Beispiellösungen zu Blatt 84

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1 µatheaticher κorrepondenz- zirkel Matheatiche Intitut Georg-Augut-Univerität Göttingen Aufgabe 1 Beipiellöungen zu Blatt 84 Welche der folgenden Zahlen it größer? , Löung: E gilt 2009 < 2010 und folglich auch ) < ) Addieren wir noch und chieben die negativen Tere auf die jeweil andere Seite, ergibt ich oder zuaengefat < ) ) < ) ) Ziehen wir die Wurzel, ultiplizieren it 2 und addieren auf beiden Seiten noch , erhalten wir ) ) < ) ) bzw quadratich zuaengefat ) < ) Da die quadrierten Tere beide poitiv ind, ändert ich bei Wurzelziehen wiederu nicht a Relationzeichen Soit ergibt ich, da die größere der beiden Zahlen it

2 Aufgabe 2 Stefan Schneetiefel it auf großer Winterwanderung und öchte die nächte Wanderhütte öglicht chnell erreichen Der noch verbleibende Weg dorthin hat eine L-For, noch 500 geradeau, danach knickt der Weg u 90 ab und hat noch einal 100 Stefan überlegt, ob e ich lohnt, über da chneebedeckte Feld abzukürzen, bzw ab welcher Stelle e ich lohnt Er u dabei einkalkulieren, da eine Querfeldein-Gechwindigkeit nur 4 k/h beträgt, während die norale Wandergechwindigkeit 5 k/h beträgt Wa rätt du ih? Löung: Auflöen der hoffentlich bekannten Forel Gechwindigkeit = Weg durch Zeit v = /t) nach t ergibt t = /v I Folgenden rechnen wir in den Einheiten k und k/h, laen diee aber bei Schreiben teilweie weg Wenn Stefan auf die Abkürzung verzichtet und den befetigten Weg läuft, beträgt die zu abolvierende Strecke 0,5 k + 0,1 k = 0,6 k und die dafür benötigte Zeit t 1 = 0,6 k 5 k/h = 0,12 h 0,1 0,5x Wir nehen nun an, da Stefan den Anteil x der 0,5 Kiloeter langen Strecke abkürzt, inde er von dieer Stelle au querfeldein läuft Wir betien die Geatzeit für einen olchen Weg in Abhängigkeit von x und anchließend diejenigen Werte für x, für die die Zeit ebenfall 0,12 Stunden beträgt: Die Wegtrecke, die Stefan über da Feld läuft, it die Hypotenue eine rechtwinkligen Dreieck it den Kathetenlängen 0,1 und 0,5 x, hat alo die Länge 0, ,5 x) 2 Da Stück, da Stefan auf de befetigten Weg geht, hat die Länge 0,51 x) Die Geatzeit für diee Wanderwegvariante beträgt alo 0,5 t 2 x) = 0,51 x) 5 0,12 + 0,5 x) Löen der Gleichung t 1 = t 2 x) liefert nun die geuchten Werte für x: t 1 = 0,51 x) 5 + 0,12 + 0,5 x) t 1 = 8 0,11 x) + 4 0, ,5 x) 2 0,96 0,81 x) = 0,04 + x 2 0,16 + 0,8 x) 2 = 0,04 + x 2

3 Löungen zu Blatt 84 3 Die Äquivalenz folgt darau, da e nur poitive Löungen x geben kann) 0 = 0,36x 2 0,256 x + 0, = x x + 0,04 = x 1/2 = ± = ± = x 1 0,65, x 2 0,062 Da der Koeffizient von x 2 in der Funktion t 2 x) poitiv it, it die zugehörige Parabel nach oben geöffnet, d h zwichen den beiden gefundenen Löungen nit die Funktion Werte kleiner al t 1 = 0,12 h an Alo lohnt e ich, jeden beliebigen Anteil zwichen 6,2% und 65% der 500 langen Strecke abzukürzen Beerkung: Da nicht explizit nach de zeitoptialen Weg gefragt war, genügte e, da obige Intervall zu betien Natürlich kann an unter Verwendung von etwa Analyi Betien der Nulltelle der Ableitung von t 2 x)) auch die Stelle finden, an der Stefan optialerweie auf da Feld abbiegen ollte; ie it bei x = 4 15 Aufgabe 3 Jotje und Sverre pielen: An einer Tafel teht die Zahl 2010 Abwechelnd nehen ie die an der Tafel tehende Zahl n, ziehen einen ihrer Teiler ungleich n ab, chreiben da Ergebni der Subtraktion al neue Zahl an die Tafel und treichen die alte Zahl durch Wer die 1 anchreiben kann, gewinnt Jotje fängt an Kann einer der beiden den Gewinn erzwingen? Löung: Jotje al beginnende Spielerin kann den Gewinn erzwingen Jotje Strategie beteht darin, einen olchen Teiler auzuwählen, da ie Sverre jede Mal eine ungerade Zahl hinterlät Hat Sverre nälich eine ungerade Zahl x an der Tafel tehen, o ind auch alle Teiler dieer Zahl ungerade Zieht er einen davon von x ab, o it die Differenz in jede Fall eine gerade Zahl Inbeondere kann er nicht die 1 an die Tafel chreiben Hat hingegen Jotje o wie a Anfang eine gerade Zahl y an der Tafel tehen, o hat diee indeten einen ungeraden Teiler, nälich die 1 Zieht ie die 1 oder irgendeinen anderen ungeraden Teiler von y ab, o it die Differenz ebenfall eine ungerade Zahl Jotje kann alo in ihre erten Zug, o wie auch in jede ihrer folgenden Züge, Sverre eine ungerade Zahl hinterlaen Sverre hingegen u jede Mal eine gerade Zahl für Jotje an die Tafel chreiben Da die angechriebene Zahl jede Mal echt kleiner al die vorhergende it, wird Jotje nach endlich vielen Schritten die 1 an die Tafel chreiben können und gewinnt

4 Löungen zu Blatt 84 4 Aufgabe 4 Für eine poitive ganze Zahl > 1 ei k) die kleinte poitive ganze Zahl größer al 1, die ein Teiler von it; und wenn = 1 it, ei k) = 1 Zu einer rationalen Zahl z betien wir eine Nachfolgerzahl fz) Dazu tellen wir z gekürzt al z = p dar, chreiben allerding ander al ont q üblich ein eventuelle Minu in den Nenner E gilt dann alo ggtp, q) = 1 und p 0 Dait definieren wir fz) := kp) p k p p kp) ) ) p + 1 kp) Sei chließlich eine poitive ganze Startzahl a 0 gegeben Wir betrachten die Folge, die ich au a n+1 := fa n ) für n 0 ergibt Zeige, da die Folge irgendwann kontant wird Welchen Wert nit ie dann an, nach wie vielen Schritten it da der Fall und wie oft wird zwichendurch ein negativer Wert angenoen? Löung: Sei = p i 1 eine poitive ganze Zahl ungleich 1 it ihrer Prifaktorzerlegung, < p 2 < < p ind alo die Priteiler, und die i j eien natürlich größer al null Diee Bedingungen ollen i Folgenden bei jeder Prifaktorzerlegung gelten) Wenn k) die kleinte poitive ganze Zahl größer al 1 it, die ein Teiler von it, dann it offenichtlich k) die kleinte Prizahl, die teilt, alo k) = Wenn i 1 > 1 it, it auch k alo k) k k) k) ) ) = = k) In diee Fall it k) = k) k) =, ) ) k k) k) + 1 = k) 1 = Da bedeutet: Wenn in der gekürzten Bruchdartellung von z = pi 1 q der kleinte Priteiler de Zähler von z in ehr al nur einfacher Potenz vorkot, alo i 1 > 1 it, dann it fz) = pi 1 1 = pi Ander geagt: In diee Fall ergibt ich die Nachfolgezahl von z einfach au de Zähler von z durch Teilen durch deen kleinten Priteiler Wir gehen wieder einen Schritt zurück und betrachten k) für den Fall, da = p i 1 it i 1 = 1 und it 2 it Hier it = k) = p i 2 2 p i 3 3 p i Daher it k ) = p k) 2 und alo ) ) k k) k) + 1

5 Löungen zu Blatt 84 5 da p 2 3 gilt = p 2 ) + 1 = p 2 ) < 0, Darau folgt: Wenn für z = = pi 1 q q dann it fz) = ) = p 2 ) + 1 gilt, da i 1 = 1 und 2 it, p 2 ) + 1 Wohlgeerkt it natürlich = p i 2 eine poitive ganze Zahl Der Nenner von fz) it ein Vielfache de Zähler plu 1 und dait teilerfred zu Zähler Alo it die obige Dartellung ein gekürzter Bruch, und hier it der Nenner negativ, alo die Zahl fz) ingeat Wie an der Forel für fz) zu erkennen it, it der Nenner für den weiteren Fortgang einer Rekurion unintereant; er orgt hier aber dafür, da da Ergebni negativ wird Bleibt al letzter intereanter Fall zu unteruchen, welchen Wert fz) und gegebenenfall eine Nachfolger) annehen, wenn z = p, der Zähler von z q alo eine Prizahl it E it kp ) = p und k p kp ) ) = k1) = 1 Dait it fp ) = p p p ) = 1 p Der Nachfolger dieer Zahl it dann genau wie der Nachfolger von 1 da der Nenner für die Nachfolgerberechnung ja unintereant it) f1) = k1) 1 + 1) = 1 Zuaengenoen ergibt ich: Für da Berechnen der nächten Zahl in einer Rekurion it nur der Zähler der Startzahl wichtig In jede Schritt der Rekurion verliert der Zähler einen kleinten Prifaktor Wenn der letzte Prifaktor verchwindet, it allerding der Nenner ungleich 1, o da ein weiterer Rekurionchritt nötig it, u den Wert 1 zu erreichen Ab diee Zeitpunkt it die Folge kontant Genau dann, wenn der kleinte Prifaktor de Zähler in nur einfacher Potenz vorhanden it, ergibt ich ein negativer Nenner, alo ein negativer Wert in der Folge it der Aunahe bei Übergang von p zu 1 p

6 Löungen zu Blatt 84 6 Für eine Startzahl a 0 = pi 1 braucht die Rekurion daher genau i q 1 + i i + 1 Schritte, u den kontant bleibenden Wert 1 zu erreichen; und 1)-al wird dabei ein negativer Wert angenoen Stand: 20 Februar 2010