Differentialgleichungen

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1 Differentialgleichungen Teilnehmer: Phili Bannach Heinrich-Hertz-Oberchule) Levin Keller Herder-Oberchule) Phili Kende Herder-Oberchule) Carten Kubbernuh Andrea-Oberchule) Giang Nguyen Herder-Oberchule) Mathia Neumann Andrea-Oberchule) Gruenleiter: Jürgen Leiterer Humboldt-Univerität) Der Exitenz- und Eindeutigkeitatz von Picard-Lindelöf wurde im Fall linearer Gleichungen mit tetigen Koeffizienten bewieen volltändig und mit elementaren Mitteln) und auf Fragen der Zinezinrechnung angewendet: Vergleich von tufenweier Verzinung und tetiger Verzinung, Berechnung einer Finanzierung bei tetiger Verzinung und tetiger Abzahlung. 1 Exitenz- und Eindeutigkeitatz von Picard- Lindelöf im linearen Fall Sei I ein Intervall der reellen Ache bechränkt oder unbechränkt, abgechloen, halbabgechloen oder offen). Weiter eien zwei tetige Funktionen a, b : I R und ein Punkt I gegeben. Dann gilt der folgende Satz, der einen Sezialfall de ehr viel allgemeineren Exitenz- und Eindeutigkeitatze von Picard-Lindelöf für gewöhnliche Differentialgleichungen dartellt: Satz 1.1 Für jede γ 0 R gibt e genau eine tetig differenzierbare Funktion f : I R mit f t) = at)ft) + bt) 1.1) und f ) = γ ) 1

2 Bewei. Wir etzen ht) := ex aτ) dτ, t I. 1.3) Offenbar wird damit eine tetig differenzierbare Funktion h : I R definiert, welche die dazugehörige homogene Gleichung löt, d.h. für welche gilt: h t) = at)ht) für alle t I. 1.4) Wir zeigen zuert die Eindeutigkeitauage. Dazu nehmen wir an, f : I R ei eine tetig differenzierbare Funktion mit 1.1) und 1.2). Da die Funktion h offenbar keine Nulltellen hat denn e gilt tet e x 0), it dann γ := f/h eine wohldefinierte tetig differenzierbare Funktion auf I mit Darau folgt mit 1.4) f = γh. 1.5) f = γ h + γh = γ h + γah. 1.6) Mit 1.1) ergibt ich: d.h. γ h + γah = aγh + b, γ h = b bzw. γ = b h. Da γ ) = f )/h ) = f ) = γ 0 gilt, ergibt da γt) = γ 0 + bτ) hτ) dτ. Mit 1.5) erhält man darau chließlich ft) = γ 0 + bτ) hτ) dτ ht) oder, wenn man noch die Definition von h einetzt, ft) = γ 0 + bτ) τ dτ ex ex aη) dη aτ) dτ, t I. 1.7) 2

3 Damit it gezeigt, da e höchten eine Löung von 1.1) und 1.2) gibt. Zugleich folgt darau aber auch die Exitenz einer Löung. Man mu nur die durch 1.7) definierte Funktion f differenzieren. Wir bemerken noch, da die Formel 1.7) im Fall kontanter Koeffizienten a und b die folgende einfachere Form annimmt: ft) = b a + γ 0 + b ) e at t0), t I. a 2 Ein zweiter Bewei der Eindeutigkeit Hier geben wir noch einen zweiten Bewei für die Eindeutigkeitauage in Satz 1.1 an. Dieer zweite Bewei it dewegen intereant, weil er auch auf ehr viel allgemeinere Differentialgleichungen angewendet werden kann, während der oben angegebene Bewei nur im linearen Fall funktioniert. E eien alo zwei Löungen f und g von 1.1) und 1.2) gegeben, d.h. f, g : I R eien zwei tetig differenzierbare Funktionen mit owie f t) = at)ft) + bt) und g t) = at)gt) + bt) 2.1) f ) = g ) = γ ) Wir müen zeigen, da dann ft) = gt) gilt für alle t I. Dabei kann man natürlich o.b.d.a. annehmen, da I bechränkt und abgechloen it, o da a al tetige Funktion) auf I ein Maximum annimmt. Weiter kann man o.b.d.a. annehmen, da a nicht identich verchwindet denn für a 0 bedeutet die zu beweiende Eindeutigkeitauage, da Stammfunktionen bi auf eine Kontante eindeutig betimmt ind). Wir etzen ε := 1 2 max at). t I E genügt nun da folgende Lemma zu beweien: Lemma 2.1 Für jede I gilt: It f) = g), o gilt auch { } ft) = gt) für alle t I ε ) := t I t ε. In der Tat kann man dann diee Lemma wegen 2.2) zuert auf den Fall = anwenden und erhält ft) = gt) für alle t I ε ). Im zweiten Schritt wendet man da Lemma auf die Punkte = ε und = + ε an oweit diee beiden Punkte noch in I liegen), und erhält ft) = gt) für alle t I 2 ε ) := { t I 3 t 2 ε }.

4 Man fährt o fort, bi nach einem gewien n-ten Schritt n Länge de Intervall I/ε genügt) { } I n ε ) := t I t n ε I gilt. Bewei von Lemma 2.1. Sei M := max ft) gt). t I ε) Wir müen zeigen, da M = 0 it. Dazu ei ein t I ε ) gegeben. Dann gilt: Wegen f) = g) it ft) gt) = ft) f ) gt) g )). Mit dem Hautatz der Differential- und Integralrechnung und 2.1) folgt darau ft) gt) = f τ) g τ)) dτ = aτ)fτ) + bτ) aτ)gτ) bτ))dτ = aτ)fτ) gτ)) dτ. Da der Betrag eine Integral höchten größer wird, wenn man den Integranden mit Betragtrichen verieht, kann man den Audruck wie folgt abchätzen: ft) gt) aτ) fτ) gτ) dτ max aη) max fη) gη) dτ ε) = max aη) max fη) gη) ε ) dτ max aη) max ε) max aη) M ε. fη) gη) t 4

5 Nach Definition von ε folgt darau, da ft) gt) M 2 für alle t I ε ), d.h. M M/2, alo M = 0. 3 Berechnung eine Sarguthaben Hier unteruchen wir die folgende Situation: Zum Zeitunkt t = 0 vertrauen wir einen gewien Betrag g 0 in Euro) einer Bank an. Diee zahlt un dafür Zinen mit einem auf da Jahr bezogenen Zinatz d.h. dafür, da wir 100 Euro ein Jahr lang bei der Bank laen, erhalten wir 100 Euro an Zinen gutgechrieben). Für t 0 bezeichnen wir mit gt) da Guthaben, da wir zum Zeitunkt t auf der Bank haben. Al Zeiteinheit wählen wir ein Jahr. Im Fall tufenweier Verzinung mit Stufengröße ein Jahr kann man gn) da aufgelaufene Guthaben nach n Jahren), n N, nach der au der Schule bekannten Formel gn) = g ) n berechnen. Wählt man al Stufengröße den k-ten Teil eine Jahre, k N, o gilt gn) = g ) kn = g0 1 + n ) kn. 3.1) k kn Wegen de au der Analyi bekannten Grenzwerte 1 + m) x m = e x, x R, lim m konvergiert die rechte Seite von 3.1) für k und fet gehaltenem n) gegen g 0 e n, d.h. bei ehr kleiner Wahl der Stufengröße it gn) g 0 e n. 3.2) Durch den Übergang zu einer unendlich kleinen Stufengröße erhält man die tetige Verzinung. Hierbei wird zu dem Guthaben gt) zu jedem Zeitunkt t der unendlich kleine Betrag gt) dt hinzugefügt, d.h. für dgt) die unendlich kleine Änderung in der Zeit dt) gilt dgt) = gt) dt, bzw. genauer geagt, tetige Verzinung bedeutet nach Definition), da die Funktion gt) tetig differenzierbar it und die Differentialgleichung g t) = gt), 0 t < 5

6 erfüllt. Nach Satz 1.1 gibt e genau eine olche Funktion g, die außerdem noch der Anfangbedingung g0) = g 0, genügt, und zwar, nach Formel 1.8), gt) = g 0 e t. 3.3) Vergleicht man tufenweie und tetige Verzinung, o erhält man zum Beiiel: Sei g 0 = , t = n = 20 Jahre) und = 0, 05. Dann erhält man am Ende ein Guthaben von: ,77 Euro bei jährlicher Verzinung Stufenmodell) ,56 Euro bei täglicher Verzinung Stufenmodell) ,18 Euro bei tetiger Verzinung. 4 Berechnung eine Kredit mit tetiger Verzinung und Abzahlung Hier betrachten wir die folgende Situation: Zum Zeitunkt t = 0 nehmen wir einen Kredit in Höhe von k 0 Euro auf. Der effektive Jahrezinatz ei d.h. für 100 Euro werden ro Jahr 100 Euro Zinen fällig), die monatliche Abzahlungrate ei m, und T ei die Laufzeit de Kredit. Mit kt) bezeichnen wir die Höhe der Schuld zum Zeitunkt t, wobei wir al Zeiteinheit wieder ein Jahr wählen. Unabhängig davon, wa die Banken genau tun, wollen wir un hier vortellen, da owohl die Verzinung al auch die Abzahlung tetig verlaufen, d.h. zu jedem Zeitunkt t vermehrt ich die Schuld um den Betrag kt) dt und verringert ich zugleich um den Betrag 12m dt, d.h. dkt) = kt) dt 12m dt, bzw. genauer geagt, wir tellen un vor, da die Funktion kt) tetig differenzierbar it und die Differentialgleichung k t) = kt) 12m, 0 t < erfüllt. Nach Satz 1.1 gibt e genau eine olche Funktion k, die außerdem noch der Anfangbedingung k0) = k 0, genügt, und zwar, nach Formel 1.8), kt) = 12m + k 0 12m ) e t. 4.1) 6

7 An dieer Formel ieht man zunächt, da k 0 < 12m ein mu, wenn der Kredit irgendwann abgezahlt ein oll, d.h. wenn t < ein oll. In dieem Fall gilt kt ) = 0, d.h. nach 4.1), 0 = 12m + k 0 12m ) e T. 4.2) Auflöung nach T ergibt T = 1 ln 12m 12m k 0 ). 4.3) Man kann alo die Laufzeit T au der Kredithöhe k 0, dem effektiven Jahrezin und der Höhe der Monatrate m berechnen. Setzt man zum Beiiel m = 200, = 0, 1 und k 0 = , o erhält man eine Laufzeit von 1 0, 1 ) , = 17, 9 Jahren. Ebenfall exlizit kann man nach k 0 oder m auflöen. Schwieriger it die Auflöung nach dem Zinatz. Hierfür mu man wahrcheinlich numerich vorgehen. 7