Mathematische und statistische Methoden II

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1 Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Wallstr. 3, 6. Stock, Raum Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike lordsofthebortz.de lordsofthebortz.de/g+ facebook.com/methodenlehre twitter.com/methodenlehre youtube.com/methodenlehre Folie 1 SoSe 2012 Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Inhalte dieser Sitzung Kennwerte und en z-standardisierung und ihre Folgen z-test Folie 2

3 Stetige Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable, die jeden Wert in einem Intervall annehmen kann, ist eine stetige Zufallsvariable Folie 3

4 Stetige Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) einer stetigen Zufallsvariable X wird zumeist als mathematische Funktion definiert. Sie wird bei stetigen Zufallsvariablen auch als Dichtefunktion bezeichnet. Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist dann k P( x) p X x i1 Diskret i xk Stetig F( x) f x dx x Folie 4 Die Verteilungsfunktion gibt wieder an, wie wahrscheinlich X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt.

5 f(z,,) Stetige Zufallsvariablen Eine Funktion f(x) ist gemäß der Kolmogoroff Axiome genau dann eine Dichtefunktion, wenn gilt Dabei reicht der Wertebereich von f(x) nicht für jede stetige Verteilung von - bis + (z.b. Reaktionszeit). Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung f ( x) 0 und F( x) f( x) dx F(z,,) Folie 5 z Wert z Wert

6 Stetige Zufallsvariablen Für eine stetige Zufallsvariable ist die Punktwahrscheinlichkeit f(x = x) nicht definiert (bzw. immer 0). Die Dichtefunktion f(x) liefert also nicht unmittelbar die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse, die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Fläche unter der Dichtefunktion Es sind nur Wahrscheinlichkeiten für Intervalle von Realisationen zu bestimmen, also F(x i X x j ). Diese werden dann berechnet als x j F( xi X xj) f ( x) dx F( xj) F( xi) x i Folie 6

7 Stetige Zufallsvariablen Kennwerte Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen ist ähnlich definiert wie im diskreten Fall x x f x x dx Auch Varianz und Standardabweichung werden analog berechnet x 2 2 f x x dx x 2 Folie 7

8 f(z,,) Stetige Zufallsvariablen Die der Dichtefunktion und Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen findet zumeist über kontinuierliche Graphen statt Standardnormalverteilung F(z,,) Standardnormalverteilung z Wert z Wert Folie 8

9 Im psychologischen Kontext ist die die wohl prominenteste Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist theoretischer Natur, da sie (anders als z.b. die Binomialverteilung) nicht direkt aus dem Bedingungskomplex abgeleitet werden kann. Die ist durch zwei Parameter, und definiert. f( x,, ) 1 e x 2 Folie 9 Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt, wird dies häufig geschrieben als X N(, )

10 Kennwerte Der Parameter ist direkt der Erwartungswert der ²ist direkt die Varianz der Folie 10

11 Folie 11 Warum die - Zentraler Grenzwertsatz Der Zentrale Grenzwertsatz (Central Limit Theorem): Die Summe einer großen Zahl unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen ist approximativ normalverteilt. Dies veranlasste Sir Francis Galton (1889) zu der enthusiasmierten Lobpreisung Ich kenne kaum etwas, das unsere Imaginationskraft so bewegen kann wie die wundervolle Form kosmischer Ordnung, die sich im Gesetz der Verteilung von Fehlern ausdrückt. Hätten die Griechen es gekannt, sie hätten es personifiziert und als Gottheit angebetet. Es herrscht mit bescheidener Gelassenheit in der wildesten Konfusion. Je gewaltiger die Horde, je ärger die augenscheinliche Anarchie, um so souveräner ist seine Herrschaft. Wann immer eine Menge chaotischer Elemente nach ihrer Größe angeordnet wird, tritt es hinter dem Schleier des Chaos als unverhoffte und wunderschöne Form der Regelmäßigkeit hervor.

12 Warum die 1. Sie ergibt sich, wenn viele Zufallsprozesse bei der Realisierung einer Zufallsvariablen additiv zusammenwirken. 2. Sie ist die Verteilung des Mittelwerts aller Realisierungen bei sehr häufiger Wiederholung eines Zufallsexperimentes ( Zentraler Grenzwertsatz ). 3. Sie ist die Verteilung von Zufallsvariablen, wenn diese eine messfehlerbehaftete Erfassung eines Merkmals darstellen. 4. Sie ist mathematisch relativ leicht zu behandeln. Folie 12

13 Eigenschaften Ist symmetrisch, eingipflig und glockenförmig Verschiedene en unterscheiden sich bezüglich Erwartungswert (µ) und/oder Standardabweichung () Der Wertebereich reicht von bis + Die Kurve berührt oder schneidet nie die x-achse Jedes Intervall mit einer Länge größer Null hat eine Wahrscheinlichkeit größer Null Die Verteilungsfunktion der wird auch als (x) (Phi) geschrieben. Folie 13

14 Exkurs: z-standardisierung Grundlagen Ziel: Angabe der relativen Lage von Werten in einer Verteilung. 1. Angabe einer normierten Differenz eines Messwertes zum Erwartungswert 2. Umwandlung einer Skala in eine andere mit vorgegebenem und. Berechnungsvorschrift: Jede Differenz eines Messwertes wird durch die Standardabweichung aller Messwerte geteilt. Die erhaltenen Werte werden als bezeichnet. z x x Folie 14

15 Exkurs: z-standardisierung Skalentransformation Mithilfe der z-transformation können Messdaten mit beliebigem Mittelwert und Standardabweichung in Daten transformiert werden, die einen definierten Mittelwert und Standardabweichung aufweisen. Schritt 1: z-standardisierung jedes Datenpunktes Schritt 2: Transformation jedes Datenpunktes in die neue Skala x zs x neu neu neu Folie 15 Beispiele: Hamburg-Wechsler IQ-Test (MW=100, s=15), IQ-Skala laut IST (MW=100, s=10), Stanine- Skala (MW=5, s=2),

16 Exkurs: z-standardisierung Standardnormalverteilung z-transformiert man eine normalverteilte Zufallsvariable erhält man die Standardnormalverteilung. Für die Standardnormalverteilung gilt: = 0, = 1 Die Formel der reduziert sich damit auf f ( z) 1 e 2 1 z 2 2 Der Werte der Dichte- und Verteilungsfunktion hängen also nur von z ab Folie 16

17 Standardnormalverteilung Wichtige Punkte Folie 17

18 Standardnormalverteilung Wichtige Punkte die Regel Folie 18

19 Standardnormalverteilung Verteilungsfunktion Folie 19

20 Relevante Excel Funktionen, z-transformation NORM.VERT(), NORM.S.VERT() NORM.INV(), NORM.S.INV() STANDARDISIERUNG() Folie 20