u in der Form u u L + u R + u A an (vgl Wir überprüfen zuerst die Verträglichkeitsbedingungen. Diese sind wegen f(0 0 g(0 und ( π f h(0 erfüllt. Bestimmung von u L : Wegen u(0, t 0 kann u L (, t 0 gewählt werden. Bestimmung von u R : Wie in 5..4 beschrieben, setzt man u R in der Form u R (, t α 0 + β µj e µ j t sin(µ j j an. Die Randbedingung ergibt u R ( π, t α 0 π + j Dies ist erfüllt mit α 0 0, µ, β µ sin u R (, t e 9t sin(. ( β µj e µ j t sin µ j π e 9t, t > 0. ( π, also β µ. Somit gilt Bestimmung von u A : Gemäß 5..5 setzen wir u A in folgender Form an u A (, t β j ep( 4j t sin(j. j 4
5 Weiterhin soll u A der Anfangsbedingung u A (, 0 4 sin(0 sin( u R (, 0 4 sin(0 sin( + sin( 4 sin(0 genügen. Da u A (, 0 β j sin(j gilt, liefert die Wahl j 5 und β 5 4 die j gewünschte Anfangsbedingung. (Die restlichen freien Parameter werden 0 gesetzt. Also u A (, t 4 ep( 00t sin(0. Als Lösung des Anfangs-Randwertproblems erhalten wir schließlich u(, t 4 ep( 00t sin(0 e 9t sin(, R, t > 0. Aufgabe : Wir berechnen die Lösung der Wärmeleitungsgleichung u t 4u 0 in {(, t R 0 < <, t > 0} mit der Anfangsbedingung u(, 0 ( und den Randbedingungen u(0, t u(, t 0. Wir überprüfen zuerst die Verträglichkeitsbedingungen. Diese sind wegen erfüllt. f(0 0 g(0 und f( 0 h(0 Da die Lösung an beiden Rändern verschwindet, genügt der Ansatz u u A, d.h. gemäß 5..5 startet man mit ( ( ( π u A (, t β j ep t jπ sin j. j Dabei soll u A (, t der Anfangsbedingung u A (, 0 (, 0 < < genügen. 5
6 Die β j sind also die Fourier-Koeffizienten der Funktion, die man aus f( : ( durch 6 -periodische Fortsetzung als ungerade Funktion erhält. Man berechnet mittels partieller Integration β j ( π ( sin j d 0 jπ ( jπ ( cos 0 6 ( sin j π 6 ( jπ j π cos 6 j π ( ( j ( jπ ( jπ ( cos d ( jπ sin d 6 [cos(jπ ] 0 j π 0, falls j gerade 7, falls j ungerade. j π Damit lautet die Lösung u(, t 7 π ( ( (k ep 4π (k (k π t sin 9 k mit 0 < <, t > 0. Aufgabe 4: Gegeben ist die Wärmeleitungsgleichung mit der Anfangsbedingung und den Randbedingungen u t 6 u 0 in ]0, π[ ]0, [ u(, 0 4π + sin(4 + 4 cos ( 9 u (0, t 4 + e 9, u(π, t 0 für t > 0. für 0 < < π Da u(π, t 0 für alle t > 0 gelten soll, genügt ein Ansatz der Form u u L + u A. 6
7 Bestimmung von u L : Gemäß 5.. ist die allgemeine Lösung der Wärmeleitungsgleichung, die die Bedingung u L (π, t 0, t > 0, erfüllen soll, durch u L (, t α 0 ( π + γ µj e 6 µ j t sin (µ j (π j gegeben. Um diese Lösung an die Randbedingung anzupassen, leiten wir zunächst u L partiell nach ab: Es soll nun gelten (u L (, t α 0 (u L (0, t α 0 j j µ j γ µj e 6 µ j t cos(µ j (π. µ j γ µj e 6 µ j t cos(µ j π 4 + e 9. Dies wird durch α 0 4, µ 4, γ 4 erfüllt, wobei die restlichen Koeffizienten verschwinden. Man erhält somit u L (, t 4( π e 4 9 t sin(4(π 4( π + e 4 9 t sin(4. Bestimmung von u A : Für eine Funktion u A (, t, die den Randbedingungen u A (0, t 0 und u A(π, t 0 genügen soll, übernehmen wir den (auf die Aufgabe bezogenen Ansatz aus 5..6(ii, dort ist k ; um den Ansatz für beliebiges k zu erhalten, muss man µ durch µ k ersetzen. Das ergibt ( u A (, t α j ep ( k j 4 (j t cos, j also für k 6 u A (, t j ( α j e j 44 (j t cos. Die freien Parameter müssen nun so bestimmt werden, dass die Anfangsbedingung ( 9 u A (, 0 4π + sin(4 + 4 cos u L (, 0 ( 9 4π + sin(4 + 4 cos 4( π sin(4 ( 9 cos 7
8 befriedigt wird. Wegen u A (, 0 j ( j α j cos mit j 5 und α 5, alle anderen α j 0, erfüllt, also ( u A (, t e t cos. ist die Anfangsbedingung Die Lösung des Anfangs-Randwertproblems lautet somit u(, t 4( π + e 4 9 t sin(4 e 9 6 t cos ( 9. Aufgabe 5: Es soll das Problem u t k u 0 für > 0, t > 0 mit der Anfangsbedingung und der Randbedingung u(, 0 e für > 0 u(0, t 0 für t > 0 gelöst werden. Wegen der einfachen Randbedingung setzt man f durch f( : f( ( e ( e für < 0 als ungerade Funktion nach ], 0[ fort. Vgl. 5.5., 5.5.: Wir erhalten die Lösung als Integral u(, t 4πk t 4πk t Wir gehen nun vor wie in 5.5.: Da y ( e y y ep ( dy 4k t y ep ( y ( y dy. 4k t y + ( y 4k t ( + 4k t y 4k t 4k t( + 4k t + + 4k t 8
9 gilt, liegt es nahe, die Substitution + 4k t η : y 4k t 4k t( + 4k t bzw. ( 4k t y η + + 4k t 4k t( + 4k t auszuführen. + 4k t Mit s : 4k t erhält man η sy 4k ts, y η s + 4k ts, dy s dη, y + y Also u(, t ( y η + und 4k t + 4k t ( η s + η 4k ts s + η 4k ts + η 4 (4k t s + 5 (4k t s. 6 4πk t ( η s + η 4k ts 4 + ( s 4πk t ep + 4k t 4k ts 4 ( η (4k t s + ep η 5 (4k t s 6 η e η dη + (4k t s 6 + 4k t s dη e η dη. Die anderen Integrale verschwinden, da die Integranden ungerade Funktionen sind. Mit e η dη π und (etwas salopp gerechnet η e η dy ( η ( ηe η dy η e η + e η dη π 9
10 ergibt sich nun für die Lösung u(, t s 4πk t ep s 5 (4k t 5 ( + 4k t 5 ( + 4k t ep ( + 4k t ep ( + 4k t ( π ( 6k t + (4k ts 4 + ( 6k t + (4k ts π (4k t s 6 ( + 4k t. 0
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