Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Transkript

1 3. Vorlesung

2 Bedingte Wahrscheinlichkeit In einer Urne sind 2 grüne und 3 blaue Kugeln. 2 Kugeln werden ohne Zürücklegen gezogen. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass : a) man eine grüne und danach eine blaue Kugel zieht? b) beide Kugeln die gleiche Farbe haben?

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition 4 Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A, B K. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A durch B ist P( B) : K R definiert durch P(A B) P(A B) =, P(B) wenn P(B) > 0. P(A B) ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Eintreten des Ereignisses B bereits bekannt ist.

4 Übung Man beweise, dass für A, B K, P(A) > 0, P(B) > 0 gilt: P(A B) = P(B)P(A B) = P(A)P(B A) P(A B) = 1 P(Ā B)

5 Satz 5 - Multiplikationsregel Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A 1,..., A n K so dass P(A 1 A n 1 ) > 0. Es gilt P(A 1 A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )... P(A n A 1 A n 1 ).

6 Vollständiges System von Ereignissen Definition 5 Eine Menge von Ereignissen (A i ) i I aus Ω heißt vollständiges System von Ereignissen (Partition, Unterteilung) in Ω, wenn A i = Ω i I und für alle i, j I, i j, die Ereignisse A i und A j disjunkt sind, d.h.. i, j I, i j, A i A j =. Beispiel: A Ω {A, Ā} ist vollständiges System von Ereignissen in Ω.

7 Satz 6 - Formel der totalen Wahrscheinlichkeit In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, K, P) sei (A i ) i I ein vollständiges System von Ereignissen mit P(A i ) > 0 und A i K für alle i I. Für A K gilt P(A) = P(A i )P(A A i ). i I

8 Satz 7 - Formel von Bayes In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, K, P) sei (A i ) i I ein vollständiges System von Ereignissen mit P(A i ) > 0 und A i K für alle i I und sei A K, so dass P(A) > 0. Es gilt P(A j A) = P(A j)p(a A j ) P(A i )P(A A i ) i I j I.

9 Unabhängige Ereignisse Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definition 6 Die Ereignisse A, B K sind unabhängig, wenn das Auftauchen des Ereignisses A, das Auftauchen des Ereignisses B nicht beeinflusst und umgekehrt Wenn A und B unabhängig sind, dann gilt P(A B) = P(A) und P(B A) = P(B) Definition 6 Die Ereignisse A, B K sind unabhängig, wenn P(A B) = P(A)P(B).

10 Unabhängige Ereignisse Satz 8 In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, K, P) mit A, B K sind folgende Aussagen äquivalent: a) A und B sind unabhängig; b) A und B sind unabhängig; c) Ā und B sind unabhängig; d) Ā und B sind unabhängig.

11 Unabhängige Ereignissen Definition 7 Die Ereignisse A 1,..., A n aus K sind unabhängig (in der Gesamtheit), wenn für jede endliche Menge {i 1,..., i m } {1,..., n} P(A i1 A im ) = P(A i1 )... P(A im ). A 1,..., A n aus K sind paarweise unabhängig, wenn P(A i A j ) = P(A i )P(A j ) i, j {1,..., n}, i j. Fragen: Was bedeutet: a) dass 3 Ereignisse A, B, C paarweise unabhängig sind? b) dass die 3 Ereignisse A, B, C unabhängig sind? Antworten: a) P(A B) = P(A)P(B), P(B C) = P(B)P(C), P(A C) = P(A)P(C) b) P(A B) = P(A)P(B), P(B C) = P(B)P(C), P(A C) = P(A)P(C) und P(A B C) = P(A)P(B)P(C)

12 Beispiel mit dem Tetraeder Die 4 Flächen eines fairen Tetraeders sind eine rot, eine blau, eine grün gefärbt. Die vierte Fläche ist mit allen drei Farben bunt bemalt. Das Tetraeder wird geworfen, und es werden die folgenden Ereignisse betrachtet: R: der Teraeder fällt auf eine Fläche mit roter Farbe B: der Teraeder fällt auf eine Fläche mit blauer Farbe G: der Teraeder fällt auf eine Fläche mit grüner Farbe a) Sind R, B, G paarweise unabhängig? b) Sind die 3 Ereignisse R, B, G unabhängig?

13 Zufallsgrößen Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definition 8 X : Ω R heißt Zufallsgröße (zufällige Variable), wenn {ω Ω : X (ω) x} K für alle x R. Zufallsgröße ZG Beispiel: Ein Spieler wirft zwei unterscheidbare Münzen Ω = {(K, Z), (K, K), (Z, K), (Z, Z)} Die Zufallsgröße X zeigt an wie oft Zahl (Z) aufgetaucht ist: X : Ω {0, 1, 2} P(X = 0) = P(X = 2) = 1 4, P(X = 1) = 1 2, weil X ((K, Z)) = 1, X ((K, K)) = 0, X ((Z, K)) = 1, X ((Z, Z)) = 2

14 Eine Zufallsgröße heißt diskret, stetig, annehmen kann. wenn sie endlich viele (x 1,..., x n ) oder abzählbar unendlich viele (x 1,..., x n,... ) Werte wenn sie (überabzählbar viele) Werte in einem Intervall oder aus R Diskrete ZG: Summe der Zahlen beim Würfeln, Anzahl defekter Teile während der Produktion, Anzahl Druckfehler auf einer Zeitungsseite... Stetige ZG: Brenndauer einer Glühlampe, Abfüllmenge in Konserven, Länge von hergestellten Schrauben, Temperaturen...

15 Diskrete Zufallsgrößen X : Ω {x 1, x 2,..., x i,... } Beschreibung durch X I N (Indexmenge) ( ) x1 x 2... x i... = p 1 p 2... p i... mit den Wahrscheinlichkeiten p i = P(X = x i ) > 0, i I, wobei p i = 1 i I ( xi p i ) i I