Target Volatility & Risk Control Indizes. Ulrich Stoof (Bloomberg LP) & Christian Menn (RIVACON & FH Mainz)

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1 Target Volatility & Risk Control Indizes Ulrich Stoof (Bloomberg LP) & Christian Menn (RIVACON & FH Mainz)

2 Agenda Einleitung/Motivation Der Risk Control Mechanismus Exkurs: Varianz- und Volatilitätsschätzer Konkrete Beispiele: DAX, SPX, SX5E Bewertung von Optionen auf Risk Control Indizes Eine Approximationsformel zur Optionsbewertung May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 2

3 Agenda Einleitung/Motivation Der Risk Control Mechanismus Exkurs: Varianz- und Volatilitätsschätzer Konkrete Beispiele: DAX, SPX, SX5E Bewertung von Optionen auf Risk Control Indizes Eine Approximationsformel zur Optionsbewertung May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 3

4 Einleitung / Motivation Klassische Garantiestruktur: Zero-Bond + α Option Einflussfaktoren: Zinsen Forwards Volatilitäten May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 4

5 Einleitung / Motivation Aktuelle Niedrigzinsphase lässt klassische Garantieprodukte unattraktiv aussehen. Mögliche Auswege: Niedrige Partizipationsraten Exotische Optionen mit hoher Knock-Out- Wahrscheinlichkeit auf klassische Underlyings (Barriers, Cliquets etc.) Klassische Optionen auf exotische Underlyings Risk- Control-Indizes / Portfolios May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 5

6 Agenda Einleitung/Motivation Der Risk Control Mechanismus Exkurs: Varianz- und Volatilitätsschätzer Konkrete Beispiele: DAX, SPX, SX5E Bewertung von Optionen auf Risk Control Indizes Eine Approximationsformel zur Optionsbewertung May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 6

7 Der Risk-Control-Mechanismus: Ziele Konstruiere einen Index mit der Möglichkeit a) Die Volatilität zu steuern / vorzugeben b) Den Forward zu steuern / vorzugeben Dynamisches Portfolio als Excess- bzw. Total-Return- Index May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 7

8 Der Risk-Control-Mechanismus: Das Prinzip Wähle ein volatiles Asset A (z.b. Aktie, Index, Fond), und ein schwankungsarmes Asset B (z.b. Geldmarktkonto) Typische Annahme: die Volatilität des Assets B ist vernachlässigbar gering. Bilde ein Portfolio: P t = ω t A t + 1 ω t B t May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 8

9 Der Risk-Control-Mechanismus: Die Formel I RC t = I RC t π RC t 1 r t 1 τ Indexstand des RC Index Tagesrendite des RC-Index Optionaler Excess Return Faktor π t RC = ω t 1 π t A + 1 ω t 1 π t B Dynamisches Portfoliogewicht Renditen der Assets A und B May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 9

10 Bestimmung des Portfoliogewichts ω Aus der Formel für die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen ergibt sich: Vπ RC 2 t = ω t 1 Vπ A t + 2ω t 1 (1 ω t 1 ) Cov π A B t, π t =0 + 1 ω t 1 2 Vπ t B =0 Vπ RC 2 A t = ω t 1 Vπ t bzw. σ RC πt = ω t 1 σ πt A ω t 1 = σ TARGET σ πt A May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 10

11 Agenda Einleitung/Motivation Der Risk Control Mechanismus Exkurs: Varianz- und Volatilitätsschätzer Konkrete Beispiele: DAX, SPX, SX5E Bewertung von Optionen auf Risk Control Indizes Eine Approximationsformel zur Optionsbewertung May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 11

12 Exkurs: Varianz- und Volatilitätsschätzung Aus historischen Daten: Klassischer Varianzschätzer Exponentially Weighted Moving Average Aus impliziten Volatilitäten: Z.B. VIX/VSTOXX (faire Varianzswap-Raten) May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 12

13 Exkurs: Varianz- und Volatilitätsschätzung Klassischer Varianzschätzer: σ 2 t,n = 252 N 1 N i=1 log S t i S t i 1 2 Exponentially Weighted Moving Average σ 2 2 t,ρ = ρ σ t 1,ρ + 1 ρ 252 log S 2 t S t 1 May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 13

14 Performance Beispiel I Indexzeitreihe: 100, 90, 100, 102: INDEX RC10-INDEX May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 14

15 Performance Beispiel II Indexzeitreihe: +0.5% pro Tag INDEX RC-INDEX May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 15

16 Indexzeitreihe -2% pro Tag Performance Beispiel III INDEX RC-INDEX May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 16

17 Agenda Einleitung/Motivation Der Risk Control Mechanismus Exkurs: Varianz- und Volatilitätsschätzer Konkrete Beispiele: DAX, SPX, SX5E Bewertung von Optionen auf Risk Control Indizes Eine Approximationsformel zur Optionsbewertung May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 17

18 Beispiele für Risk-Control-Indizes DAX RC10 Excess/Total Return Variante Volschätzung aus 20-/60-Tages historische Volatilität Leverage Cap 150% SPX Excess/Total Return Volatilitätsschätzung mittels EWMA SX5E Excess und Total Return Variante Volschätzung aus impliziten Volatilitäten (VSTOXX) Leverage Cap 150% May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 18

19 Agenda Einleitung/Motivation Der Risk Control Mechanismus Exkurs: Varianz- und Volatilitätsschätzer Konkrete Beispiele: DAX, SPX, SX5E Bewertung von Optionen auf Risk Control Indizes Eine Approximationsformel zur Optionsbewertung May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 19

20 Optionen auf RC-Indizes Durch den Risk-Control-Mechanismus können neue Underlyings erzeugt werden, mit vorgegebenen Eigenschaften bezüglich Forward (Total-Return/Excess- Return) und Volatilität. Nutze diese Underlyings als Basis für Optionsstrategien (z.b. zur Konstruktion von Garantiestrukturen) May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 20

21 Exkurs: Bewertung von Optionen Um eine Option auf ein Underlying bewerten zu können, benötigt man die risikoneutrale Dynamik des Underlyings, d.h. man benötigt den Forward (Drift), sowie die Volatilität. Allgemeine Bewertungsformel: p = DF E Payoff May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 21

22 Exkurs: Bewertung von Optionen Bekanntestes Beispiel: Geometrische Brownsche Bewegung / Black-Scholes-Formel C = DF F N d 1 K N d 2 Allgemeiner: Local Volatility mit PDE-Lösung (falls möglich) oder MC-Verfahren Noch allgemeiner: Mehrfaktormodelle, z.b. Stochastic Volatility May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 22

23 MC-Bewertung einer Option auf einen RC-Index Bestimme/kalibriere Dynamik des Basisunderlyings (aus Plain-Vanilla-Optionen) Simuliere Basis-Underlying (Monte-Carlo) Bestimme Pfade des RC-Underlyings mit Hilfe der Formel für das Portfoliogewichts Auswertung des Optionspayoffs auf den Pfaden Diskontierung Aufwändige Implementierung May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 23

24 Optionspreise für verschiedene Target Vols 30 Underlying: S=100, Zins=0%, Volatilität=30% Laufzeit 5 Jahre ATM-Call ATM-Call RC ATM-Asian Call (quarterly fixing) ATM-Asian Call RC (quarterly fixing) 0 30% 20% 10% 5% 1% Target Volatility May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 24

25 Optionspreise Excess vs Total Return RC Underlying: S=100, Volatilität=30% Laufzeit 5 Jahre, Quarterly Asianing Total Return, Zins=1% Excess Return, Zins=1% Total Return, Zins=2.5% Excess Return, Zins=2.5% Total Return, Zins=5% Excess Return, Zins=5% % 20% 10% 5% 1% Target Volatility May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 25

26 Agenda Einleitung/Motivation Der Risk Control Mechanismus Exkurs: Varianz- und Volatilitätsschätzer Konkrete Beispiele: DAX, SPX, SX5E Bewertung von Optionen auf Risk Control Indizes Eine Approximationsformel zur Optionsbewertung May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 26

27 Dynamik eines RC-Index (Approximation) Am Beispiel des DAX RC10 Excess Return ergibt sich: Drift (lokal): μ t RC = ω t 1 μ t DAX μ t EONIA Volatilität (lokal): σ t RC = ω t 1 σ t DAX 10% Verwendung dieser Größen in der klassischen Bewertungsformel (Black-Scholes) führt zu guten Approximationen Einziges Problem: Was ist ein guter Schätzer für ω = E(ω t 1 ) May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 27

28 Herleitung der Drift Formel für den DAX RC10 ER I RC t = I RC t π RC t 1 r t 1 τ =1+μ t RC 1+π t RC r t 1 τ μ t RC = ω t 1 π t DAX + 1 ω t 1 π t EONIA r t 1 τ μ t RC = ω t 1 π t DAX + 1 ω t 1 r t 1 τ r t 1 τ μ t RC = ω t 1 (π t DAX π t EONIA ) May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 28

29 Ergebnisse (echte Vol, 5y ATM Call) Call DAX Excess Return 6 Approximation, vol=target vol 4 Approximation, vol=95% target vol % 12.5% 10.0% 7.5% 5.0% May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 29

30 Ergebnisse (echte Vol, 5y Asian Call) Asian Call DAX Excess Return Approximation, vol=target vol Approximation, vol=95% target vol % 12.5% 10.0% 7.5% 5.0% May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 30

31 Zusammenfassung Generisches Verfahren zur Bestimmung von RC Indizes kann auf alternative Underlyings (z.b. Fonds) angewendet werden Das Verfahren kann auch auf zwei risky Assets angewendet werden, z.b. Aktien- und Bond-Index (s. S&P RC 2.0) Bewertung von Derivaten allgemein nur mit aufwendiger MC-Implementierung möglich Mithilfe der Approximationsformel kann eine Bewertung näherungsweise ohne großen Aufwand durchgeführt werden May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 31

32 Anhang / Verweise DAX Familie Index-Guide: Bloomberg: Definition of Historical Volatility Estimates STOXX Strategy Index Guide: S&P Index Guide: 500-risk-control-indices/en/us/?indexId=sp-500-risk-control-indices May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 32

33 Kontakt Christian Menn Web: May 16, 2013 Target Volatility & Risk Control Indizes 33

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