Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3
|
|
- Lennart Buchholz
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 20. April 2017 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
2 1.5 Zufallsgrößen Zufallsgrößen und deren Verteilung Oft sind Ergebnisse von Zufallsversuchen in Form von Zahlen gegeben oder es ist für eine mathematische Behandlung günstig, den elementaren Versuchsausgängen Zahlen zuzuordnen. Diese vom Zufalls abhängigen Zahlenwerte werden durch eine Zufallsgröße X (oder mehrere Zufallsgrößen X 1, X 2,..., X n ) modelliert. Beispiele: Zufällige Anzahl X (von Schadensfällen, Konkursen,... ) mit möglichen Werten {0, 1, 2,...}. Zufällige Zeit X (Lebensdauer, Ausfallzeit,... ) mit möglichen Werten {x R : x 0}. Messergebnis X (Geldmenge, Temperatur,... ) mit entsprechenden Zahlenwerten (ohne Maßeinheit) als möglichen Werten. Augenzahl X beim Würfeln mit möglichen Werten {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
3 Mathematische Definition einer Zufallsgröße Mathematische Definition einer Zufallsgröße: Eine Abbildung (Funktion) X : Ω R heißt Zufallsgröße (reelle Zufallsvariable, kurz: ZG), falls für jedes Intervall (a, b) R, a < b die Menge {ω Ω : a < X (ω) < b} ein zufälliges Ereignis ist (dies ist die sogenannte Messbarkeitsbedingung, dabei wird ein System A von zufälligen Ereignissen mit den Eigenschaften aus den Axiomen als gegeben vorausgesetzt). Sind X, Y Zufallsgrößen zu einem Zufallsversuch, dann sind auch X + Y, X Y, X Y, X /Y falls Y 0, a X mit a R und ähnliche durch mathematische Operationen gebildete Größen Zufallsgrößen. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
4 Grundtypen von Zufallsgrößen Für Zufallsgrößen interessieren vor allem Wahrscheinlichkeiten der Art P(X b), P(a < X < b) oder P(a X b) für reelle Zahlen a < b (diese bilden die Verteilung der Zufallsgröße) sowie abgeleitete Kenngrößen, wie Erwartungswerte, Varianzen usw. Es gibt zwei wichtige Grundtypen von Zufallsgrößen, die sich zum Teil mit unterschiedlichen mathematischen Hilfsmitteln untersuchen lassen: diskrete Zufallsgrößen (Zufallsgrößen mit diskreter Verteilung) und stetige Zufallsgrößen (Zufallsgrößen mit (absolut) stetiger Verteilung). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
5 Diskrete Zufallsgrößen Definition: Eine Zufallsgröße X heißt diskret, wenn sie nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte x 1, x 2,... annehmen kann. Die Zuordnung p i := P(X = x i ), i = 1, 2,... heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsgröße. Sie wird meistens durch eine Verteilungstabelle gegeben: Werte x i x 1 x 2 x 3... Wahrscheinlichkeiten p i p 1 p 2 p 3... Für die Wahrscheinlichkeiten p i gelten: 1. 0 p i 1 2. i p i = 1 Beispiel: Gerechtes Würfeln x i p i Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
6 Die Verteilung diskreter Zufallsgrößen Es gelten z.b. P(a X b) = i : a x i b für reelle Zahlen a b bzw. allgemein für eine Menge B R P(X B) = p i. i : x i B p i Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten p i efolgt durch Berechnung aus Grundannahmen (oft für typischen Situationen bzw. Verteilungen) oder experimentell mittels statistischer Methoden. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
7 Zufallsgrößen mit stetiger Verteilung Definition: Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn es eine integrierbare reelle Funktion f X (x) gibt, so dass P(a X b) = für beliebige reelle Zahlen a b gilt. b a f X (x) dx Die Funktion f X heißt Dichtefunktion (oder Verteilungsdichte) der Zufallsgröße X und besitzt die Eigenschaften: 1. f X (x) 0 für alle x R ; 2. f X (x) dx = 1. Sie gibt die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse auf der reellen Achse an. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
8 Beispiel Zufallsgröße mit stetiger Verteilung Beispiel: Rein zufällige Auswahl eines Punktes (Wertes) X aus dem Intervall [0, 1] ( auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte oder gleichmäßig verteilte Zufallsgröße ). Für 0 a < b 1 gilt P(a X b) = b a. { 1, für 0 x 1, Die Dichtefunktion ist f X (x) = 0, sonst. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
9 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Die Verteilungen von diskreten oder stetigen Zufallsgrößen (oder anderen Typen) können vollständig durch die Verteilungsfunktion der jeweiligen Zufallsgröße beschrieben werden. Definition: Die Funktion F X einer reellen Variablen mit reellen Funktionswerten, die durch F X (x) = P(X < x) = P( < X < x), x R, definiert wird, heißt Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X. Der Funktionswert ist für jede reelle Zahl x die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X einen Wert annimmt, der kleiner als x ist. Bemerkung: Mitunter wird die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X auch durch F X (x) = P(X x), x R, definiert, insbesondere in der Zuverlässigkeitstheorie. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
10 Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Für diskrete Zufallsgrößen mit endlich vielen möglichen Werten ist die Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion mit Sprüngen der Höhe p i an den Werten x i. Beispiel: X Augenzahl beim Würfeln mit einem gerechten Würfel: Verteilungsfunktion F X. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
11 Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße Für stetige Zufallsgrößen ist die Verteilungsfunktion eine in allen Punkten stetige Funktion. F X (x) = x f X (t) dt, x R und f X (x) = F X (x) in den Werten x, in denen die Ableitung existiert. Beispiel: Zufallsgröße X auf [0, 1] gleichverteilt: Verteilungsfunktion F X. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
12 Allgemeine Eigenschaften von Verteilungsfunktionen Eine Verteilungsfunktion F X ist monoton nicht fallend. Es gilt lim X (x) = 0. x Es gilt lim X (x) = 1. x + Es gilt für beliebige reelle Zahlen a < b : P(a X < b) = F X (b) F X (a). Spezialfälle: a = : P(X < b) = F X (b), b = : P(a X ) = 1 F X (a). Für eine stetige Zufallsgröße X gelten P(a X < b) = P(a < X < b) = P(a < X b) = P(a X b). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
13 1.5.2 Charakteristische Größen von Verteilungen Die Gesamtinformation, die mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben wird (oder gegeben werden muss) ist häufig zu umfangreich, dehalb nutzt man abgeleitete Kenngrößen, die in praktischen Situationen gut zu nutzen sind. Dabei kann man bei den Kenngrößen im Allgemeinen Lageparameter und Streuungsparameter unterscheiden. Die am häufigsten genutzte Kenngröße ist der Erwartungswert EX einer Zufallsgröße X (auch Mittelwert der Zufallsgröße genannt). Er ist ein Lageparameter, eine (nichtzufällige) reelle Zahl und beschreibt den Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
14 Erwartungswert einer Zufallsgröße I Definition: Für eine diskrete Zufallsgröße X mit möglichen Werten x 1, x 2,... und zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p 1 = P(X = x 1 ), p 2 = P(X = x 2 ),... wird der Erwartungswert definiert durch EX = x i p i. i Für eine stetige Zufallsgröße X mit Dichtefunktion f X wird der Erwartungswert definiert durch EX = x f X (x) dx. Beispiele: X Augenzahl beim Würfeln mit einem gerechten Würfel. X gleichmäßig verteilt auf dem Intervall [0, 1]. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
15 Erwartungswert einer Zufallsgröße II Beispiele: X Augenzahl beim Würfeln X gleichverteilt auf [0, 1] Einzelwahrscheinlichkeiten Dichtefunktion und Erwartungswert und Erwartungswert Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
16 Erwartungswert einer Zufallsgröße III Es gelten folgende Rechenregeln für Erwartungswerte: sind X und Y Zufallsgrößen und a und b reelle Zahlen, dann gelten E(a + b X ) = a + b EX ; E(X + Y ) = EX + EY. Dies sind die Linearitätseigenschaften der Erwartungswertbildung. Nicht jede Zufallsgröße besitzt einen Erwartungswert. Ist g : R R eine (z.b. stetige) Funktion und X eine Zufallsgröße, dann kann man den Erwartungswert der Zufallsgröße Y = g(x ) wie folgt berechnen: EY = Eg(X ) = i g(x i )p i für eine diskrete ZG X ; EY = Eg(X ) = g(x)f X (x) dx für eine stetige ZG X. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April
Statistik für Ingenieure Vorlesung 3
Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 14. November 2017 3. Zufallsgrößen 3.1 Zufallsgrößen und ihre Verteilung Häufig sind
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 2
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 16. April 2018 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 9. April
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 3
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 15. April 2019 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 1. April
MehrStatistik für Ingenieure Vorlesung 2
Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 24. Oktober 2016 2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Häufig ist es nützlich, Bedingungen
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 4
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 25. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 5
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition
MehrZufallsvariablen [random variable]
Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden
Mehr1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Hypothesentests. 5 Regression
0 Einführung 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests 5 Regression Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen
MehrVorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenho Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare
MehrUniversität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Zufallsvariablen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführung 2. Zufallsvariablen 3. Diskrete Zufallsvariablen 4. Stetige Zufallsvariablen 5. Erwartungswert
MehrWichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Version: 22. September 2015 Evelina Erlacher 1 Mengen Es sei Ω eine Menge (die Universalmenge ) und A, B seien Teilmengen von Ω. Dann schreiben
MehrWoche 2: Zufallsvariablen
Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 19/21, 29.04.2019 Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2019 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit
MehrWoche 2: Zufallsvariablen
Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 17/19, 24.04.2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2017 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit
MehrAnliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.
2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang
MehrZufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten
Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests
Mehr2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen
8 2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen Häufig ist es so, dass den Ausgängen eines Zufallexperiments, d.h. den Elementen der Ereignisalgebra, eine Zahl zugeordnet wird. Das wollen wir etwas mathematischer
MehrWichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Version: 15. Jänner 2017 Evelina Erlacher Inhaltsverzeichnis 1 Mengen 2 2 Wahrscheinlichkeiten 3 3 Zufallsvariablen 5 3.1 Diskrete Zufallsvariablen............................
Mehr8 Verteilungsfunktionen und Dichten
8 Verteilungsfunktionen und Dichten 8.1 Satz und Definition (Dichten) Eine Funktion f : R R heißt Dichtefunktion, kurz Dichte, wenn sie (Riemann-) integrierbar ist mit f(t) 0 für alle t R und Setzt man
Mehr13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren
3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem
Mehr1.3 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen
.3 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen.3. Einführung Vielfach sind die Ergebnisse von Zufallsversuchen Zahlenwerte. Häufig möchte man aber auch in den Fällen, wo dies nicht so ist, Zahlenwerte zur
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
5. Vorlesung Verteilungsfunktion (VF) Definition 9 Die Verteilungsfunktion (VF) einer Zufallsgröße X ist F : R R definiert als F (x) := P({ω Ω : X (ω) x}) = P( X x ) für jedes x R. Satz 9 - Eigenschaften
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 5
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 7. Mai 2018 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April
MehrEindimensionale Zufallsvariablen
Eindimensionale Grundbegriffe Verteilungstypen Diskrete Stetige Spezielle Maßzahlen für eindimensionale Erwartungswert Varianz Standardabweichung Schwankungsintervalle Bibliografie Bleymüller / Gehlert
MehrZufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential
Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 4
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 30. April 2018 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 24.
MehrP (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...
2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel
MehrWirtschaftsmathematik
Einführung in einige Teilbereiche der Wintersemester 206 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B). Formal: P(A
MehrWahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester 2018 2.5.2018 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Diskreter
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom
Übungsaufgaben 9. Übung SS 16: Woche vom 5. 6. 10. 6. 2016 Stochastik III: Totale Wkt., S.v.Bayes, Diskrete ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...
MehrVorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen II Dr. Klaus Lukas Carsten Neundorf. Vorlesung 04 Mathematische Grundlagen II,
Vorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen II Dr. Klaus Lukas Carsten Neundorf 1 Was sollen Sie heute lernen? 2 Agenda Wiederholung stetige Renditen deskriptive Statistik Verteilungsparameter
Mehr5 Zufallsvariablen, Grundbegriffe
II. Zufallsvariablen 5 Zufallsvariablen, Grundbegriffe Def. 12 Es seien (Ω 1, E 1,P 1 ) und (Ω 2, E 2,P 2 ) Wahrscheinlichkeitsräume. Eine Abbildung X : Ω 1 Ω 2 heißt E 1 E 2 meßbar, falls für alle Ereignisse
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 18: Woche vom
Übungsaufgaben 9. Übung SS 18: Woche vom 11. 6. 15. 6. 2018 Stochastik III: Totale Wkt., S.v.Bayes, Diskrete ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...
MehrÜbung Zeigen Sie, dass dies als Grenzwert der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit
Übung 2 24..23 Ü b u n g 2 Aufgabe Die Poissonverteilung P(λ) hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x) = λx e λ (x ) x! Zeigen Sie, dass dies als Grenzwert der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
MehrZusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen
Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
7. Vorlesung - 2018 Bemerkung: Sei X = X 1,..., X n Zufallsvektor. Der n dimensionale Vektor EX = EX 1,..., EX n ist der Erwartungswert des Zufallsvektors X. Beispiel: Seien X, Y N0, 1. X, Y sind die Koordinaten
MehrZufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s
X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrZusatzmaterial zur Vorlesung Statistik II
Zusatzmaterial zur Vorlesung Statistik II Dr. Steffi Höse Professurvertretung für Ökonometrie und Statistik, KIT Wintersemester 2011/2012 (Fassung vom 15.11.2011, DVI- und PDF-Datei erzeugt am 15. November
MehrStochastik 03 Zufallsgröÿen und Verteilung
29. August 2018 Grundlagen der Stochastik (bis Klasse 10) Grundlagen der Statistik (bis Klasse 10) Zufallsgrößen und Verteilungen Beurteilende Statistik (Testen von Hypothesen) Bernoulli-Experimente Ziele
MehrStochastik Wiederholung von Teil 1
Stochastik Wiederholung von Teil 1 Andrej Depperschmidt Sommersemester 2016 Wahrscheinlichkeitsraum Definition Das Tripple (Ω, A, P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum, falls gilt: (i) A ist eine σ-algebra,
MehrDiskrete Zufallsvariablen (Forts.) I
9 Eindimensionale Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen 9.4 Diskrete Zufallsvariablen (Forts.) I T (X ) ist endlich oder abzählbar unendlich, die Elemente von T (X ) werden daher im Folgenden häufig
MehrDiskrete Zufallsvariablen (Forts.) I
9 Eindimensionale Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen 9.4 Diskrete Zufallsvariablen (Forts.) I T (X ) ist endlich oder abzählbar unendlich, die Elemente von T (X ) werden daher im Folgenden häufig
MehrStatistik für Ingenieure Vorlesung 5
Statistik für Ingenieure Vorlesung 5 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 28. November 2017 3.4 Wichtige stetige Verteilungen 3.4.1 Exponentialverteilung Parameter:
MehrSozialwissenschaftlerInnen II
Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II Henning Best best@wiso.uni-koeln.de Universität zu Köln Forschungsinstitut für Soziologie Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie
Physikalische Chemie II: Atombau und chemische Bindung Winter 2013/14 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Messergebnisse können in der Quantenmechanik ganz prinzipiell nur noch mit einer bestimmten
Mehr0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5
4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
6. Vorlesung - 2018 Diskrete ZG eine diskrete ZG X wird vollständig durch ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben ( ) x1 x X 2... x i... = p 1 p 2... p i... P(X (a, b]) = und die Verteilungsfunktion
MehrFit for Abi & Study Stochastik
Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen
MehrAbiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.
Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment
MehrKapitel 8: Zufallsvektoren
Folie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse 03.12.2015 Kapitel 8: Zufallsvektoren Statt einem Merkmal werden häufig mehrere Merkmale gleichzeitig betrachtet, z.b. Körpergröße und
MehrEinführung in die angewandte Stochastik
Einführung in die angewandte Stochastik Fabian Meyer 5. April 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 3 1.1 Definitionen................................... 3 1.2 Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitsverteilung,
MehrIn einem mathematischen Modell wird dies beschrieben durch einen funktionalen Zusammenhang: x = f (t).
Aktueller Überblick 0 Einführende Worte ( ) 1 Geschichtlicher Überblick ( ) 2 Zufall 3 Perfekte Sicherheit und ihre Grenzen 4 Angriffsszenarien 5 Der komplexitätstheoretische Ansatz 6 Pseudozufallsgeneratoren
MehrGrundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.
Mehr2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung
2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von
MehrTeil VI. Gemeinsame Verteilungen. Lernziele. Beispiel: Zwei Würfel. Gemeinsame Verteilung
Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen Woche 4: Verteilungen Patric Müller diskret Wahrscheinlichkeitsverteilung p() stetig Wahrscheinlichkeitsdichte f ()
MehrZufallsvariable: Verteilungen & Kennzahlen
Mathematik II für Biologen 12. Juni 2015 Zufallsvariable Kennzahlen: Erwartungswert Kennzahlen: Varianz Kennzahlen: Erwartungstreue Verteilungsfunktion Beispiel: Exponentialverteilung Kennzahlen: Erwartungswert
MehrStatistik für Ingenieure Vorlesung 6
Statistik für Ingenieure Vorlesung 6 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 05. Dezember 2017 3.4.3 Stetige Gleichverteilung Parameter: Intervall [a, b] R. Zufallsgröße
MehrStochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl
MehrInhaltsverzeichnis (Ausschnitt)
8 Messbarkeit und Bildwahrscheinlichkeit Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 8 Messbarkeit und Bildwahrscheinlichkeit Messbare Abbildungen Bildwahrscheinlichkeit Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
MehrDefinition: Ein endlicher Ergebnisraum ist eine nichtleere Menge, deren. wird als Ereignis, jede einelementige Teilmenge als Elementarereignis
Stochastische Prozesse: Grundlegende Begriffe bei zufälligen Prozessen In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit den grundlegenden Begriffen und Definitionen von Zufallsexperimenten, also Prozessen,
MehrKapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume
Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume 1. Einführung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 211/476 Beispiel 85 Wir betrachten
MehrSTATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet
Kapitel 10 Zufall und Wahrscheinlichkeit 10.1. Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgang Klein-Omega ω Groß-Omega Ω Stellt Modelle bereit, die es erlauben zufallsabhängige Prozesse abzuschätzen
MehrVeranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm.
Veranstaltung: Statistik für das Lehramt 16.12.2016 Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm Erwartungswert Varianz Standardabweichung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
MehrStochastik I. Vorlesungsmitschrift
Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................
MehrLösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9
Diskrete Zufallsgrößen Zu Aufgabe Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Jahr genüge folgender Verteilung: ai 0 3 4 5 6 >6 pi /0 /0 3/0 /0 /0 /0 /0 0 Ein Ausfall des Servers verursacht
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
5. Vorlesung - 2018 Der Erwartungswert einer ZG Definition 15 Sei die diskrete numerische ZG X ( xi Erwartungswert (Mittelwert) von X ist p i ). Der i I E(X ) = i I x i P(X = x i ), falls i I x i P(X =
Mehr1. Grundbegri e der Stochastik
Wiederholung von Grundwissen der Stochastik. Grundbegri e der Stochastik Menge der Ereignisse. Die Elemente! der Menge heißen Elementarereignisse und sind unzerlegbare Ereignisse. Das Ereignis A tritt
Mehr1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)?
1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)? Als Wahrscheinlichkeit verwenden wir ein Maß, welches die gleichen Eigenschaften wie die relative Häufigkeit h n () besitzt, aber nicht zufallsbehaftet ist. Jan
MehrStetige Verteilungen Rechteckverteilung
Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a
MehrProgramm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung
Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus
MehrReferenten: Gina Spieler, Beatrice Bressau, Laura Uhlmann Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn
8.5 Eindimensionale stetige Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable X heißt stetig, wenn es eine Funktion f(x) gibt, sodass die Verteilungsfunktion von X folgende Gestalt hat: x F(x) = f(t)dt f(x) heißt
MehrStatistische Analyseverfahren Abschnitt 2: Zufallsvektoren und mehrdimensionale Verteilungen
Statistische Analyseverfahren Abschnitt 2: Zufallsvektoren und mehrdimensionale Verteilungen Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Oktober 2018 Prof. Dr. Hans-Jörg
Mehr4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze
4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze Häufig in der Praxis: Man muss mehrere (n) ZV en gleichzeitig betrachten (vgl. Statistik I, Kapitel 6) Zunächst Vereinfachung: Betrachte n = 2 Zufallsvariablen
Mehr4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze
4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze Häufig in der Praxis: Man muss mehrere (n) ZV en gleichzeitig betrachten (vgl. Statistik I, Kapitel 6) Zunächst Vereinfachung: Betrachte n = 2 Zufallsvariablen
MehrZufallsvariablen rekapituliert
Zufallsvariablen rekapituliert Wolfgang Konen TH Köln, Campus Gummersbach April 2016 Mai 2017 Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai 2017 1 / 12 1 Einleitung 2 Zufallsvariablen 3 Linearität
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8. Vorlesung - 2017 Bemerkung: Sei X = (X 1,..., X n ) Zufallsvektor. Der n dimensionale Vektor ( ) E(X ) = E(X 1 ),..., E(X n ) ist der Erwartungswert des Zufallsvektors X. Beispiel: Seien X, Y N (0,
MehrZusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen. Woche 4: Gemeinsame Verteilungen. Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen
Zusammenfassung: e und e Verteilungen Woche 4: Gemeinsame Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilung p() Wahrscheinlichkeitsdichte f () WBL 15/17, 11.05.2015 Alain Hauser P(X = k
MehrKAPITEL 5. Erwartungswert
KAPITEL 5 Erwartungswert Wir betrachten einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Die Grundmenge Ω hat also nur endlich oder abzählbar
MehrKapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Markus Höchstötter Lehrstuhl
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik. PD Dr. U. Ludwig. Vorlesung 7 1 / 19
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik PD Dr. U. Ludwig Vorlesung 7 1 / 19 2.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung (Fortsetzung) 2 / 19 Bedingter Erwartungswert
Mehr2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert
2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments
MehrStatistik für Ingenieure Vorlesung 4
Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 21. November 2017 3.3 Wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 3.3.1 Diskrete
MehrEine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt im Intervall [0,5]. Die Wahrscheinlichkeit P(2< x <4) ist dann
4. Übung Themenkomplex: Zufallsvariablen und ihre Verteilung Aufgabe 1 Für eine stetige Zufallsvariable gilt: a) P (x = t) > 0 b) P (x 1) = F (1) c) P (x = 1) = 0 d) P (x 1) = 1 F(1) e) P (x 1) = 1 F(1)
MehrKapitel 6. Verteilungsparameter. 6.1 Der Erwartungswert Diskrete Zufallsvariablen
Kapitel 6 Verteilungsparameter Wie bei einem Merkmal wollen wir nun die Lage und die Streuung der Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen durch geeignete Maßzahlen beschreiben. Beginnen wir mit Maßzahlen
MehrFolie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse
Folie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse Die Gamma-Verteilung 13.12.212 Diese Verteilung dient häufig zur Modellierung der Lebensdauer von langlebigen Industriegüstern. Die Dichte
MehrInformatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,
Mehr1.5 Erwartungswert und Varianz
Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen (Bildbereich also reelle Zahlen, metrische Skala) durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere:
Mehr3. Zufallsvariable und Verteilungen
3. Zufallsvariable und Verteilungen Häufige Situation in der Praxis: Es interessiert nicht so sehr das konkrete Ergebnis ω Ω eines Zufallsexperimentes, sondern eine Zahl, die von ω abhängt Beispiele: Gewinn
Mehr1. Grundbegri e der Stochastik
. Grundbegri e der Stochastik Raum der Ereignisse. Die einelementigen Teilmengen f!g heißen auch Elementarereignisse. Das Ereignis A tritt ein, wenn ein! A eintritt. A ist ein geeignetes System von Teilmengen
MehrLemma 23 Die (paarweise verschiedenen) Ereignisse A 1,..., A n sind genau dann unabhängig,
Lemma 23 Die (paarweise verschiedenen) Ereignisse A 1,..., A n sind genau dann unabhängig, wenn für alle (s 1,..., s n ) {0, 1} n gilt, dass wobei A 0 i = Āi und A 1 i = A i. Pr[A s 1 1... Asn n ] = Pr[A
MehrEinführung in die Stochastik 6. Übungsblatt
Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler 3. Mai A. Fromkorth D. Furer Gruppen und Hausübung Aufgabe (a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine S Bahn Verspätung hat, betrage.3.
MehrInformatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,
Mehr8. Formelsammlung. Pr[ ] = 0. 0 Pr[A] 1. Pr[Ā] = 1 Pr[A] A B = Pr[A] Pr[B] DWT 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen 203/467 Ernst W.
8. Formelsammlung 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen Im Folgenden seien A und B, sowie A 1,..., A n Ereignisse. Die Notation A B steht für A B und zugleich A B = (disjunkte Vereinigung). A 1... A
Mehr3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit
3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit Lernziele dieses Kapitels: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (Zufallsvektoren) (Verteilung, Kenngrößen) Abhängigkeitsstrukturen Multivariate
MehrMehrdimensionale Zufallsvariablen
Mehrdimensionale Zufallsvariablen Im Folgenden Beschränkung auf den diskreten Fall und zweidimensionale Zufallsvariablen. Vorstellung: Auswerten eines mehrdimensionalen Merkmals ( ) X Ỹ also z.b. ω Ω,
MehrFinanzmathematische Modelle und Simulation
Finanzmathematische Modelle und Simulation WS 9/1 Rebecca Henkelmann In meiner Ausarbeitung Grundbegriffe der Stochastik I, geht es darum die folgenden Begriffe für die nächsten Kapitel einzuführen. Auf
MehrPsychologische Methodenlehre und Statistik I
Psychologische Methodenlehre und Statistik I Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr SS 2013 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 1/61 Zufallsexperiment
Mehr