Mathematische und statistische Methoden II

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1 Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de SS 2010 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Bedingte Wahrscheinlichkeit PB ( A P( A B PA ( Ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, gegeben dass das Ereignis A bereits eingetreten ist (lies: B gegeben A. Die Wahrscheinlichkeit P(A wird als Grundwahrscheinlichkeit bezeichnet. P(B A wird bedingte Wahrscheinlichkeit genannt. A A B B Ω Im Venn Diagramm kann P(B A als Anteil der Fläche A Ban der Fläche A interpretiert werden (und nicht mehr am gesamten Stichprobenraum Ω.

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Im Laplace Ansatz Es seien a die für das Ereignis A günstigen Elementarereignisse b die für das Ereignis B günstigen Elementarereignisse c die für das Ereignis A B günstigen Elementarereign. n die Menge aller Elementarereignisse. Dann ist zunächst P(A a / n P(B b / n P(AB c / n Aus dem Venn Diagramm sieht man auch: P(B A c / a c PB ( A n Durch n/n teilen ergibt a n PA ( B PA (

4 Bedingte Wahrscheinlichkeit Im Kolmogoroff Ansatz In der axiomatischen Definition der Wahrscheinlichkeit kann die Berechnungsvorschrift für bedingte Wahrscheinlichkeiten nicht bewiesen werden. Deshalb muss die bedingte Wahrscheinlichkeit hier definiert werden:! P( A B PB ( A PA (

5 Bedingte Wahrscheinlichkeit Das Multiplikationstheorem Man sieht sofort dass gilt: P(A B P(B A Damit erhalten wir durch Umformen PB ( A PA ( B PA ( B PAB ( PA ( PB ( PA ( B PB ( A PA ( PA ( B PAB ( PB ( Multiplikationstheorem

6 Wahrscheinlichkeitsbäume Additions- und Multiplikationstheorem für bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich gut an einem Wahrscheinlichkeitsbaum veranschaulichen. Ereignis A A 1 P(B 1 A 1 Ereignis B, gegeben A B 1 P(B 1 A 1 P(A 1 Multiplikations- theorem für Wk ten S P(A 1 P(A 1 P(A 1 A 2 A 3 P(B 2 A 1 P(B 1 A 2 P(B 2 A 2 P(B 1 A 3 P(B 2 A 3 B 2 B 1 B 2 B 1 P(B 2 A 1 P(A 1 P(B 1 A 2 P(A 2 P(B 2 A 2 P(A 2 P(B 1 A 3 P(A 3 Man sieht auch: P(A 1 B 1 A 2 B 1 A 3 B 1 P(B 1 A 1 P(A 1 + P(B 1 A 2 P(A 2 + P(B 1 A 3 P(A 3 B 2 P(B 2 A 3 P(A 3

7 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Wenn die Ereignisse B 1, B 2, B k paarweise disjunkt sind und das Ereignis A immer mit einem der B i auftritt, gilt A (A B 1 (A B 2 (A B k Mit dem Additionsthorem erhalten wir P A P A B1 + + P A B k ( ( ( Ω B k B 1 B 2 A Und mit dem Multiplikationssatz wird daraus PA ( PB ( PA ( B + PB ( PA ( B + + PB ( PA ( B Satz der totalen Wahrscheinlichkeit k k

8 Wir sehen anhand des Multiplikationstheorems, dass P(B A P(A P(A B P(B Damit gilt P ( B A P( A BPB ( P ( A bzw. P ( A B P( B A P( A P( B Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gegeben B ist zu berechnen aus der Wahrscheinlichkeit für B gegeben A und den Grundwahrscheinlichkeiten von A und B. Diese Beziehung ist der.

9 Verallgemeinerung Hat man mehrere Ereignisse B 1, B 2,, B k wird beim Satz von P( A Bi P( Bi PB ( i A PA ( vorausgesetzt, dass die Grundwahrscheinlichkeit für A bekannt ist. Häufig kennt man aber nur alle P(A B i. Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit erhält man aus dem diese allgemeine -Formel: PB ( A i PAB ( i PB ( i PAB ( PB ( + PAB ( PB ( + + PAB ( PB ( k k