Value at Risk Einführung

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1 Value at Risk Einführung Veranstaltung Risk Management & Computational Finance Dipl.-Ök. Hans-Jörg von Mettenheim Institut für Wirtschaftsinformatik Leibniz Universität Hannover Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 1

2 Sie erfahren... daß VaR eine einfache beliebte Risikokennzahl ist. wie VaR anhand historischer Simulation ermittelt wird. wie VaR mittels Varianz und Covarianz modelliert werden kann. was Monte Carlo Simulation ist und daß man dazu keinen Roulette-Tisch braucht. daß auch VaR kein Allheilmittel ist. Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 2

3 VaR Was ist das? Eine Zahl, die ausdrückt: Wir können mit X % Sicherheit sagen, daß wir nicht mehr als V Euro (Dollar,... ) in den nächsten N Tagen verlieren. Interpretation Wie schlimm kann es kommen? Erstens kommt es anders und zweitens als man denkt. Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 3

4 VaR bei Normalverteilung Quelle: Hull, S. 436 Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 4

5 Regulatorische Bedeutung Seit 1996 wird VaR zur Bestimmung des von Banken vorzuhaltenden Kapitals für Marktrisiken verwendet. Typische Parameter sind N = 10 und X = 99. Das vorzuhaltende Kapital ist kmal dieser VaR. k wird bankabhängig gewählt, beträgt jedoch mindestens 3.0. Aber Vorsicht: VaR als einzelne Zahl erfaßt unmöglich alle Eigenschaften eines Portfolios. Insb. die Höhe der Verluste im Extremfall wird nicht adäquat wiedergegeben. Als Ersatz wird C-VaR (Conditional VaR) vorgeschlagen [Artzner, Delbaen, Eber, Heath, 1999]. Dennoch bleibt VaR beliebtestes Risikomeßinstrument bei Regulierern und Risk Managern. Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 5

6 Mißbrauchspotential bei VaR Quelle: Hull, S. 437 Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 6

7 Zeithorizont Grundsätzlich hängt der VaR vom betrachteten Zeithorizont N und dem Konfidenzintervall X ab. Praktisch wird N = 1 gesetzt und anschließend mit der Näherung N-tages VaR = 1-tages VaR N (1) Für die Praxis bedeutet dies, daß der von Regulierern geforderte dreifache 10-tages 99% VaR berechnet wird als 3 10 = tages VaR. Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 7

8 Historische Simulation Vorgehen: Wir wollen den 1-tages 99% VaR berechnen, nutzen dafür Daten der letzten 500 Tage. Wir ermitteln die relevanten Variablen, z. B. Aktien- und Wechselkurse, Zinssätze,... Wir sammeln die entsprechenden Daten für 500 Tage und überprüfen, was sich zwischen heute und morgen ändern kann. Für jedes dieser 500 Szenarien ermitteln wir die Änderung im Wert des Portfolios. Dadurch erhalten wir eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für Änderungen. Die Wert-Veränderung am fünft-schlechtesten Tag entspricht unserem gesuchten VaR. Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 8

9 Beispiel: Pfizer (NYSE: PFE) Ermittelter 1-tages 99% VaR für eine Aktie = USD tages VaR: USD =USD =USD 1.83 Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 9

10 Varianz-Covarianz-Ansatz am Beispiel PFE 250-tages Volatilität σ Jahr = % (sagt Onvista, wie überprüft man das?!) Umrechnung auf 1-tages Volatilität: σ Tag = σ Jahr = = 1.41% (2) Wert heute = USD Standardabweichung des Werts heute = USD % = USD Annahme: Änderungen im Wert sind normalverteilt Gesucht: 1%-Punkt der Normalverteilung. Es ist N( 2.33) = Bedeutung: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% wird eine normalverteilte Variable ihren Wert um mehr als 2.33 Standardabweichungen verminden. 1-tages 99% VaR = 2.33 USD = USD tages VaR = USD = USD 2.06 Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 10

11 Varianz-Covarianz-Ansatz am Beispiel CX 250-tages Volatilität σ Jahr = % (Onvista) Umrechnung auf 1-tages Volatilität: Wert heute = USD σ Tag = σ Jahr = = 4.86% (3) Standardabweichung des Werts heute = USD % = USD Gesucht: 1%-Punkt der Normalverteilung. Es ist N( 2.33) = tages 99% VaR = 2.33 USD = USD tages VaR = USD = USD 9.97 Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 11

12 Diversifikation: PFE, CX Korrelation zwischen PFE und CX: ρ = 0.79 σ PFE+CX = σpfe 2 + σ CX 2 + 2ρσ PFEσ CX = = = tages 99% VaR(PFE+CX)= = tages 99% VaR(PFE) = tages 99% VaR(CX) = Summe: Diversifikationsgewinn: = Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 12

13 Monte-Carlo-Simulation Nomenklatur n Assets im Portfolio x i : Ertrag von Asset i(1 i n) an einem Tag P: Veränderung des gesamten Portfoliowerts Verfahren Bewerten des Portfolios heute Wiederhole Simuliere einen Zeitschritt unter Annahme der Normalverteilung der x i Nutze den simulierten Wert von x i, um den Wert jedes Assets nach einem Tag (also morgen) zu ermitteln. Bewerte das Portfolio insgesamt. Berechne P indem der Wert heute vom Wert morgen abezogen wird. Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 13

14 Monte-Carlo-Simulation Bei 5000 Simulationen entspricht z. B. der 1-tages 99% VaR dem 50 schlechtesten P. Simulationsschritte am Beispiel Brownsche Bewegung: P = E( x i )P t + σ Tag Pɛ t wobei ɛ standardnormalverteilt ist. Für unseren Betrachtungszeitraum nehmen wir an: E( x i ) = 0, P = 19.79, t = 1 (ein Tag) Wir erhalten: P = NORMSINV(RAND()) 1-tages 99% VaR von PFE = USD 0.65 Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 14

15 Vergleich Historische Simulation kein Modellrisiko, am dichtesten dran hoher Rechenaufwand, u. U. instabil, da nur relativ wenige Szenarien betrachtet werden Varianz-(Covarianz-)Ansatz schnelle Ergebnisse, wenige Daten notwendig Normalverteilungsannahme (unrealistisch, heavy tails ), in der Grundversion ungeeignet für nichtlineare Abängigkeiten, z. B. Optionen Monte-Carlo-Simulation nichtlineare Abhängigkeiten können in der Simulation berücksichtigt werden Normalverteilungsannahme, hoher Rechenaufwand Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 15

16 Zusammenfassung Mit Hilfe des VaR sind Aussagen möglich wie Wir sind zu 99% sicher, daß die Pfizer-Aktie in den nächsten 10 Tagen nicht mehr als USD 2.06 verliert. Wir haben VaR nur angekratzt. Insb. im Falle mehrerer Assets wird s erst richtig interessant und auch etwas komplizierter. Vorsicht bei allzu pauschaler Verwendung von VaR! VaR kann mittels drei grundsätzlicher Verfahren ermittelt werden: Historische Simulation Varianz-Covarianz-Ansatz Monte-Carlo-Simulation Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 16

17 Literaturempfehlungen Zur Einführung: Options, Futures and Other Derivatives; J. C. Hull; Chap. 18 Zum Conditional VaR: Coherent Measures of Risk; P. Artzner, F. Delbaen, J.-M. Eber, D. Heath; Mathematical Finance (sehr technisch) Zu den Besonderheiten in extremen Perzentilen und wie man eine Glättung durchführen kann: Extreme Value Theory for Risk Managers, A. J. McNeil (ebenfalls recht technisch) Hans-Jörg von Mettenheim Value at Risk 17

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