Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW Helmut Küchenhoff

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1 Zufallsgrößen 2.5 Zufallsgrößen Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße Erwartungswert und Varianz für diskrete Zufallsgrößen für stetige Zufallsgrößen für lineare Transformationen von Zufallsgrößen 1

2 2.5 Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt: Beispiele: 1. Augenzahl beim Werfen zweier Würfel 2. Zeit beim Warten auf den Bus 3. Antwort ja = 1 nein = 0 Formal Abbildung: X : Ω R (Abbildung des Ergebnisraums auf die reellen Zahlen) Im Beispiel 1 : (1,1) 2 (1,2) 3 (2,1) 3 (2,2) 4 2

3 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine Zufallsgröße X definiert als: F( x) = P( X x) Im Beispiel 1 : P( X P( X P( X P( X 1) = 0 2) = 1/ 36 3) = (1 + 2) / 36 4) = ( ) / 36 3

4 Beispiele für Verteilungsfunktionen P Einmal Würfeln P Zweimal Würfeln 4

5 Verteilungsfunktion: Warten auf den Bus P(T <= 5 ) = 0.5 P(T<= 1) = 0.1 5

6 Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie ist definiert als: f ( x) = P( X = x) Im Beispiel 1: P( X P( X P( X P( X = 1) = 0 = 2) = 1/ 36 = 3) = 2 / 36 = 4) = 3/ 36 6

7 Beispiele für Wahrscheinlichkeitsfunktionen P Einmal Würfeln P Zweimal Würfeln 7

8 Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Warten auf den Bus: Zufallsgrößen P(T= 2) =??? 8

9 Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Warten auf den Bus: Zufallsgrößen P(T= 2) = P(1.5<T<2.5) = 1/10 P(T= 2) = P(1.99<T<2.01) = 2/1000 P(T= 2) = 0??? 9

10 Konzept der Dichtefunktion P( 5<=T<=7) = Fläche unter der Kurve 10

11 Definition der Dichtefunktion Zu einer Zufallsgröße ist f Dichtefunktion, falls gilt: P ( a X b) = f ( x) dx b a 11

12 Glück beim Warten auf den Bus 12

13 Eigenschaften der Dichte f(x) 0 F (x) = f(x) (Dichte ist Ableitung der Verteilungsfunktion) f ( x) dx =1 13

14 Erwartungswert diskreter Zufallsgrößen X sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen Werten. Dann ist der Erwartungswert E(X) x 1,...x n n E( X ) = x P( X = x i i ) i= 1 Der Wert, der sich bei häufiger Wiederholung als Mittelwert ergibt. 14

15 Beispiele Erwartungswert Würfelwurf E( X ) = *1+ *2 + *3+ *4 + *5 + *6 = Summe zweier Würfel E( S) = *2 + * *11+ *12 = Antwort ja oder nein E( X ) = P( X = 0)*0 + P( X = 1)*1 = P( X = 1) 15

16 Erwartungswert bei Wetten P: Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X: Gewinn X = 1- Einsatz e, falls Ereignis eintritt (Werfe 6, Rot beim Roulette ) X = - Einsatz e, falls Ereignis nicht eintritt E(X) = P*(1-e) (1-P)*e Sonderfall e = P E(X) = P * (1-P) P * (1-P) = 0 Faires Spiel 16

17 Glücksspiele Roulette: e = 1 p=1/37 Gewinn 36 E(X) = 1/37* (36-1) 36/37*1 = -1/37 Bank gewinnt Pokern: Gute Spieler spielen nur Wetten mit positivem Erwartungswert. Hierbei gehen Wahrscheinlichkeiten für die neuen Karten und Einschätzungen über das Verhalten der Gegner ein 17

18 Texas Hold em 1) Jeder Spieler bekommt 2 Karten 2) Dann werden 5 Karten aufgedeckt 3) Die 2 Karten jedes Spielers werden jeweils mit den 5 aufgedeckten Karten zu einem Blatt mit 5 Karten kombiniert Das höchste Blatt gewinnt pokerplatt.pdf Ablauf 18

19 Spielablauf Setzen nach 2 eigenen Karten Setzen nach 3,4,5 aufgedeckten Karten Unbekannt: Fremde Karten, Karten die noch kommen 19

20 Beurteilung der Gewinnchance Beispiel 2 Spieler: Ich habe 2 Assen Wie groß ist meine Gewinnchance? Ansatz: Betrachte alle Möglichkeiten der Karten des Gegners und alle Möglichkeiten der 5 aufzudeckenden Karten 20

21 Berechnung der Gewinnchance Alle Möglichkeiten mit Hilfe eines Programms ( durchprobieren: Verloren Unentschieden Gewonnen Gewinnwahrscheinlichkeit: 85 % Meine Chancen stehen 85:15 (Odds) Annahme: Alle Blätter haben die gleiche W keit 21

22 Beispiel: Strategie Ich habe eine Paar 8 8. Im Pot sind 40 $ Mein nötiger Einsatz 20 $: 1) Mein Gegner hat A D: P(Gewinn) = 0.55 E(Gewinn) = 0.55* *20 = 13 CALL!!!! 2) Mein Gegner hat höheres Paar : P(Gewinn) = 0.2 E(Gewinn) = 0.2*40 0.8*20 = -8 FOLD!!! 22

23 Erwartungswert stetiger ZG E ( X ) = x f ( x) dx Integral statt Summe, Dichte statt Wahrscheinlichkeit 23

24 Beispiel Warten auf den Bus In der Situation der Folie 11 Glück beim Warten auf den Bus ergibt sich ein Erwartungswert von 3,33. 24

25 Varianz und Standardabweichung von Zufallsgrößen Lageparameter: Erwartungswert Streuungsparameter: Varianz und Standardabweichung Wie stark weichen die Ausprägungen im Durchschnitt vom Erwartungswert ab? 25

26 Beispiel Investment 1 mit P(Gewinn= 10) = 0.5 P(Verlust=10) = 0.5 Investment 2 P(Gewinn = 1) = 0.5 P(Verlust= 1) = 0.5 Beide Investments haben EW 0, aber V(I1) = 100 STD(I1) = σ =10 V(I2) = 1 STD(I2) = σ = 1 26

27 Beispiel zur Varianz Y : Einmal Würfeln und Multiplikation mit 2 E(Y) = 7 V(Y) = 1/6*(2-7) 2 + 1/6*(4-7) 2 + 1/6*(6-7) 2 + 1/6*(8-7) 2 + 1/6*(10-7) 2 + 1/6*(12-7) 2 = σ =

28 Beispiel zur Varianz S : Würfeln mit 2 Würfeln E(S) = 7 V(S) = 1/36*(2-7) 2 + 2/36*(3-7) 2 + 3/36*(4-7) 2 + 1/36*(11-7) 2 + 1/36*(12-7) 2 = σ =

29 Varianz bei der Wartezeit auf den Bus 29

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