Bestimmung der Messunsicherheit
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- Erwin Kopp
- vor 8 Jahren
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1 Betimmung der Meunicherheit 1 Arten der Meabweichungen 1.1 Grobe Abweichungen Urachen Verehen de Beobachter bei Bedienung/Ableung der Meintrumente Irrtum de Beobachter bei Protokollierung/Auwertung der Mewerte Meverfahren oder Mebedingungen ungeeignet Grobe Abweichungen müen durch Sorgfalt und Kontrolle vermieden werden. Daher it zu jeder Meung mindeten eine Kontrollmeung, möglicht durch eine zweite Peron, durchzuführen. Grob fehlerhafte Werte einer Mereihe, die um mehr al 3 Standardabweichung vom Mittelwert abweichen, ind unter Angabe möglicher Urachen der Abweichung zu treichen. 1. Sytematiche Abweichungen Sytematiche Abweichungen beeinfluen da Meergebni unter identichen Mebedingungen tet in gleichem Sinne. Bei Wiederholung einer Meung unter gleichen Bedingungen ind ie nach Betrag und Vorzeichen kontant, können alo durch Wiederholung der Meung weder erkannt noch vermieden werden. Urachen Unvollkommenheit der Megeräte Rückwirkung de Megeräte auf da Meobjekt Umwelteinflüe Voreingenommenheit de Experimentator Überchreiten der Gültigkeitgrenzen phyikalicher Geetze Beipiele Eich- und Jutierfehler Nullpunktdrift, Nichtlinearität Alterung, Reibung, Korroion, Lagerpiel Verformung Innenwidertand, Eigenverbrauch Luftauftrieb, Kapillareffekte Temperatur, elektromagnetiche Felder Sytematiche Abweichungen ind prinzipiell erfabar (z. B. durch Variation der Memethode oder der Mebedingungen oder durch Nacheichung) und können damit durch Korrektion der Meergebnie augechaltet werden. Bekannte ytematiche Abweichungen Unter Praktikumbedingungen it die jedoch nicht möglich bzw. zu aufwendig. Unbekannte ytematiche Abweichungen Der Größtbetrag unbekannter ytematicher Abweichung wird abgechätzt und geht mit unbetimmtem Vorzeichen () in die Meunicherheit x ein.
2 1.3 Zufällige Abweichungen Zufällige Abweichungen beeinfluen da Meergebni unter identichen Mebedingungen tochatich bzgl. eine Betrag und Vorzeichen. Poitive und negative Abweichungen ind gleich wahrcheinlich. Subjektive Urachen Objektive Urachen Ableeabweichungen (Parallaxe) Schwankung der Umgebungbedingungen (p, T, U) Unicherheit der Skaleninterpolation Schwankung der Megeräteeigenchaften Reaktionvermögen (Reibung) Statiticher Charakter der Megröße (Druck in Gaen, Rauchen, Quantenfluktuationen) Zufällige Abweichungen ind unvermeidlich und nicht exakt erfabar, für ie können nur Wahrcheinlichkeitauagen auf der Bai von Vielfachmeungen unter gleichen Mebedingungen getroffen werden. Rechneriche Erfaung der Meabweichungen Gliederung:.1 Einmalige direkte Meung. Einmalige indirekte Meung.3 Mehrmalige direkte Meung.4 Mehrmalige indirekte Meung.1 Einmalige direkte Meung: Megröße x it die geuchte Ergebnigröße Die maximale Meunicherheit x der Megröße x ergibt ich durch lineare Addition der abgechätzten Größtwerte der unbekannten ytematichen und der zufälligen Abweichung: x = xy + xzuf (1) Abchätzung de Größtwert der unbekannten ytematichen Abweichung: Eich-, Verkehrfehlergrenzen von Memitteln nach DIN, Eichordnung o. ä. (iehe Auhänge im Praktikumraum) Hertellerangaben in den Bedienunganleitungen am Arbeitplatz Genauigkeitklaen von Analog-Megeräten, z. B. 1,5 Abweichung 1,5 % de Mebereich-Endwert Grobe Abchätzung der zufälligen Abweichung: Bei analogen Megeräten au Ablee- und Interpolation-Unicherheiten xzuf 0,5 Wert der kleinten Skalenteilung (z. B. 0,5 mm für Lineale). Bei digitalen Megeräten au den die ytematichen Abweichungen überteigenden Schwankungen de Anzeigewerte. Sind im Auhang und am Arbeitplatz keine Angaben über ytematiche Abweichungen zu finden, wird bei Analog-Megeräten x 1 Wert der kleinten Skalenteilung geetzt.
3 Da Meergebni it in der Form (x x) anzugeben, bei einer Strommeung z. B. al Diodentrom I = (3,5,3) ma Die Meunicherheit x wird auf maximal Ziffern 0 gerundet, der Zahlenwert der Megröße x it auf die gleiche Dezimaltelle zu runden. Neben der aboluten Meunicherheit x kann noch die relative Meunicherheit x/x oder die prozentuale Meunicherheit (x/x)100% angegeben werden.. Einmalige indirekte Meung: Ergebnigröße e it Funktion der Megrößen x, y, z: e = f (x, y, z) Der Größtwert der Meunicherheit errechnet ich nach dem linearen Fortpflanzunggeetz f f f e x y z x y z f f f,, - partielle Ableitungen x y z x, y, z - Meunicherheiten der Megrößen () Beipiel: Dichte einer Kugel m d 3 6 m m 6 6 m 3 d m d d d 3 d 4 Spezialfälle Abolute Meunicherheit einer Summe oder Differenz e = C(x y) e = C(x + y) e x y z Relative Meunicherheit eine Potenzprodukt e x y z e x y z Diee Formeln ollten nicht benutzt werden, wenn die gleiche Größe (unkürzbar) in Zähler und Nenner auftaucht, z. B. G B e. e
4 Verfahrenweie im Praktikum: Für jede Ergebnigröße it da Fortpflanzunggeetz abzuleiten, eine einzelnen Summanden ind formel- und zahlenwertmäßig zu berechnen und im Protokoll anzugeben, ebeno deren Summe, die geuchte abolute Meunicherheit. Bei funktionalen Abhängigkeiten y = f(x), die graphich dargetellt werden, ind die Meunicherheiten je eine Wertepaare x, y am unteren und oberen Ende de Wertebereich zu berechnen und al Balken an die Kurvenpunkte anzutragen. Die Meunicherheit durch lineare Regreion berechneter Größen wird au der Unicherheit A de Antieg A der Geraden berechnet, die au A und dem Korrelationkoeffizienten r nach der Beziehung 1 A r A tvn n ( 1 ), 1 (3) r oder mit Hilfe der Praktikumprogramme (FA, FB) oder näherungweie au der größten auftretenden Abweichung y eine Mepunkt von der Augleichgeraden nach der Beziehung A y A y y (4) 1 betimmt wird. y1 und y ind die obere und untere Grenze de y - Mebereich..3 Mehrmalige direkte Meung Erfaung der zufälligen Abweichungen (Fehlertatitik) Da Verteilunggeetz der zufälligen Abweichungen der Mewerte xi einer Stichprobe vom Mittelwert x und vom Erwartungwert der Mittelwerte x mehrerer Stichproben vom Erwartungwert genügt offenichtlich folgenden Bedingungen: Gleich große poitive und negative Abweichungen ind gleich wahrcheinlich Die Verteilung it ymmetrich. Kleine Abweichungen ind wahrcheinlicher al große. Die Wahrcheinlichkeit, da die Abweichung zwichen 0 und liegt, it 1. Diee Bedingungen erfüllen die Normal- und die t-verteilung.
5 .3.1 Gaußche Normalverteilung in tandardiierter (normierter) Form pu) ( 1 e u x x mit u x oder u n x - Mittelwert - Erwartungwert - Standardabweichung - Diperion, Varianz (5) p( x, 8) p( x, 4) Gaußche Normalverteilung mit Standardabweichung = 8 Gaußche Normalverteilung mit Standardabweichung = 4 x xm Bild 1: Gaußche Normalverteilung Der (arithmetiche) Mittelwert it der Schätzwert für den Erwartungwert einer Megröße und ergibt ich au der Forderung ( x i x) Minimum 1 n n x (6) n x i i1 Die Standardabweichung charakteriiert die Streuung der Grundgeamtheit aller Mewerte um den Erwartungwert und it in der Regel nicht bekannt. Al Maß für die Streuung der n Mewerte einer Stichprobe um den Mittelwert wird die empiriche Standardabweichung benutzt: ( xi x) Die empiriche Standardabweichung (auch mit n-1 bezeichnet) it die mittlere (quadratiche) n 1 Abweichung der Einzelmewerte vom Mittelwert. Der Nenner it wegen de Verlute eine Freiheitgrade infolge Mittelwertbildung nach (6) um 1 verringert. (7)
6 Die mittlere (quadratiche) Abweichung de Mittelwert der Stichprobe vom (unbekannten) Erwartungwert (wahren Wert) ergibt ich durch Anwendung de quadratichen Fortpflanzunggeetze der Meunicherheiten (13) auf x mit xi = zu n ( xi x) n( n1) (8) x x Die Größen t x und t gehorchen jedoch keiner Normalverteilung, da zwar der Zähler, nicht aber der Nenner normalverteilt it. Sie gehorchen einer t-verteilung mit n1 Freiheitgraden, die ich allerding mit wachendem bzw. n der tandardiierten Normalverteilung annähert..3. Studentche t-verteilung (Student = Goet 1908) pt () ( 1 ) t ( ) ( ) x mit t x x oder t = n - 1 Zahl der Freiheitgrade (k) Gammafunktion (9) pn( ) pt(, 4) Gaußche Normalverteilung t-verteilung mit n = 5 Bild : t-verteilung und Normalverteilung Die t-verteilung it ymmetrich zu t = 0, hängt von der Zahl der Freiheitgrade ab und nähert ich mit wachendem bzw. n der tandardiierten Normalverteilung an (. Bild ). 10 4
7 .3.3 Vertrauenbereich, Vertrauenniveau Der Vertrauenbereich it der Bereich um den Mittelwert x zwichen den beiden Vertrauengrenzen tv, in dem der Erwartungwert mit einer Wahrcheinlichkeit (genannt Vertrauenniveau) von t V - Irrtumwahrcheinlichkeit Pt ( V ) ( 1 ) ptdt ( ) x t t V zu finden it. Der t-faktor t V hängt einereit vom angetrebten Vertrauenniveau (1 - ), außerdem jedoch von der Zahl der Freiheitgrade bzw. von der Anzahl n der Meungen ab und kann Tabellen der integralen t-verteilungfunktion oder nachtehender Tabelle entnommen werden. Die letzte Zeile gibt die Faktoren bei Normalverteilung an. t - Faktor t V Zahl der Meungen 68,6% 95 % 99 % 99,73 % 3 1,3 4,30 9,93 19,1 5 1,15,78 4,60 6,6 8 1,08,37 3,50 4, ,06,6 3,5 4, ,01,01,68 3, ,00 1,98,63 3,08 1,00 1,96,58 3,00 Die zufällige Komponente der Meunicherheit errechnet ich dann zu x t zuf V (10) Da Vertrauenniveau it tet anzugeben! Unter Experimentbedingungen im Bereich der Naturwienchaften und Technik wird in der Regel ein Vertrauenniveau von 95% oder 99,73% benutzt. Den Rechenprogrammen im Praktikum liegt ein Vertrauenniveau von 99,73% zugrunde. Unter Einbeziehung de nach.1 abgechätzten Größtwert der ytematichen Abweichung ergibt ich die maximale Geamt-Meunicherheit durch lineare Addition zu x t x It die ytematiche Abweichung ehr genau mit einem der zufälligen Abweichung vergleichbaren Vertrauenniveau bekannt, kann die Geamt-Meunicherheit durch quadratiche Addition berechnet werden: V y x tv xy (11) (1) Bei quadraticher Addition ergibt ich tet eine kleinere Meunicherheit al bei linearer Addition.
8 .4 Mehrmalige indirekte Meung Wurden die Meunicherheiten x, y, zfür jede Megröße x, y, z durch lineare Addition der zufälligen Abweichungen und der abgechätzten Größtwerte der ytematichen Abweichungen nach (11) betimmt, it der Größtwert der Unicherheit e de Mittelwert der Ergebnigröße e nach dem linearen Fortpflanzunggeetz () zu berechnen. Da Vertrauenniveau mu für alle zufälligen Abweichungen gleich ein und tet angegeben werden. Wurden die Meunicherheiten x, y, zfür jede Megröße x, y, z durch quadratiche Addition der zufälligen und der ytematichen Abweichungen gleichen Vertrauenniveau nach (1) betimmt oder it die ytematiche Abweichung wegen ihrer Kleinheit vernachläigt worden, wird die Unicherheit e de Mittelwert der Ergebnigröße e nach dem quadratichen (Gaußchen) Fortpflanzunggeetz (13) berechnet. f f f e ( x) ( y) ( z) x y z (13) Die nach dem quadratichen Fortpflanzunggeetz berechnete Unicherheit e it tet kleiner al die nach dem linearen Fortpflanzunggeetz berechnete.
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