Eindimensionale Zufallsvariablen

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1 Eindimensionale Grundbegriffe Verteilungstypen Diskrete Stetige Spezielle Maßzahlen für eindimensionale Erwartungswert Varianz Standardabweichung Schwankungsintervalle Bibliografie Bleymüller / Gehlert / Gülicher Verlag Vahlen Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Bleymüller / Gehlert Verlag Vahlen Statistische Formeln, Tabellen und Programme PowerPointPräsentationen (Prof. Mohr/ Dr. Ricabal) Vorlesungsskript für Statistik I (Dr. Pu Chen) Vorlesungsskript für Statistik II (Prof. Mohr, Private Hanseuniversität Rostock)

2 Grundlagen Häufig interessiert man sich bei einem Zufallseperiment nicht so sehr für die einzelnen Elementarereignisse, sondern für gewisse reelle Merkmalswerte, die diesen Ereignissen zugeordnet sind. Mit den reellen Zahlen lässt sich meist bequemer rechnen. Beispiel: Werfen mit Würfeln: Augensumme Lotto: Anzahl der richtigen getippten Zahlen Zufallsvariable Eine Abbildung (Funktion), die jedem Elementarereignis w Ω eine reelle Zahl (w) zuordnet, heißt Zufallsvariable. : Ω R w ( w) Somit ist eine Größe, die beim Auftreten eines zufälligen Elementarereignisses einen davon abhängigen reellen Wert (w) annimmt. ist also eine Variable, die vom Zufall abhängt. Mittels einer Zufallsvariable kann jedem Ereignis eine gewisse Menge von reellen Zahlen zugeordnet werden. Ferner kann man für die durch die Zufallsvariable erzeugten Ereignisse Wahrscheinlichkeit angeben. Sei A ein Ereignis. Dann lautet die über berechnete Wahrscheinlichkeit: W (A) = W({w (w) A}) 4

3 Beispiel: Zufallsvariable Beispiel: Sei die Anzahl der Ausprägung Zahl bei drei Würfen einer Münze Elementarereignisse. Darstellung. Darstellung (w i ) w = (W, W, W) = (0, 0, 0) 0 W(=0) = /8 w = (Z, W, W) = (, 0, 0) w = (W, Z, W) = (0,, 0) w 4 = (W, W, Z) = (0, 0, ) W(=) = /8 } w 5 = (Z, Z, W) = (,, 0) w 6 = (Z, W, Z) = (, 0, ) w 7 = (W, Z, Z) = (0,, ) W(=) = /8 } w 8 = (Z, Z, Z) = (,, ) W(=) = /8 A = Augenzahl bzw. W (A) = W({w (w) }) = W( = 0 = ) = W( = 0) + W( = ) 4 = + = = Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion ist für alle reelle Zahlen definiert. Die Verteilungsfunktion an der Stelle gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable einen Wert von höchstens annimmt bzw. nicht überschreitet. F :R [0,] F () = W( ) 6

4 Beispiel: Verteilungsfunktion Beispiel: Sei die Anzahl der Ausprägung Zahl bei drei Würfen einer Münze 0 W( = ) /8 /8 /8 /8 F ( ) = W( ) für alle R F () = W( ) - < < < /8 < /8+/8=4/8=/ < /8+/8+/8=7/8 0 /8+/8+/8+/8= F (0) = W( 0) = W( = 0) = F (0,5) = W( 0,5) = W( = 0) = 8 8 F (,5) = W(,5) = W( = 0) + W( = ) + W( = ) + W( = ) = = / F () F ( ) = W( ) = 0 Eigenschaften der Verteilungsfunktion Monotonie F (a) F (b) für a b Rechtsseitigstetigkeit lim F( + h) = F ( ) h 0 Grenzverhalten Es gilt: W(a lim F ( ) = 0 und lim F ( ) = < b) = W( b) W( a) = F (b) F (a) Beispiel: a b W( < ) = W( ) W( ) = F () F () = = 8

5 Diskrete Zufallsvariable Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn die Menge der Werte, die mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen kann, d. h. D () = { R W( = ) > 0} abzählbar ist. Diese Menge D() bezeichnet man als Träger, die Werte D() als Massenpunkte. Es kann endlich oder abzählbar unendlich viele Massenpunkte geben. Die Funktion f (), die jedem Element des Trägers die Wahrscheinlichkeit W( = ) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion. Für alle andere ist f() = 0. W( = ) f () = 0 für D() sonst Es gelten folgende Eigenschaften: f ( ) und f ( ) = 0 9 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Sei die Anzahl der Ausprägung Zahl bei drei Würfen einer Münze. Es gilt: 0 f () = W( = ) /8 /8 /8 /8 f () = 0 für alle andere f () / /8 0 f () und /4 /8 f () = =

6 Beispiel: Abzählbar unendlich viele Werte Ein Würfel wird solange geworfen, bis zum ersten Mal eine 6 erscheint. bezeichnet die Anzahl der Misserfolge (vor der ersten 6). Die möglichen Werte von bilden den Träger D()={0,,, }. Diese Menge ist dann abzählbar unendlich. Da die entsprechenden Würfe unabhängige Ereignisse darstellen, gilt: 5 f (0) = 0,7 ; f () = = f () = = 0, ; f () = = 0,0 ; f () = 6 6 o für für D() D() 5 6 0,4 ; 0,0 0,5 0,0 0,05 f () 0 Beispiel: Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung Ein Würfel wird solange geworfen, bis zum ersten Mal eine 6 erscheint. bezeichnet die Anzahl der Misserfolge (vor der ersten 6). Es gilt: 5 f () = für = 0,,, L sonst Für die Verteilungsfunktion gilt: <0 0 < < < <4 F () 0 0,7 0, 0,45 0,55 Diese ist eine spezielle diskrete Verteilung und heißt geometrische Verteilung, denn die f() bildet eine geometrische Folge. 0 f () 0,7 0,4 0, 0,0 0,75 0,50 0,5 F () 0

7 Stetige Eine Zufallsvariable heißt stetig, wenn die Menge aller möglichen Werte der Zufallsvariable eine Menge bilden, die überabzählbar viele Werte enthält. D. h. die Menge der möglichen Werte besteht aus einem Intervall reeller Zahlen oder aus allen reellen Zahlen. Die Verteilungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen: F () = W( ) = f () = d d F () f (u) du f () 0 und f()d = W(a < b) = F f () heißt Dichtefunktion. für alle Differenzierbarkeitsstellen von F () (b) F b (a) = f () d Es gilt i. a. nicht, dass f() ist. Ferner lassen sich die Werte von f() nicht als Wahrscheinlichkeiten interpretieren. a Beispiel: Stetige Sei eine Zufallsvariable mit folgender Dichtefunktion 0 f () = ( ) 9 0 0,75 0,50 0,5 f () für < 0 0 für > 0 F() = F() = F() = 0 0 f (u)du 0du + 0du F() = (u ) du = ( ) 9 7 (u ) du F() = ( ) du = 0 für < 0 0du = für > für < 0 0 für > 0 4 für F (0) = + = 0; F() = + = 0,70; F() = + = 0,96; F() = 0 + =

8 Spezielle Maßzahlen für eindimensionale Symmetriestelle: sym heißt Symmetriestelle von f(), wenn gilt: f( sym - h) = f( sym + h) Modus: mod heißt Modus von f(), wenn in mod ein relatives Maimum von f() liegt. Quantil bzw. Perzentil: α heißt Quantil zum Niveau α mit (0< α<), wenn gilt: F( α ) = α im stetigen Fall α = min{ D() F() α} im diskreten Fall Für = 0,5; 0,5 und 0,75 erhält man Median, unteres (erstes) bzw. oberes (drittes) Quartil 5 Beispiel: Spezielle Maßzahlen für eindimensionale : Die Anzahl der Ausprägung Zahl bei drei Würfen einer Münze. 0 f () = W( = ) /8 /8 /8 /8 / f () Symmetriestelle: sym =,5 Modus: mod = bzw. Median: 0,50 = F () /8 /4 /8 0 / 0 <0 0 < < < F () 0 0,5 0,5 0,875 Erstes Quartil: 0,5 = Drittes Quartil: 0,75 = 0,95-Quantil: 0,95 = 6

9 Beispiel: Spezielle Maßzahlen für eindimensionale Ein Würfel wird solange geworfen, bis zum ersten Mal eine 6 erscheint. bezeichnet die Anzahl der Misserfolge (vor der ersten 6). 0 f () 0,7 0,4 0, 0,0 f () 0,0 0,5 0,0 0,05 <0 0 < < < <4 F () 0 0,7 0, 0,4 0,5 F () 0,75 0,50 0,5 0 Keine Symmetriestelle Modus: mod = 0 Median: 0,50 = 0 Erstes Quartil: 0,5 = Drittes Quartil: 0,75 = 7 0,95-Quantil: 0,95 = 6 7 Beispiel: Spezielle Maßzahlen für eindimensionale Sei eine Zufallsvariable mit folgender Dichtefunktion 0 f () = ( ) 9 0 für < 0 0 für > 0 für < 0 F() = ( ) für > Keine Symmetriestelle Modus: mod = 0 Median: 0,50 = 0,6 F( ( 7 ( 0,5 0,5 0,75 0,50 0,5 f () 0 ) = 0,5 ( 0,5 ) + = 0,5 7 0,5 ) ) = = 0,5 ( 0,5 7 0,5 0,5 ) 0,6 = 0,5 7 8

10 Die wichtigsten Verteilungsmaßzahlen Erwartungswert: f () im diskreten Fall µ = E() = f ()d im stetigen Fall Varianz: ( µ ) f () σ = Var() = E( µ ) = µ ( ) f () Standardabweichung: σ = Var() = σ Interpretation! im diskreten Fall im stetigen Fall Bemerkung: Nicht für alle eistieren die jeweiligen Maßzahlen. 9 Rechenregel zu den Verteilungsmaßzahlen Wie im Rahmen der deskriptiven Statistik gelten für lineare Transformationen: E(a + b ) = a + b E() Var(a + b ) = b Var() = E( mit E( ) = Var() [ E( ] ) ) f f () ()d im diskreten Fall im stetigen Fall Die letzte Formel kann bei der Berechnung der Varianz einfacher durchzuführen sein 0

11 Beispiel: Erwartungswert und Varianz im diskreten Fall Sei die Anzahl der Ausprägung Zahl bei drei Würfen einer Münze 0 f () = W( = ) /8 /8 /8 /8 µ = E() = f () = = = = Var() = E( ) E( ) = f () = = = = [ E() ] = = = = 0, 75 Interpretation?,5 Beispiel: Erwartungswert und Varianz im stetigen Fall Sei eine Zufallsvariable mit folgender Dichtefunktion f () = E( ) = f ()d = 0 d + d + 0 d = = ( ) = 80 = für sonst Var() = E( ) 6 E() = = 0 d + d + 0 d 4 = = = = =,67 * f ()d [ E() ] = 5 = 5 = = 0,06* *Interpretation?

12 Zentrierung Sei eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ und die Varianz σ. Die spezielle lineare Transformation Y = µ bezeichnet man als Zentrierung. Für die neue Zufallsvariable Y gilt: E(Y) = E( µ) = E() - µ = µ - µ = 0 Var(Y) = Var ( µ) = Var () = σ Durch die Zentrierung ereicht man eine Verschiebung der Lage der Verteilung auf der Ursprung. Die Varianz bleibt aber gleich. Normierung Sei eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ und die Varianz σ. Die spezielle lineare Transformation Y = σ bezeichnet man als Normierung. Für die neue Zufallsvariable Y gilt: E(Y) = E( ) σ Var(Y) = Var( µ = E() = µ = σ σ σ ) σ = Var() = σ σ σ = Durch diese Transformation erreicht man eine neue dimensionslose Zufallsvariable mit Varianz gleich Einz. 4

13 Standardisierung Sei eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ und die Varianz σ. Die spezielle lineare Transformation Z = µ σ bezeichnet man als Standardisierung bzw. Z-Transformation. Für die neue Zufallsvariable Z gilt: µ E (Z) = E( ) = E( µ ) = 0 σ σ µ Var(Z) = Var( ) = Var( µ ) = σ = σ σ σ Die Standardisierung wird für die wichtigste stetige Zufallsvariable, die Normalverteilung, und für viele statistische Verfahren eingesetzt. 5 Schwankungsintervall Wenn die Realisationen der in einen Intervall (a, b) mit a < b liegen, spricht man von einen Schwankungsintervall (d. h. { a < < b). Ein k-faches zentrales Schwankungsintervall ist gegeben durch a = µ kσ und b = µ + kσ, d. h. { µ kσ < < µ + kσ} Ist die Verteilung der Zufallsvariable bekannt, lässt sich die zugehörige Wahrscheinlichkeit für W(µ kσ < < µ + kσ) genau berechnen. Ist die Verteilung unbekannt, dann kann man mittels der Tschebysscheffschen Ungleichung die Wahrscheinlichkeit abschätzen. W( µ kσ < < µ + kσ) - µ-kσ µ µ+kσ k 6

14 Beispiel: Schwankungsintervall Es wird die Wahrscheinlichkeit einer Standardnormalverteilung im einfachen, -fachen und -fachen zentralen Schwankungsintervall abgeschätzt. Es ist bekannt, dass E(Z) = 0 und Var(Z) = sind. Dann gilt: W(0 < Z < 0 +.) - 0 = W(0 < Z < 0 +.) - = = 0, W(0 < Z < 0 +.) - = = 0, Eakte Wahrscheinlichkeiten durch die Nutzung der bekannten Verteilungsfunktion. W (0 < Z < 0 +.) = 0,687 W (0 < Z < 0 +.) = 0,997 W (0 < Z < 0 +.) = 0,9545 Es sind echt grobe Schätzungen! 7 Drei Sigma Regel. Grafische Darstellung W(µ - σ < < µ + σ) = W(- Z ) = 0,687 W(µ σ < < µ + σ) = W(- Z ) = 0, ,7 % 94,45 % 99,7 % W(µ σ < <µ + σ) = W(- Z ) = 0,997 8