STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück

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1 STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1

2 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable 2

3 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses B bereits bekannt ist. 3

4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN Informationen verändern Wahrscheinlichkeiten Wenn nicht, dann sind sie UNABHÄNGIG Beispiel: Augensumme zweier Würfel ist mindestens als 7 Information: i) der erste Würfel : 5 ii) der erste Würfel : 1 Rechnung an der Tafel 4

5 WELCHE EREIGNISSE SIND VONEINANDER (UN)ABHÄNGIG? Beispiele: 1) A:Eine sechs wird im ersten Wurf geworfen B:Eine sechs wird im zweiten Wurf geworfen 2) Ein Sack mit 5 grünen, 3 roten Kugeln. i) mit zurücklegen A: 1. Kugel grün B: 2.Kugel grün ii) ohne zurücklegen A: 1. Kugel rot B: 2. Kugel rot iii) ohne zurücklegen A: 1. Kugel rot B: 2. Kugel grün 3) Skatspiel mit 32 Karten. A: Karte ist rot B: Karte ist eine 8 5

6 STOCHASTISCHE (UN)ABHÄNGIGKEIT Unabhängigkeit Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, falls gilt: P(A B)=P(A) oder P(B A)=P(B) d.h. P(A B)=P(A) P(B) Abhängigkeit Sind zwei Ereignisse nicht unabhängig, sind sie ABHÄNGIG. d.h. wenn gilt : P(A B) P(A) P(B) 6

7 EIGENARBEIT Aufgabe 1: Ein Würfel wird einmal geworfen. Sei A das Ereignis "Gerade Augenzahl" und B das Ereignis "Augenzahl größer gleich 2". Aufgabe 2: Ein Würfel wird einmal geworfen. Sei A das Ereignis "Gerade Augenzahl" und B das Ereignis "Augenzahl durch 3 teilbar. 7

8 FORMEL FÜR BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN Sind A und B stochastische unabhängig, gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit: P (A B):= P(A B) P(B) A,B sind Ereignisse, wobei P(B)>0 Voraussetzung ist P(A B) P von A unter B P(B) P(A B) Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse A und B eintreten 8

9 BEISPIEL AN DER TAFEL 9

10 EIGENSCHAFTEN VON WAHRSCHEINLICHKEITEN Es seien A,B Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, E, P), wobei P(B) > 0. Dann gilt: (i) Sind A und B disjunkt, so ist P(A B) = 0 und aus A B folgt P(A B) = 1. Insbesondere ist stets P( B) = 0 und P(Ω B) = 1. (ii) P(Ω \ A B) = 1 P(A B). 10

11 EIGENSCHAFTEN VON WAHRSCHEINLICHKEITEN Unabhängigkeit ist eine symmetrische Eigenschaft P(A B) = P(A) ist gleichwertig zu P(B A) = P(B). Die leere Menge und Ω sind von allen A E unabhängig. Allgemeiner gilt: Ist P(B) {0, 1}, so ist B von allen A unabhängig. Im Fall P(B) = 0 ist nämlich auch P(A B) = 0 Und aus P(B) = 1 folgt P(A B) = P(A) 11

12 FOLGERUNGEN FÜR UNABHÄNGIGE EREIGNISSE Es sei A ein Ereignis in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, E, P). Dann gilt: (i) A ist von Ω und von der leeren Menge unabhängig (ii) Ist A unabhängig von B, so ist A auch von Ω \ B unabhängig 12

13 SATZ VON BAYES Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Für zwei Ereignisse A und B mit P(B)>0 lässt sich die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, durch die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist, errechnen: P(A B) = P(B A) P(A) P(B) 13

14 SATZ VON BAYES Zur Erklärung: P(A B) = P(B A) P(A) P(B) P(A B) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A und der Bedingung, dass B eigetreten ist P(B A) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B und der Bedingung, dass A eigetreten ist P(A) ist die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A P(B) ist die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B 14

15 BEISPIEL (GEGEBENENFALLS EIGENARBEIT) Das Auftreten einer Krankheit liegt bei 0,0002 % Der Test hat eine Sensitivität von 95% Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand gesundes als krank getestet wird liegt bei 1% Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der positiv Getestete wirklich krank ist? 15

16 FOLGERUNGEN AUS DER UNABHÄNGIGKEIT Zum Erwartungswert Das E(X+Y) = E(X)+E(Y) ist, wurde bereits festgestellt. Wie sieht es jedoch mit E(X Y) aus? Ist dieser Ausdruck gleichwertig mit E(X) E(Y)? Sind X, Y : Ω R unabhängige Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert, so existiert auch der Erwartungswert von X Y, und es gilt E(X Y ) = E(X) E(Y ) Und was ist mit den abhängigen? ( Gegenbeispiel an der Tafel) 16

17 FOLGERUNGEN AUS DER UNABHÄNGIGKEIT Es seien X1,..., Xn : Ω R Zufallsvariable, für die Erwartungswert und Varianz existieren. (i) Sind für beliebige i, j mit i j die Zufallsvariablen Xi,Xj unabhängig so gilt V (X1 + + Xn) = V (X1) + + V (Xn). 17

18 UNABHÄNGIGKEIT FÜR MEHR ALS ZWEI EREIGNISSE 18

19 UNABHÄNGIGKEIT FÜR MEHR ALS ZWEI EREIGNISSE- EIN BEISPIEL Der Junge auf dem Tennisplatz 19

20 DEFINITION A, B 1,...,B n seien Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum. A ist von B 1,...,B n unabhängig, wenn gilt, dass A von allen Ereignissen, die man aus B 1,...,B n zusammenstellen kann, unabhängig ist. 20

21 SATZ (i) A ist unabhängig von B 1,...,B n (ii) A ist von beliebigen B i, von denen man den Durchschnitt bildet, unabhängig es handelt sich um äquivalente Aussagen 21

22 WAS BEDEUTET ES, DASS ALLE EREIGNISSE VONEINANDER UNABHÄNGIG SIND? 22

23 DEFINITION Erste Überlegungen: Was bedeutet es, dass Informationen über gewisse A i, keine Konsequenz für die Wahrscheinlichkeiten der restlichen A s haben. Dazu wird gefordert: A 1 ist unabhängig von A 2, A 3,..., A n und A 2 ist unabhängig von A 1, A 3,..., A n und..., und A n ist unabhängig von A 1, A 2,...,A n-1 23

24 (i) Ereignisse A 1,...,A n heißen unabhängig, wenn P(A i1... A ik )= P (A i1 ) P(A ik ) gilt, und zusätzlich gilt, dass man aus verschiedenen Kombinationen der Ereignisse die Durchschnitte bildet und diese Wahrscheinlichkeit gleich der ausmultiplizierten Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ist. (ii) Ist 0 eine Teilmenge der Ereignisse so heißt 0 unabhängig, wenn jede endliche Teilfamilie unabhängig ist. 24

25 BEISPIEL - TAFEL 25

26 BEMERKUNG Jede Teilmenge einer Menge unabhängiger Ereignisse ist ebenfalls unabhängig. Insbesondere sind in einer unabhängigen Menge von Ereignissen je zwei Ereignisse unabhängig. Diese heißen paarweise unabhängig. 26

27 IRRTÜMER DER UNABHÄNGIGKEIT Irrtum 1: A 1,...,A n unabhängig ist gleichwertig dazu, dass je zwei A i, A j für i ungleich j unabhängig sind. Diese paarweise Unabhängigkeit folgt zwar aus der Unabhängigkeit, impliziert diese aber nicht. 27

28 IRRTÜMER DER UNABHÄNGIGKEIT Irrtum 2: A 1,...,A n unabhängig heißt, dass P(A 1... A n ) mit P(A 1 ) P(A n ) übereinstimmt. 28

29 UNABHÄNGIGKEIT FÜR ZUFALLSVARIABLE 29

30 (KURZE) WIEDERHOLUNG Beispiel 2-facher Münzwurf (Tafel) 30

31 Zwei Ereignisse {X B} und {Y C} sind unabhängig, wenn gilt: P({X B} {Y C}) = P({X B}) P({Y C}) Andere Schreibweise für {X B}: {X(w) B I w Ω} Analog für {Y C} Ähnlichkeit zur Formel bei Ereignissen: P(A B)=P(A) P(B) Was bedeutet {X B} und {Y C}? > Erläuterung am 2fachen Münzwurf (siehe Tafel) 31

32 DEFINITION Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig, wenn gilt: (i) Für beliebige Borelmengen B, C in R sind {X B} und {Y C} unabhängig (ii) Für alle a, b R sind die Ereignisse {X a} und {Y b} unabhängig Die Bedingungen sind äquivalent! Erläuterung am 2fachen Würfelwurf 32

33 2-FACHER WÜRFELWURF X (i,j) := i Y (i,j) := j > Augenzahl auf dem ersten Würfel > Augenzahl auf dem zweiten Würfel Also z.b. X(1,2) = 1 und Y(1,2) = 2 X (i,j) a Y (i,j) b (umgangssprachlich: wie viele erste Augenzahlen sind a ) (umgangssprachlich: wie viele zweite Augenzahlen sind b ) 33

34 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Bsp: Für a=3 und b=4 Formel für Unabhängigkeit: P({X a, Y b}) = P({X a}) P({Y b}) Gilt das in diesem Fall? 34

35 b a (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Bsp: Für a=3 und b=4 Formel für Unabhängigkeit: P({X a, Y b}) = P({X a}) P({Y b}) Gilt das in diesem Fall? Allgemein für a und b? (Tafel) 35

36 EINEN SCHRITT WEITER Satz: Zwei Zufallsvariablen X, Y sind genau dann unabhängig, wenn P({X = c} {Y = d}) = P({X = c}) P({Y = d}) für alle c im Bildbereich von X und alle d im Bildbereich von Y gilt! (das gilt für den diskreten Wahrscheinlichkeitsraum!) > alle möglichen Kombinationen! 36

37 MEHR ALS ZWEI ZUFALLSVARIABLEN Definition: Die Zufallsvariablen X 1,, X n Für beliebige reelle Zahlen a 1,, a n {X 1 a 1 },, {X n a n } unabhängig. sind unabhängig, wenn gilt: sind die Ereignisse (Eine beliebige Familie von Zufallsvariablen heißt unabhängig, wenn jede endliche Teilfamilie diese Eigenschaft hat) 37

38 ANHANG - TAFELANSCHRIEBE 38

39 ZU BEDINGTEN WAHRSCHEINLICHKEITEN 39

40 40

41 41

42 42

43 ZU FOLIE 25 43

44 ZU FOLIE 30 44

45 ZU FOLIE 35 45