Vorlesung 3a. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Vorlesung 3a. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen"

Carsten Hoch
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Vorlesung 3a Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen

2 X sei eine Zufallsvariable, deren Zielbereich R (die Menge der reellen Zahlen) (oder eine Teilmenge davon) ist. Es existiere eine abzählbare Menge S R mit P(X S) = 1. Wir sagen dann: X ist eine diskrete reellwertige Zufallsvariable

3 Eine einprägsame Kenngröße für die Lage der Verteilung von X ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der möglichen Werte von X: E[X] := a S a P(X = a). Man spricht vom Erwartungswert von X. (Wir bezeichnen ihn auch mit µ oder µ X.)

4 k Gewichte

5 Damit die Summe a S a P(X = a) exisitiert, muss gelten: a S, a>0 a P(X = a) < oder a S, a<0 a P(X = a) > ist als Summenwert erlaubt, auch. Aber gibt keinen Sinn.

6 Beispiele: 1. P(X = 2 j ) = 2 j, j = 1, 2,...: E[X] = 2. P(X = ( 2) j ) = 2 j, j = 1, 2,...: E[X] exisitiert nicht.

7 Seii ρ die Verteilung von X E[X] = a S a P{X = a} = a S a ρ(a) Man beachte: Der Erwartungswert der Zufallvariablen X hängt nur von deren Verteilung ρ ab.

8 X eine Zufallsgröße E[X] eine Zahl

9 BEISPIEL x = Anzahl Kopf P(X = x)

10 P(X = x) Eine faire Münze wird dreimal geworfen x = Anzahl Kopf

11 P(X = x) E[X] = = 12 8 = x = Anzahl Kopf 1 8

12 P(X = x) E[X] gehört hier gar nicht zum Wertebereich von X x = Anzahl Kopf 1 8

13 P(X = x) und kann in dem Sinn kein erwarteter Wert von X sein x = Anzahl Kopf 1 8

14 Was denn? x = Anzahl Kopf P(X = x)

15 P(X = x) Wie erlebt man den Erwartungswert? x = Anzahl Kopf

16 P(X = x) Durch wiederholtes Werfen der drei Münzen x = Anzahl Kopf 1 8

17 Wiederholungen: X 1, X 2,..., X Xn n

18 M n := (X 1 + X X n ) / n Xn n

19 M n := (X 1 + X X n ) / n Xn n

20 M n := (X 1 + X X n ) / n Xn n

21 M n E[X] Xn n

22 Warum? Xn n

23 M n = x #{Würfe mit x}/n Xn n

24 M n = x #{Würfe mit x}/n x P(X = x) Xn n

25 Dazu später mehr. Für den Moment nur als kurzer Ausblick:

26 DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN Sei X eine Zufallsgröße mit Erwartungswert E[X]. Seien X 1, X 2,... unabhängige Kopien von X. Dann gilt X X n n E[X] Zu klären 1. Was heißt unabhängig? 2. Was heißt?

27 Zwei Vorstellungen von E[X] 1. Gewichtetes Mittel der möglichen Werte: E[X] := xp(x = x) 2. Langzeitmittelwert bei unabhängigen Wiederholungen: X X n n E[X]

28 Die wichtigste Eigenschaft des Erwartungswerts ist die Additivität E[X + Y] = E[X] + E[Y]

29 Die Additivität des Erwartungswerts wird sofort klar aus der Vorstellung als Langzeitmittelwert bei unabhängigen Wiederholungen : 1 n ((X 1 + Y 1 ) (X n + Y n )) = 1 n (X X n ) + 1 n (Y Y n ) E[X] + E[Y]

30 BEISPIEL 1 Erwartungswert der Binomialverteilung X sei Bin(n, p) verteilt. E[X] =? n k=0 kp(x = k) = n k=0 k ( ) n k p k q n k =... Es GEHT so (vgl Buch Seite ) Aber es geht auch einfacher:

31 Sei Z = (Z 1,..., Z n ) ein n-facher p-münzwurf. Dann ist (Z Z n ) Bin(n, p)-verteilt. E[Z Z n ] = E[Z 1 ] + + E[Z n ] E[Z i ] = 1 p + 0 q = p Fazit: Der Erwartungswert einer Bin(n, p) verteilten ZV ist np.

32 BEISPIEL 2 Ziehen ohne Zurücklegen Eine Urne enthält r rote und b blaue Kugeln. ooooooooooooo r = 8 b = 5 Aus der Urne werden ohne Zurücklegen n Kugeln gezogen. ooooooooo n = 9 R := Anzahl der gezogenen roten Kugeln E[R] =?

33 Verteilung von R P(R = k) =? P(R = k) = r k b n k / r + b n Eine ZV mit diesen Verteilungsgewichten (k = 0,..., n) heißt übrigens hypergeometrisch verteilt zu den Parametern (n, r + b, r). (vg. Buch Seite 28)

34 P(R = k) = r k b n k / r + b n E(R) =? E[R] = n k=0 k r k b n k / r + b n =... Es GEHT so (vgl. Buch Seite 30) Aber es geht auch einfacher.

35 R = Z 1 + Z Z n Z i = 1 falls i-te Kugel rot Z i = 0 falls i-te Kugel blau ooooooooooooo r = 8 b = 5 P(Z i = 1) =? Man stelle sich vor, die Nummern der Züge werden als rein zufällige Permutation an die r + b Kugeln vergeben. Wie wahrscheinlich ist es, dass Nummer i auf eine rote Kugel fällt?

36 R = Z 1 + Z Z n Z i = 1 falls i-te Kugel rot Z i = 0 falls i-te Kugel blau ooooooooooooo r = 8 b = 5 P(Z i = 1) = r r + b Man stelle sich vor, die Nummern der Züge werden als rein zufällige Permutation an die r + b Kugeln vergeben. Wie wahrscheinlich ist es, dass Nummer i auf eine rote Kugel fällt?

37 R = Z 1 + Z Z n Z i = 1 falls i-te Kugel rot Z i = 0 falls i-te Kugel blau ooooooooooooo r = 8 b = 5 P(Z i = 1) = r r + b E[Z i ] = r+b r E[R] = E[Z 1 ] + E[Z 2 ] E[Z n ] E[R] = n r r + b

38 BEISPIEL 3 Runs beim Münzwurf Z := (Z 1, Z 2,..., Z n ) n-facher p-münzwurf P{Z i = 1} = p P{Z i = 0} = q := 1 p Run: ein Teilblock maximaler Länge: oder R := Anzahl Runs in Z R = R = R = 8

39 E[R] =? Dazu schreiben wir R als Summe von Zählern. Bei jedem Wurf zählen wir eins dazu, wenn bei diesem Wurf ein Run beginnt:

40 Y i := 1 falls bei i ein Run beginnt, Y i := 0 sonst R = Y 1 + Y Y n Y 1 1 {Y i = 1} = {(Z i 1, Z i ) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1) P(Y i = 1) = qp + pq (i > 1) E[Y i ] = 2pq (i > 1) E[R] = E[Y 1 ] + E[Y 2 ] + E[Y 3 ] E[Y n ] E[R] = 1 + 2pq(n 1)

41 Gerade haben wir die Linearität des Erwartungswertes schon in Beispielen angewendet. Wir werden sie jetzt noch aus der Definition E[X] := a S a P(X = a) herleiten. Hilfreich dabei ist:

42 Eine wichtige Transformationsformel : (Buch S. 21) Sei X diskrete Zufallsvariable mit P(X S) = 1 und h eine Abbildung von S nach R (so dass der Erwartungswert der Zufallsvariablen h(x) wohldefiniert ist). Dann ist E[h(X)] = h(a)p(x = a). a S

43 Beweis. b P(h(X) = b) b h(s) = b P(X = a) b h(s) a h 1 (b) = h(a) P(X = a) b h(s) a h 1 (b) = a S h(a) P(X = a).

44 Satz [Linearität des Erwartungswertes] (Buch S. 48) Für reellwertige Zufallsvariable X 1, X 2 mit wohldefiniertem Erwartungswert gilt E[c 1 X 1 + c 2 X 2 ] = c 1 E[X 1 ] + c 2 E[X 2 ], c 1, c 2 R.

45 Beweis. Seien S 1, S 2 R abzählbar mit P(X 1 S 1 ) = P(X 2 S 2 ) = 1. Aus der Transformationsformel folgt mit h(a 1, a 2 ) := c 1 a 1 + c 2 a 2 :

46 E[c 1 X 1 + c 2 X 2 ] = a 1 S 1 a 2 S 2 (c 1 a 1 + c 2 a 2 ) P(X 1 = a 1, X 2 = a 2 ) = c 1 a 1 S 1 a 1 + c 2 a 2 S 2 a 2 P(X 1 = a 1, X 2 = a 2 ) a 2 S 2 P(X 1 = a 1, X 2 = a 2 ) a 1 S 1

47 E[c 1 X 1 + c 2 X 2 ] = a 1 S 1 a 2 S 2 (c 1 a 1 + c 2 a 2 ) P(X 1 = a 1, X 2 = a 2 ) =c 1 a 1 S 1 a 1 P(X 1 = a 1, X 2 = a 2 ) a 2 S 2 = c 1 a 1 P(X 1 = a 1 ) a 1 S 1 = c 1 E[X 1 ]

48 Ein wichtiger Fall ist Y = X 1 + X n, wobei die X 1,..., X n nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Dann gilt E[X i ] = 1 P(X i = 1) + 0 P(X i = 0) = P(X i = 1) und somit E[Y] = P(X 1 = 1) + + P(X n = 1). Dies kam bei der Binomialverteilung und bei der hypergeometrischen Verteilung zum Tragen.

49 Zusammenfassung

50 1. Was ist der Erwartungswert? E[X] = xp(x = x) und E[X] = lim X X n n für unabhängige Wiederholungen X 1, X 2,...

51 2. Was ist die wichtigste Eigenschaft des Erwartungswertes? Die Linearität: E[αX + βy] = αe[x] + βe[y]

52 3. Wie berechnet man E[X] am besten? Oft dadurch, dass man X als Summe schreibt: X = Z Z n E[X] = E[Z 1 ] E[Z n ]

Ähnliche Dokumente

Vorlesung 8b. Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten

Vorlesung 8b. Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten Vorlesung 8b Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 Wie gehabt, denken wir uns ein zufälliges Paar X = (X 1,X 2 ) auf zweistufige Weise zustande gekommen: