4. Übungsblatt zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04

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1 4. Übungsblatt zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04 JOACHIM VON ZUR GATHEN, OLAF MÜLLER, MICHAEL NÜSKEN Abgabe bis Freitag, 14. November 2003, in den jeweils richtigen grünen oder roten Kasten auf dem D1-Flur. Einige Aufgaben werden von den Ziffern Deiner Matrikelnummer abhängen. Dazu bezeichne die Ziffern Deiner Matrikelnummer mit Ñ, Ñ, Ñ, Ñ, Ñ ¾, Ñ ½, Ñ ¼, sodass also È ¼ Ñ ½¼ Deine Matrikelnummer ist. Trage Deine Matrikelnummer hier ein, um ganz einfach Deine persönlichen Ziffern abzulesen. Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ ¾ Ñ ½ Ñ ¼ Aufgabe 4.1 (Logik). (2 Punkte) Sei eine (unbekannte) reelle Zahl. Bestimme den Wahrheitswert: (i) Ü ¾ Ê e Ñ ½ Ü Ü Ñ µ ¾ ¼ µ Ý ¾ Ê e Ñ ½ Ý Ý Ñ µ ¾ ¼. (ii) Ü ¾ Ê e Ü Ñ ¾µ Ü Ñ µ ¾ ¼ µ Ý ¾ Ê e Ý Ñ ¾µ Ý Ñ µ ¾ ¼. (iii) Ü ¾ Ê e sin Ü Ñ ¼ Ü µ ¾ ¼ µ Ý ¾ Ê e sin Ý Ñ ¼ Ý µ ¾ ¼. (iv) Ü ¾ Ê e sin Ü Ñ ¼ Ü µ ¾ ¼ µ Ý ¾ Ê e sin Ü Ñ ¼ Ü µ ¾ ¼. Aufgabe 4.2 (Binäraddierer). (12 Punkte) Ziel dieser Aufgabe ist ein Algorithmus für die binäre Addition. Die binäre Addition läuft genauso ab, wie eine schriftliche Addition in der Schule nur eben zur Basis ¾ anstatt zur Basis ½¼. Man beginnt mit den beiden Bits ganz rechts und addiert diese. Das niederwertige Bit des Ergebnisses schreiben wir auf, das höherwertige nehmen wir als Übertrag mit in die nächste Spalte (zur Linken). Dort müssen dann drei Bits addiert werden. Wieder wird das niederwertige Bit der Summe als Ergebnis aufgeschrieben und das höherwertige als Übertrag...

2 (i) Für ½ erhalten wir einen Halbaddierer, der aus zwei einzelnen Bits ¼ und ¼ zwei Bits ½ und ¼ berechnet mit ½ ¾ ¼ ¼ ¼. Entwirf einen Algorithmus, der diese zwei Bits berechnet. Verwende dazu nur die Operationen,, und. (ii) Entwirf einen Algorithmus, der drei Bits ¼, ¼ und Ù addiert und zwei Bits ½ und ¼ berechnet mit ½ ¾ ¼ ¼ ¼ Ù. Verwende dazu nur die Operationen,, und und Halbaddierer. (Dies bzw. einen entsprechenden Schaltkreis nennt man dann einen Volladdierer.) (iii) Entwirf einen vollwertigen Algorithmus zur Addition zweier Binärzahlen: Algorithmus. Binäre Addition. Eingabe: Eine natürliche Zahl und Listen ½ ¼ µ, ½ ¼ µ mit ¾ ¼ ½. Ausgabe: Eine Liste ½ ¼ µ mit ¾ ¼ ½ und È ¼ ¾ È ¼ ½ ¾ ȼ ½ ¾ For ¼to ½ do Return ½ ¼ µ. Verwende dazu nur die Operationen,, und und Volladdierer. In einer Schleife soll ein Zwischenergebnis Ù¾ ½ ȼ ¾ berechnet werden, dass die Summe der unteren Bits von und darstellt; formuliere die genaue Bestimmungsgleichung. (iv) Zeige, dass Dein Algorithmus korrekt arbeitet. Verwende dabei die Bestimmungsgleichung als Schleifeninvariante. (v) Bestimme die Laufzeit Deines Algorithmus. [Es soll die Anzahl der eigentlichen logischen Operationen gezählt werden, die Schleifenkontrollen vernachlässigen wir.] (vi) Zeichne einen entsprechenden Schaltkreis für.

3 Aufgabe 4.3 (Quantoren). (2 Punkte) Sei ³ ܵ ein logischer Ausdruck, der von Ü abhängt. Drücke die Aussage Es gibt genau ein Ü mit der Eigenschaft ³ ܵ. durch den Allquantor und die logischen Operationen,,, µ sowie das Gleichheitszeichen aus. Aufgabe 4.4 (Logarithmen). (2 Punkte) (i) Stelle für ¼ die Lösung Ý der Gleichung ¾ Ý durch Logarithmen dar. (ii) Drücke den Logarithmus von Ü zur Basis durch Logarithmen zur Basis ¾ aus. Aufgabe 4.5 (Komplexe Zahlen). (3 Punkte) (i) Berechne Ñ ½ Ñ ½ µ Ñ Ñ ½ µ. (ii) Berechne Ñ ½ Ñ ½ µ Ñ Ñ ½ µ. (iii) Berechne den Betrag von Ñ ¾µ Ñ ½ ½µ. Aufgabe 4.6 (Stellenwertsysteme). (5 Punkte) Besonders in der Informatik sind Stellensysteme zu anderen Basen als ½¼ gebräuchlich und sehr wichtig. Für die Basis ½ verwenden wir die Buchstaben,..., für die hexadezimalen Ziffern(!) ½¼,...,½. Somit ist die hexadezimale Zahl µ ½ die Dezimalzahl ¾, nämlich ½ ½ ½. (i) Stelle Deine Matrikelnummer dezimal, hexadezimal, oktal, -adisch und binär dar. (ii) Berechne (schriftlich und ohne Taschenrechner) hexadezimal ¾ ¾µ ½ ½¼ µ ½. (iii) Berechne (schriftlich und ohne Taschenrechner) oktal ¾ ¼ µ ¾ µ. (iv) Wandle die Binärzahl ½¼¼½ ¼½½¼ ½¼¼½ ¼½½¼ ¼½½¼ ½¼¼½µ ¾ ins Dezimalsystem um. (v) Wandle die Binärzahl ½¼¼½ ¼½½¼ ½¼¼½ ¼½½¼ ¼½½¼ ½¼¼½µ ¾ ins Dezimalsystem um. (Achtung, da ist ein Komma drin!)

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5 4. Übungsblatt zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04, Mündlicher Teil JOACHIM VON ZUR GATHEN, OLAF MÜLLER, MICHAEL NÜSKEN Mündliche Aufgabe 4.7 (Quantoren). Drücke die Aussage Es gibt höchstens zwei Ü mit der Eigenschaft ³ ܵ. durch den Allquantor und die logischen Operationen,,, µ sowie das Gleichheitszeichen aus. Mündliche Aufgabe 4.8 (Komplexe Zahlen). (i) Berechne Ñ ¾ ½ Ñ µµ Ñ Ñ µ. (ii) Berechne Ñ ¾ ½ Ñ µµ Ñ Ñ µ. (iii) Berechne den Betrag von Ñ ¾ ¾ Ñ. Mündliche Aufgabe 4.9 (Stellenwertsysteme). Besonders in der Informatik sind Stellensysteme zu anderen Basen als ½¼ gebräuchlich und sehr wichtig. Für die Basis ½ verwenden wir die Buchstaben,..., für die hexadezimalen Ziffern(!) ½¼,...,½. Somit ist die hexadezimale Zahl µ ½ die Dezimalzahl ¾, nämlich ½ ½ ½. (i) Stelle Deine Matrikelnummer hexadezimal dar. (ii) Berechne (schriftlich und ohne Taschenrechner) hexadezimal ¾ ¾µ ½ ¼ ½ µ ½. (iii) Berechne (schriftlich und ohne Taschenrechner) oktal ¾ ¾µ ½¾¼ µ. (iv) Wandle die Binärzahl ½¼¼½ ½½½¼ ¼½¼½ ¼¼½¼ ¼¼¼½ ½½½½ ¼¼¼½µ ¾ ins Dezimalsystem um. (v) Wandle die Binärzahl ½¼¼½ ½½½¼ ¼½¼½ ¼¼½¼ ¼¼¼½ ½½½½ ¼¼¼½µ ¾ ins Dezimalsystem um. (Achtung, da ist ein Komma drin!)

6 Mündliche Aufgabe 4.10 (Algorithmus -adisch). Ziel dieser Aufgabe ist ein Algorithmus, der eine -adische Zahl in eine ganze (rechnerintern dargestellte) Zahl umwandelt. Die Eingabe sind also die Basis und eine Liste ½ ¼ µ von Ziffern ¾ ¼ ½ ½ und die Ausgabe soll die dadurch dargestellte Zahl Ü sein. Variante Aufwärts: Berechne in einer Schleife die durch die rechten Ziffern dargestellte Zahl. Variante Abwärts: Berechne in einer Schleife, die durch die linken Ziffern dargestellte Zahl. Für jede der beiden Varianten bearbeite die folgenden Schritte: (i) Entwickle den Algorithmus. (ii) Finde eine Schleifenvariante und beweise, dass sie gültig ist. (iii) Schliesse, dass der Algorithmus tatsächlich das gewünschte Ergebnis liefert. (iv) Bestimme die Laufzeit des Algorithmus. (v) Bestimme den Speicherbedarf des Algorithmus. Vergleiche die Laufzeiten und entscheide, welche Variante wohl günstiger ist.

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