Vier-Felder-Tafel. Medizinische Tests sind grundsätzlich mit zwei Fehlern behaftet: 1. Erkrankte werden als gesund, 2. Gesunde als krank eingestuft.

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1 Vier-Felder-Tafel Mediziniche Tet ind grundätzlich mit zwei Fehlern behaftet:. Erkrankte werden al geund, 2. Geunde al krank eingetuft. Der. Fehler wird üblicherweie (nicht nur von Tet-Entwicklern) in der Angabe verteckt, da der Tet z. B. mit 80%-iger Sicherheit die Krankheit bei Erkrankten erkennt. Bei Geunden veragt der Tet z. B. mit 2%-iger Wahrcheinlichkeit, d.h. 2% der Geunden werden vom Tet irrtümlich al krank eingetuft. Von beonderer Bedeutung it nun die Frage: Angenommen, eine Peron wird getetet und da Ergebni it poitiv (da it eine etwa gewöhnungbedürftige Sprechweie, da der Tet auf eine Krankheit hinweit, wenn z. B. ein Viru entdeckt wurde). Mit welcher Wahrcheinlichkeit it die getetete Peron nun tatächlich erkrankt? Um diee Frage beantworten zu können, it e erforderlich zu wien, wie groß der Anteil der Erkrankten in der Bevölkerung it (betrachte hierzu die Extreme 0% und 00%). Nehmen wir daher an, e eien 0,%, die erkrankt ind. Um un die Situation vor Augen zu führen, betrachten wir tatt relativer Häufigkeiten konkrete Anzahlen und gehen daher von einer Bevölkerungzahl von au. Die aboluten Häufigkeiten können nun überichtlich in eine ogenannte Vier-Felder-Tafel eingetragen und unere Frage beantwortet werden. krank geund Summe Tet po. a b a+b Tet neg. c d c+d Summe a+c b+d a+b+c+d Erläutere da ertaunliche Ergebni.

2 Vier-Felder-Tafel Fortetzung krank geund Summe Tet po Tet neg Summe Der Anteil der Erkrankten unter den Tet-Poitiven beträgt lediglich: = 3,8%. Diee Ergebni kann auch ohne Umweg au den Prozent-Angaben erzielt werden. Dazu werden relative Häufigkeiten in die Vier-Felder-Tafel eingetragen. krank geund Summe Tet po. 80% 0,% 2% 99,9% 80% 0,%+2% 99,9% Tet neg. Summe 0,% 99,9% 00% Wieder erhalten wir al Anteil der Erkrankten unter den Tet-Poitiven: 80% 0,% 80% 0,% + 2% 99,9% = 3,8% ( = 80% 0,% % 0,% % 99,9% = ). Eine etwa dynamichere Dartellung it da Baumdiagramm: 0,% 99,9% krank geund 80% 2% Tet Tet Tet Tet 2

3 Variation de Problem Nehmen wir an, da die zu tetende Peron einer Riikogruppe angehört (z. B. wegen ungeunder Ernährung, Alter über 50), in der die Wahrcheinlichkeit zu erkranken 20% (5%, 0%, 5%, %) beträgt. Mit welcher Wahrcheinlichkeit it die getetete Peron nun tatächlich erkrankt, fall da Tetergebni poitiv it? Für eine Gruppengröße von 500 ergibt die: krank geund Summe Tet po Tet neg Summe Der Anteil der Erkrankten unter den Tet-Poitiven erhöht ich auf: = 90,9%. krank 20% 80% geund 80% 2% Tet Tet Tet Tet 6% %,6% 78,% Anteil der Erkrankten unter den Tet-Poitiven (mit dem Pfaddiagramm): 20% 80% 20% 80% + 80% 2% = 90,9% 5% 87,6% 0% 8,6% 5% 67,8% % 28,8% f(p) = 0,8 p 0,8 p+0,02 ( p) p 3

4 Vier-Felder-Tafel Baumdiagramm 6 Summe a b a+b c d c+d Summe a+c b+d = a+b+c+d Die Beziehungen der Zahlen in der Vier-Felder-Tafel können auf zwei Weien in einem Baumdiagramm dargetellt werden: a+c b+d a+b c+d a c b d a b c d Die Grundgeamtheit etzt ich au den Summanden a, b, c und d der Vier-Felder-Tafel zuammen. Bei Prozentangaben ergeben diee Zahlen zuammen 00%, ie beziehen ich alo alle auf die Grundgeamtheit. It man jedoch an Anteilen (relativen Häufigkeiten) bzw. Wahrcheinlichkeiten intereiert, o ind Quotienten zu bilden. Ihre Summe it für eine Verätelung tet. a+c b+d a+b c+d a a+c c a+c b b+d d b+d a a+b b a+b c c+d d c+d Sind Anteile (relative Häufigkeiten) gegeben und wird beabichtigt, eine Vier-Felder-Tafel zu ertellen, dann ind au den Anteilen die aboluten Häufigkeiten zu errechnen.

5 Pfaddiagramm und Vier-Felder-Tafel Wir verwenden die Abkürzungen: m männlich w weiblich Gehalt beträgt mindeten 3000 e < Gehalt beträgt weniger al 3000 e Die Anteile für einen Betrieb eien: P(w) = P(w und <) = 6 P( ) = 7 2 Wird ein Arbeitnehmer bzw. eine Arbeitnehmerin zufällig heraugegriffen, können die Anteile al Wahrcheinlichkeiten angeehen werden. m w P(< m) =? P( w) =? < < 6 Geucht ind P(< m), der Anteil an den Männern alo, deren Gehalt weniger al 3000e beträgt, und P( w). Löe die Aufgabe auch mit einer Vier-Felder-Tafel. < Summe m w Summe

6 Pfaddiagramm und Vier-Felder-Tafel Löungen Wir verwenden die Abkürzungen: m männlich w weiblich Gehalt beträgt mindeten 3000 e < Gehalt beträgt weniger al 3000 e Die Anteile für einen Betrieb eien: P(w) = P(w und <) = 6 P( ) = 7 2 Wird ein Arbeitnehmer bzw. eine Arbeitnehmerin zufällig heraugegriffen, können die Anteile al Wahrcheinlichkeiten angeehen werden. 3 m w P(< m) = P(< m) = 3 3 P( w) = 3 < < P( w) = 3 Vier-Felder-Tafel: P(< m) = : 3 = 3 P( w) = 2 : = 3 < Summe m w Summe

7 Vier-Felder-Tafel Pfaddiagramm Bei 2 Merkmalen mit jeweil 2 Auprägungen gibt e Kombinationmöglichkeiten, nach denen eine Aufteilung erfolgen kann, entweder in aboluten oder relativen Häufigkeiten. Summe Summe Geamtumme Die Vier-Felder-Tafel bietet einen Rahmen, um Anteile der Auprägungkombinationen auf Anteile einer Teilmenge (Ellipe, waagerecht oder enkrecht) umzurechnen. P(... ) P(... ) Sind diee Anteile an einer betimmten Auprägungmenge gegeben, it ein Pfaddiagramm empfehlenwert: die Anteile können direkt übernommen werden. Die durch Multiplikation ermittelten Pfadanteile (-wahrcheinlichkeiten) füllen die Vier-Felder-Tafel. Summe Summe Geamtumme Für Fragetellungen zur ogenannten bedingten Wahrcheinlichkeit (Umkehrung, Rückwärtchließen) wird die Blickrichtung von enkrecht zu waagerecht bzw. umgekehrt gewechelt. Die kann ohne ein zweite Pfaddiagramm erfolgen. P(... ) P(... ) 7

8 Vier-Felder-Tafel Unabhängigkeit A A Summe B a b a+b B c d c+d Summe a+c b+d = a+b+c+d Wir bezeichnen mit P(A B) die Wahrcheinlichkeit von A unter der Annahme, da B eingetroffen it (bedingte Wahrcheinlichkeit). A it von B unabhängig, fall gilt: P(A B) = P(A B) a a+b = c c+d a c = b d d.h. oder Zeige: Wenn A von B unabhängig it, dann it auch B von A unabhängig. In einem Pfaddiagramm it die Unabhängigkeit an gleichen Teilbäumen zu erkennen. B B P(A B) P(A B) A A A A 8

9 Vier-Felder-Tafel Unabhängigkeit allgemeine Definition A A Summe B a b a+b B c d c+d Summe a+c b+d = a+b+c+d Wir bezeichnen mit P(A B) die Wahrcheinlichkeit von A unter der Annahme, da B eingetroffen it (bedingte Wahrcheinlichkeit). A it von B unabhängig, fall gilt: P(A B) = P(A B) a a+b = c c+d a c = b d d.h. oder B it dann auch unabhängig von A, die allgemeine Definition lautet: A und B ind unabhängig, fall gilt: P(A B) = P(A) P(B) Erläutere die Definition für da 2malige Werfen eine Würfel und den Ereignien: A = Im. Wurf eine 6. B = Im 2. Wurf eine 6. Für eine Vier-Felder-Tafel bedeutet die Unabhängigkeit P(A B) = P(A) P(B) a = a+c a+b Zeige die Äquivalenz zu: a c = b d In einem Pfaddiagramm it die Unabhängigkeit an gleichen Teilbäumen zu erkennen. B B P(A B) P(A B) A A A A 9

10 Bedingte Wahrcheinlichkeit und Pfaddiagramm A A Summe B a b a+b B c d c+d Summe a+c b+d = a+b+c+d Wie wird die bedingte Wahrcheinlichkeit P(A B) = a a+b mit dem angegebenen Pfaddiagramm betimmt? (Aufgabentellungen legen häufig derartige Diagramme mit Prozentangaben nahe.) P(A) = a+c P(A) = b+d P(B A) = a a+c A P(B A) = b b+d A B B B B Erläutere und rechne nach: P(A B) = P(A) P(B A) P(A) P(B A)+P(A) P(B A) =... = a a+b 0

11 Tet eine Medikament In einer Studie wurde ein Medikament getetet. Die Ergebnie ind in der Tabelle dargetellt. Dabei bedeuten: M: Medikament erhalten M: Placebo erhalten G: geund geworden G: nicht geund geworden G G Summe M M Summe Wie groß it die Wahrcheinlichkeit, da a) eine Peron geundet, von der man weiß, da ie da Medikament erhalten hat, b) eine Peron nicht geundet, da ie da Placebo erhalten hat, c) eine geund gewordene Peron da Medikament nicht erhalten hat? d) eine Tetperon geundet?

12 Tet eine Medikament In einer Studie wurde ein Medikament getetet. Die Ergebnie ind in der Tabelle dargetellt. Dabei bedeuten: M: Medikament erhalten M: Placebo erhalten G: geund geworden G: nicht geund geworden G G Summe M M Summe Wie groß it die Wahrcheinlichkeit, da a) eine Peron geundet, von der man weiß, da ie da Medikament erhalten hat, P(G M) = = 80,0% b) eine Peron nicht geundet, da ie da Placebo erhalten hat, P(G M) = = 75,0% c) eine geund gewordene Peron da Medikament nicht erhalten hat? P(M G) = = 6,7% d) eine Tetperon geundet? P = = 58,5% 2

13 Grippeimpfung In einer Gruppe von 800 Peronen haben ich 600 prophylaktich gegen Grippe impfen laen. Nach einer betimmten Zeit wurde jede Gruppenmitglied danach befragt, wer an einer Grippe erkrankte. K K Summe Dabei bedeuten: G: Peron it geimpft K: Peron it erkrankt G G Summe Berechnen Sie: a) P(G) b) P(G K) c) P(K G) d) P(G K) 3

14 Die Hälfte aller Studierenden einer Seminargruppe it höchten,75 m groß, davon ind 60% Frauen. 5% aller Studierenden dieer Seminargruppe ind Männer. Ermitteln Sie den Anteil der Studierenden dieer Seminargruppe, die Männer und zugleich größer al,75 m ind.

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