Bewertung von Forwards, Futures und Optionen

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1 Bewertung von Forwards, Futures und Optionen Olaf Leidinger 24. Juni 2009 Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

2 Überblick 1 Kurze Wiederholung Anleihen, Terminkontrakte 2 Ein einfaches Modell Bewertung von Terminkontrakten Bewertung von Optionen 3 Numerische Berechnung Grundlegende MC-Methode Minimum-Varianz-MC Pfadintegralmethode Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

3 Anleihen Der Besitzer einer Anleihe (oder Bond) erhält zum Fälligkeitszeitpunkt t einen vorher vereinbarten Betrag R, den Rückzahlungswert der Anleihe. Werden zu diskreten Zeitpunkten t 0,..., t n zusätzliche Zahlungen C(Couponzahlungen) geleistet, spricht man von Couponanleihe, ansonsten von Nullcouponanleihe (Zerobond). Wert der Anleihe zum Zeitpunkt t (bei konst. Zinssatz): B(t) = R exp[ i(t t)] + n C exp( i(t l t)) l=1 Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

4 Anleihen Der Besitzer einer Anleihe (oder Bond) erhält zum Fälligkeitszeitpunkt t einen vorher vereinbarten Betrag R, den Rückzahlungswert der Anleihe. Werden zu diskreten Zeitpunkten t 0,..., t n zusätzliche Zahlungen C(Couponzahlungen) geleistet, spricht man von Couponanleihe, ansonsten von Nullcouponanleihe (Zerobond). Wert der Anleihe zum Zeitpunkt t (bei konst. Zinssatz): B(t) = R exp[ i(t t)] + n C exp( i(t l t)) l=1 Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

5 Anleihen Der Besitzer einer Anleihe (oder Bond) erhält zum Fälligkeitszeitpunkt t einen vorher vereinbarten Betrag R, den Rückzahlungswert der Anleihe. Werden zu diskreten Zeitpunkten t 0,..., t n zusätzliche Zahlungen C(Couponzahlungen) geleistet, spricht man von Couponanleihe, ansonsten von Nullcouponanleihe (Zerobond). Wert der Anleihe zum Zeitpunkt t (bei konst. Zinssatz): B(t) = R exp[ i(t t)] + n C exp( i(t l t)) l=1 Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

6 (unbedingte) Terminkontrakte Ein (unbedingter) Terminkontrakt ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien, Käufer und Verkäufer. Es verpflichtet sich beide zu einem heute vereinbarten Preis K (Ausübungskurs) zu einem zukünftigen Zeitpunkt t ein Objekt zu verkaufen bzw. zu kaufen. Beispiel: Future, Forward. Abbildung: Innere Wert von Terminkontrakten beim Ausüben i.abh. des Objektpreises Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

7 bedingte Terminkontrakte, Option Eine Option ist ein asymmetrischer Terminkontrakt. Eine Verkaufsoption (Put) gibt der einem Verkäufer das Recht ein Objekt zu verkaufen. Die Kaufoption (Call) ist analog. Beim Terminkontrakt (Future, Forward) ist es eine Pflicht. Zwei Positionen aufgrund der Asymmetrie: long und short Call long : Käufer bei einer Kaufoption, Call short: Verkäufer bei einer Kaufoption Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

8 Option: Pay-off der long-position Abbildung: Innere Wert von Optionen für die long position beim Ausüben i.abh. des Objektpreises Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

9 Option: Pay-off und Gewinn/Verlust der short-position Abbildung: Innere Wert und Gewinn/Verlust einer Kaufsoption für den Verkäufer beim Ausüben i.abh. des Objektpreises Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

10 Option: Gewinn/Verlust von Portfolios Zum Verständnis von Portfolios sind Pay-off- und Gewinn/Verlust-Diagramme nützlich. Einfaches Beispiel: Straddle (gekaufte Put und Call mit gleichem Ausübungskurs) Abbildung: Gewinn/Verlust eines Straddle beim Ausüben i.abh. des Objektpreises Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

11 Ausgangssituation Der Wert von Optionen, Futures und Forwards sind allgemein unbekannt. Wir können alle Wertpapiere duplizieren, d.h. ein Portfolio aus Aktien und Anleihen erzeugen, so dass das Duplikat und das Original den gleichen Pay-off besitzen. Problem: Um die Zahl der nötigen Aktien und Anleihen zu bestimmen muss man den Wert des Originals kennen. Lösung: Finde ein Modell, welches Vorhersagen für den Preis liefern kann. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

12 Ausgangssituation Der Wert von Optionen, Futures und Forwards sind allgemein unbekannt. Wir können alle Wertpapiere duplizieren, d.h. ein Portfolio aus Aktien und Anleihen erzeugen, so dass das Duplikat und das Original den gleichen Pay-off besitzen. Problem: Um die Zahl der nötigen Aktien und Anleihen zu bestimmen muss man den Wert des Originals kennen. Lösung: Finde ein Modell, welches Vorhersagen für den Preis liefern kann. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

13 Ausgangssituation Der Wert von Optionen, Futures und Forwards sind allgemein unbekannt. Wir können alle Wertpapiere duplizieren, d.h. ein Portfolio aus Aktien und Anleihen erzeugen, so dass das Duplikat und das Original den gleichen Pay-off besitzen. Problem: Um die Zahl der nötigen Aktien und Anleihen zu bestimmen muss man den Wert des Originals kennen. Lösung: Finde ein Modell, welches Vorhersagen für den Preis liefern kann. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

14 Ausgangssituation Der Wert von Optionen, Futures und Forwards sind allgemein unbekannt. Wir können alle Wertpapiere duplizieren, d.h. ein Portfolio aus Aktien und Anleihen erzeugen, so dass das Duplikat und das Original den gleichen Pay-off besitzen. Problem: Um die Zahl der nötigen Aktien und Anleihen zu bestimmen muss man den Wert des Originals kennen. Lösung: Finde ein Modell, welches Vorhersagen für den Preis liefern kann. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

15 Modelldefinition (Arbitragetheorie) Alle Marktteilnehmer verhalten sich rational. Es ist kein risikoloser Gewinn (Arbitrage) möglich. Der Markt ist perfekt (efficient market). perfekter Markt: Es sind Soll- und Habenzins gleich, es gibt keine Transaktionskosten, keine Steuern, keine Einschränkung beim short-selling und keine Arbitrage. Außerdem sind alle Wertpapiere beliebig teilbar. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

16 Modelldefinition (Arbitragetheorie) Alle Marktteilnehmer verhalten sich rational. Es ist kein risikoloser Gewinn (Arbitrage) möglich. Der Markt ist perfekt (efficient market). perfekter Markt: Es sind Soll- und Habenzins gleich, es gibt keine Transaktionskosten, keine Steuern, keine Einschränkung beim short-selling und keine Arbitrage. Außerdem sind alle Wertpapiere beliebig teilbar. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

17 Modelldefinition (Arbitragetheorie) Alle Marktteilnehmer verhalten sich rational. Es ist kein risikoloser Gewinn (Arbitrage) möglich. Der Markt ist perfekt (efficient market). perfekter Markt: Es sind Soll- und Habenzins gleich, es gibt keine Transaktionskosten, keine Steuern, keine Einschränkung beim short-selling und keine Arbitrage. Außerdem sind alle Wertpapiere beliebig teilbar. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

18 Modelldefinition (Arbitragetheorie) Alle Marktteilnehmer verhalten sich rational. Es ist kein risikoloser Gewinn (Arbitrage) möglich. Der Markt ist perfekt (efficient market). perfekter Markt: Es sind Soll- und Habenzins gleich, es gibt keine Transaktionskosten, keine Steuern, keine Einschränkung beim short-selling und keine Arbitrage. Außerdem sind alle Wertpapiere beliebig teilbar. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

19 Bewertung von Terminkontrakten Mittels Duplikation lässt sich zeigen, dass der Wert eines Terminkaufs eines Objekts mit diskreten Erträgen/Kosten lautet: Dabei: V K,t (S t ) = S t D t K exp( it ) K : Ausübungskurs des zu t fälligen Terminkaufs S t D t : Wert des Underlyings zum Zeitpunkt t : Gesamtwert der diskreten Erträge/Kosten zum Zeitpunkt t T : Restlaufzeit t t. i : Konstanter Zinssatz. Integral über Zinssatz nötig für variierende Zinsen. Ist der Zinssatz während der Laufzeit konstant, so sind Futurepreis und Forwardpreis gleich. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

20 Aussagen über Optionen Im bisherigen Modell lassen sich für Puts und Calls keine absoluten Werte angeben. Es lässt sich aber mittels Duplikation die Put-Call-Parität (für europäische Optionen) zeigen: Dabei: C K,t (S t ) P K,t (S t ) = S t D t K exp( it ) = V K,t (S t ) K : Ausübungskurs des zu t fälligen Terminkaufs S t : Wert des Underlyings zum Zeitpunkt t D t : Gesamtwert der diskreten Erträge/Kosten zum Zeitpunkt t T : Restlaufzeit t t. i : Konstanter Zinssatz. Integral über Zinssatz nötig für variierende Zinsen. Der Kauf eines Calls C und Verkauf eines Puts P (mit gleicher Laufzeit und Ausübungskurs) ergibt einen Terminkauf V. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

21 Bewertung von Optionen Mit folgender Annahme bzgl. des zugrunde liegenden Objektkurses lässt sich eine Aussage über den Wert von Optionen treffen: ds t = α(s t, t)dt + β(s t, t)dw t Es muss also S t einem Itō-Prozess genügen. Der Wert V des ein Finanzinstrument F duplizierendes Portfolios ergibt sich aus der PDGL 1 2 β2 (S t, t) 2 V V + bs iv + S2 S t = 0 mit der Randbedingung: V (S t, t ) = F t. Dabei b : Bestandhaltekosten i(t) d(t) d : stetiger Dividendenertrag (im Falle einer Aktie als Objekt) i : aktueller Zinssatz Beweis über Duplikation mit Forderung, dass der Cashflow im Portfolio erst bei t eintritt. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

22 Bewertung von Optionen Mit folgender Annahme bzgl. des zugrunde liegenden Objektkurses lässt sich eine Aussage über den Wert von Optionen treffen: ds t = α(s t, t)dt + β(s t, t)dw t Es muss also S t einem Itō-Prozess genügen. Der Wert V des ein Finanzinstrument F duplizierendes Portfolios ergibt sich aus der PDGL 1 2 β2 (S t, t) 2 V V + bs iv + S2 S t = 0 mit der Randbedingung: V (S t, t ) = F t. Dabei b : Bestandhaltekosten i(t) d(t) d : stetiger Dividendenertrag (im Falle einer Aktie als Objekt) i : aktueller Zinssatz Beweis über Duplikation mit Forderung, dass der Cashflow im Portfolio erst bei t eintritt. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

23 Bewertung von Optionen Mit folgender Annahme bzgl. des zugrunde liegenden Objektkurses lässt sich eine Aussage über den Wert von Optionen treffen: ds t = α(s t, t)dt + β(s t, t)dw t Es muss also S t einem Itō-Prozess genügen. Der Wert V des ein Finanzinstrument F duplizierendes Portfolios ergibt sich aus der PDGL 1 2 β2 (S t, t) 2 V V + bs iv + S2 S t = 0 mit der Randbedingung: V (S t, t ) = F t. Dabei b : Bestandhaltekosten i(t) d(t) d : stetiger Dividendenertrag (im Falle einer Aktie als Objekt) i : aktueller Zinssatz Beweis über Duplikation mit Forderung, dass der Cashflow im Portfolio erst bei t eintritt. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

24 Beispiel: Europäischer Call Annahme: Aktienkurs folgt einer geom. Brownschen Bewegung ds t = µs t dt + σs t dw t mit α(s t, t) = µs t, mit µ gegenwärtig zu erwartende Rendite β(s t, t) = σs t, und σ Volatilität Dann folgt (nach einer Reihe von Substitutionen) die zu lösende PDGL 2 g u 2 = g v, 0 v (2bσ2 σ 4 ) 2, < u < Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

25 Beispiel: Europäischer Call Eine (rücktransformierte) Lösung der PDGL lautet: ( C(S, T ) = exp ((b i)t ) S N y + σ ) T exp( it ) K N(y) mit y = ln S K + (b σ2 /2) T σ und T N = 1 x } exp { z2 dz Standardnormalverteilung 2π 2 Mit Hilfe der Put-Call-Parität folgt der Wert des europ. Put: ( P(S, T ) = exp ((b i)t ) S N y σ ) T +exp( it ) K N( y) Ist S T lognormalverteilt mit EW. ln S T + (b σ 2 /2)T und Varianz σ 2 T, dann ergibt sich der Wert des Finanzinstruments als abgezinster EW des Payoffs. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

26 Beispiel: Europäischer Call Eine (rücktransformierte) Lösung der PDGL lautet: ( C(S, T ) = exp ((b i)t ) S N y + σ ) T exp( it ) K N(y) mit y = ln S K + (b σ2 /2) T σ und T N = 1 x } exp { z2 dz Standardnormalverteilung 2π 2 Mit Hilfe der Put-Call-Parität folgt der Wert des europ. Put: ( P(S, T ) = exp ((b i)t ) S N y σ ) T +exp( it ) K N( y) Ist S T lognormalverteilt mit EW. ln S T + (b σ 2 /2)T und Varianz σ 2 T, dann ergibt sich der Wert des Finanzinstruments als abgezinster EW des Payoffs. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

27 Beispiel: Europäischer Call Eine (rücktransformierte) Lösung der PDGL lautet: ( C(S, T ) = exp ((b i)t ) S N y + σ ) T exp( it ) K N(y) mit y = ln S K + (b σ2 /2) T σ und T N = 1 x } exp { z2 dz Standardnormalverteilung 2π 2 Mit Hilfe der Put-Call-Parität folgt der Wert des europ. Put: ( P(S, T ) = exp ((b i)t ) S N y σ ) T +exp( it ) K N( y) Ist S T lognormalverteilt mit EW. ln S T + (b σ 2 /2)T und Varianz σ 2 T, dann ergibt sich der Wert des Finanzinstruments als abgezinster EW des Payoffs. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

28 Grundlegende MC-Methode Grundidee: Erzeuge zufällig Kursverläufe gemäß des verwendeten Modells. Berechne aus jedem Kursen den Pay-Off und mittle diesen. Berechne aus dem abgezinsten mittleren Pay-Off den Wert der Option. Problem: Große Varianz und daher langsame Konvergenz. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

29 Grundlegende MC-Methode Grundidee: Erzeuge zufällig Kursverläufe gemäß des verwendeten Modells. Berechne aus jedem Kursen den Pay-Off und mittle diesen. Berechne aus dem abgezinsten mittleren Pay-Off den Wert der Option. Problem: Große Varianz und daher langsame Konvergenz. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

30 Grundlegende MC-Methode Grundidee: Erzeuge zufällig Kursverläufe gemäß des verwendeten Modells. Berechne aus jedem Kursen den Pay-Off und mittle diesen. Berechne aus dem abgezinsten mittleren Pay-Off den Wert der Option. Problem: Große Varianz und daher langsame Konvergenz. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

31 Grundlegende MC-Methode Grundidee: Erzeuge zufällig Kursverläufe gemäß des verwendeten Modells. Berechne aus jedem Kursen den Pay-Off und mittle diesen. Berechne aus dem abgezinsten mittleren Pay-Off den Wert der Option. Problem: Große Varianz und daher langsame Konvergenz. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

32 Minimum-Varianz-MC Grundidee: Ziel der Methode ist, dass zu jeder Zeit t = k t die Änderung des Wertes V eines Derivats und die Änderung des Wertes der gehatchten Objekte δw k = exp( i t)v k+1 (S k+1 ) + V k (S k ) + Φ k (S k )[S k exp( i t)s k+1 ] minimal wird. Es werden M zufällige Kursverläufe generiert und bzgl. derer V k und Φ k bei bekanntem V k+1 variiert, so dass das lokale Risiko R 2 k = δwk 2 o 1 M M ( l=1 δw (l) k minimal wird. Zur Implementierung am Rechner werden V k und Φ k als Linearkombination von je N Basisfunktionen dargestellt. So kann das Problem in ein lineares Optimierungsproblem umgeschrieben werden. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19 ) 2

33 Minimum-Varianz-MC Grundidee: Ziel der Methode ist, dass zu jeder Zeit t = k t die Änderung des Wertes V eines Derivats und die Änderung des Wertes der gehatchten Objekte δw k = exp( i t)v k+1 (S k+1 ) + V k (S k ) + Φ k (S k )[S k exp( i t)s k+1 ] minimal wird. Es werden M zufällige Kursverläufe generiert und bzgl. derer V k und Φ k bei bekanntem V k+1 variiert, so dass das lokale Risiko R 2 k = δwk 2 o 1 M M ( l=1 δw (l) k minimal wird. Zur Implementierung am Rechner werden V k und Φ k als Linearkombination von je N Basisfunktionen dargestellt. So kann das Problem in ein lineares Optimierungsproblem umgeschrieben werden. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19 ) 2

34 Minimum-Varianz-MC Grundidee: Ziel der Methode ist, dass zu jeder Zeit t = k t die Änderung des Wertes V eines Derivats und die Änderung des Wertes der gehatchten Objekte δw k = exp( i t)v k+1 (S k+1 ) + V k (S k ) + Φ k (S k )[S k exp( i t)s k+1 ] minimal wird. Es werden M zufällige Kursverläufe generiert und bzgl. derer V k und Φ k bei bekanntem V k+1 variiert, so dass das lokale Risiko R 2 k = δwk 2 o 1 M M ( l=1 δw (l) k minimal wird. Zur Implementierung am Rechner werden V k und Φ k als Linearkombination von je N Basisfunktionen dargestellt. So kann das Problem in ein lineares Optimierungsproblem umgeschrieben werden. Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19 ) 2

35 Pfadintegralmethode Abgezinster mittlerer Pay-off liefert den Optionspreis. Der mittlere Pay-off zur Zeit t berechnet sich als: dz f p(z f, t z i, t)p(z f ) mit P(z f ) = Pay-off beim Kurs exp z f p(z f, t z i, t) = Gewicht der Fam. von Pfaden mit geg. Endpunkten z x = logarithmischer Kurs ln S x Bestimmung der Gewichte erfolgt mittels der Chapman-Kolmogorov-Gleichung und einem Gauß-Ansatz für die Gewichte. Durch geschicktes Umschreiben kann importance sampling verwendet werden. Vgl. Physica A 310 (2002) Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

36 Pfadintegralmethode Abgezinster mittlerer Pay-off liefert den Optionspreis. Der mittlere Pay-off zur Zeit t berechnet sich als: dz f p(z f, t z i, t)p(z f ) mit P(z f ) = Pay-off beim Kurs exp z f p(z f, t z i, t) = Gewicht der Fam. von Pfaden mit geg. Endpunkten z x = logarithmischer Kurs ln S x Bestimmung der Gewichte erfolgt mittels der Chapman-Kolmogorov-Gleichung und einem Gauß-Ansatz für die Gewichte. Durch geschicktes Umschreiben kann importance sampling verwendet werden. Vgl. Physica A 310 (2002) Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

37 Pfadintegralmethode Abgezinster mittlerer Pay-off liefert den Optionspreis. Der mittlere Pay-off zur Zeit t berechnet sich als: dz f p(z f, t z i, t)p(z f ) mit P(z f ) = Pay-off beim Kurs exp z f p(z f, t z i, t) = Gewicht der Fam. von Pfaden mit geg. Endpunkten z x = logarithmischer Kurs ln S x Bestimmung der Gewichte erfolgt mittels der Chapman-Kolmogorov-Gleichung und einem Gauß-Ansatz für die Gewichte. Durch geschicktes Umschreiben kann importance sampling verwendet werden. Vgl. Physica A 310 (2002) Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

38 Quellen M. Potters, J. Bouchaud: Hedged Monte-Carlo: low variance derivative pricing with objective probabilities, Physika A 289 (2001) G. Montagna, O. Nicrosini: A path integral way to option pricing, Physika A 310 (2002) K. Schindler: Derivative Finanzinstrumente, Skript zur Vorlesung an der UdS WS 06/07 J. Bouchaud, M. Potters: Theory of Financial Risk and Derivative Pricing Olaf Leidinger Futures und Optionen Juni / 19

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