Appendix I: Eine etwas komprimierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Appendix I: Eine etwas komprimierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie"

Transkript

1 Appendix I: Eine etwas komprimierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Vorbemerkung: Die folgenden Seiten sind nicht zur Abschreckung gedacht, sondern als Ergänzung zu den Darstellungen, die in einführenden Lehrbüchern zur Ökonometrie enthalten sind. Die folgenden Seiten sind der Versuch, die Intuition hinter den vielen Definitionen und Konzepten in der Wahrscheinlichkeitstheorie zu erklären. Deshalb wird nicht überall auf Formeln verzichtet, auch wenn dadurch vielleicht nicht alles beim ersten oder zweiten Lesen klar wird. Korrekturen, Kommentare und Kritik sind willkommen! Siehe insbesondere den sehr guten, knappen Überblick (mit Beispielen) in Hassler (2007, Kapitel 2) oder sehr ausführlich (in Englisch) Casella & Berger (2002) oder 1

2 (sehr knapp) Wahrscheinlichkeitstheorie in Wikipedia. 2

3 Ergebnismenge (sample space, outcome space): (in früheren Versionen auch als Möglichkeitenraum bezeichnet) die Menge Ω enthält alle möglichen Ergebnisse (outcomes) eines Zufallsexperiments. Diese Menge kann abzählbar viele oder überabzählbar viele Ergebnisse enthalten. Beispiele: Urne mit 4 Kugeln in jeweils verschiedener Farbe: Ω = {gelb, rot, blau, grün}. zukünftiges Monatseinkommen eines Haushalts: Ω = [0, ). Anmerkungen: Sind die Ergebnisse endlich viele, dann bezeichnet man die einzelnen Ergebnisse häufig mit ω i. Für S Ergebnisse ist Ω dann Ω = {ω 1, ω 2,...,ω S }. Liegen unendlich viele Ergebnis vor, dann bezeichnet man ein einzelnes davon häufig mit ω. 3

4 Ereignis (event): Tritt ein bestimmtes Ergebnis ein, wird dies als Ereignis bezeichnet. Enthält das Ereignis genau ein Element der Ergebnismenge, wird es als Elementarereignis bezeichnet. Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge Ω, also jede Menge von möglichen Elementarereignissen = jede Teilmenge der Menge Ω einschließlich Ω selbst. Beispiele: Urnenbeispiel: mögliche Ereignisse sind beispielsweise {gelb, rot} oder {rot, blau, grün}. Haushaltseinkommen: mögliche Ereignisse sind alle möglichen Teilintervalle und Verknüpfungen davon, z.b. (0, 5000], [1000, 1001), (400, ), 4000, etc. 4

5 Anmerkungen: Verwendet man die allgemeine Schreibweise mit den ω s, dann ergibt sich im Fall von S Elementarereignissen: {ω 1,ω 2 }, {ω S }, {ω 3,...,ω S }, etc. im Fall von unendlich vielen Elementarereignissen innerhalb eines Intervalls Ω = (, ): (a 1, b 1 ], [a 2, b 2 ), (0, ), etc., wobei immer die untere Grenze kleiner oder gleich der oberen Grenze ist, also a i b i. Sigma-Algebra: Vorbemerkungen: Betrachten wir unser Beispiel mit den 4 Kugeln in verschiedenen Farben. Um das Beispiel noch allgemeiner zu machen, bezeichnen wir ω 1 = gelb, ω 2 = rot, ω 3 = blau, ω 4 = grün. Nehmen wir nun an, dass wir insbesondere daran interessiert sind, ob folgende Ereignisse eintreten: C = {{ω 1 }, {ω 1, ω 2 }, {ω 1,ω 3, ω 4 }}, die in der Menge C zusammengefasst werden. Wenn wir nun diese Kollektion von Teilmengen C genauer betrachten, fällt auf, dass zwar das Elementarereignis {ω 1 } eintreten kann, aber was machen wir, wenn es nicht eintritt. Dann 5

6 muss ja zwangsläufig das Ereignis {ω 2, ω 3,ω 4 } eintreten, das aber nicht in der Sammlung C enthalten ist. Das bedeutet, dass wir diesem Ereignis dann auch keine Wahrscheinlichkeit zuordnen können. Da dies keinen Sinn macht, müssen wir die Menge C mindestens um das Ereignis {ω 2, ω 3, ω 4 } erweitern. Daraus folgt, dass eine Kollektion von Teilmengen, für die wir jeweils Wahrscheinlichkeiten definieren möchten, bestimmte Eigenschaften aufweisen muss. So muss zumindest immer das Komplement eines Ereignisses in der Kollektion von Teilmengen enthalten sein. Man kann sich auch überlegen, dass beliebige Vereinigungsmengen von Teilmengen ebenfalls in der Kollektion enthalten sein müssen. Erfüllt eine Kollektion von Teilmengen diese Anforderungen, dann wird sie als Sigma-Algebra bezeichnet. 6

7 Definition einer Sigma-Algebra: Eine Menge von Teilmengen von Ω wird als Sigma-Algebra bzw. als σ- Algebra (σ-algebra, σ-field) bezeichnet, wenn für diese Menge von Teilmengen folgende Eigenschaften gelten. Dabei wird eine σ-algebra häufig mit F bezeichnet: 1. F. 2. Wenn A F, dann A c F. 3. Wenn A 1, A 2,... F, dann i=1 A i F. Anmerkungen: Im Fall endlich vieler Elementarereignisse ist die σ-algebra mit der Potenzmenge identisch. Im Fall unendlich vieler Elementarereignisse, beispielsweise im Fall der möglichen Intervalle reeller Zahlen ist die σ-algebra kleiner als die Potenzmenge. Genau für diesen Fall hat man dieses Konzept entwickelt, da die Potenzmenge zu groß sein würde. F wird auch als Ereignisalgebra oder Ereignisraum bezeichnet. 7

8 Es sei eine Ergebnismenge Ω und eine σ-algebra F gegeben. Dann wird das Paar (Ω, F) als meßbarer Raum bezeichnet. Wahrscheinlichkeitsfunktion: Es sei eine Ergebnismenge Ω und eine σ-algebra F gegeben. Jedem Ereignis wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Die Wahrscheinlichkeit ist eine Abbildung die folgende Bedingungen erfüllt: 1. P(A) 0 für alle A F. 2. P(Ω) = 1. P : A P(A) [0, 1], A F, 3. Wenn A 1, A 2,... paarweise disjunkt sind, dann P ( i=1 A i) = i=1 P(A i). Man sieht, dass die Definition einer Wahrscheinlichkeitsfunktion die Kenntnis einer Ergebnismenge Ω und einer dazu passenden σ-algebra voraussetzt. Streng genommen müsste man also zu einer Wahrscheinlichkeitsfunktion P immer dazu sagen, zu welchem Ω und F sie gehört, was wir aber im Allgemeinen nicht tun werden. Das Tripel (Ω, F, P) hat einen Namen und wird Wahrscheinlichkeits- 8

9 raum genannt. Auf einem meßbaren Raum (Ω, F) können mehrere Wahrscheinlichkeitsfunktionen definiert sind (z.b. für einen fairen und einen unfairen Würfel). Zufallsvariable: Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis ω Ω eine reelle Zahl X(ω) R zuordnet. Urnenbeispiel: X(ω 1 ) = 0, X(ω 2 ) = 3, X(ω 3 ) = 17, X(ω 4 ) = 20. Beachte: Möchte man eine Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Zufallsvariable X(ω) auf Ω festlegen, dann benötigt man eine neue Ergebnismenge Ω, die der Bildmenge der Zufallsvariablen für die Ergebnisse bzw. Elementarereignisse entspricht (im Urnenbeispiel Ω = {0, 3, 17, 20}) eine neue σ-algebra F, die sich aus F gewinnen lässt, und eine neue Wahrscheinlichkeitsfunktion P X, die als Argumente Zahlen (im Beispiel: z.b. 0, 3) bzw. Intervalle von (reellen) Zahlen hat. Im Allgemeinen ist 9

10 die neue Ergebnismenge Ω durch die Menge der reellen Zahlen R gegeben die dazugehörige σ-algebra durch die sogenannte Borel-Algebra B gegeben. Sie ist die kleinste σ-algebra über R, die alle reellen Intervalle enthält. Die Zufallsvariable X definiert damit einen neuen (abgeleiteten, induzierten) Wahrscheinlichkeitsraum (R, B, P X ). Beachte: Voraussetzung hierfür, dass alle Teilmengen in den jeweiligen σ-algebren (F bzw. B) jeweils eine entsprechende Teilmenge in der anderen σ-algebra aufweisen. Dies wird in der mathematischen Statistik als Messbarkeit einer Zufallsvariablen bezeichnet, siehe auch Hassler (2007, Abschnitt 2.1, S. 15). Beachte: Wenn es zu keinen Verwechslungen kommen kann, wird im Folgenden anstelle von P X nur P geschrieben. 10

11 Dichtefunktion Vorbemerkung: Wie wir schon gesehen haben, wird es immer kompliziert, wenn Ω unendlich viele Elementarereignisse vorliegen. Betrachten wir beispielsweise Ω = [0, 4]. Möchte man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beispielsweise die Zahl π eintritt, dann ist diese Wahrscheinlichkeit 0. Wäre sie nicht 0, dann hätten wir das Problem, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten über alle (überabzählbar vielen) Zahlen nicht 1 sein könnte. Was tun? Ein Ausweg bietet folgender Trick: Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Realisation der Zufallsvariablen X in dem Intervall [0, x] liegt, wobei x < 4. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich schreiben als P(X x). Nun kann man fragen, inwieweit sich diese Wahrscheinlichkeit verändert, wenn man das Intervall [0, x] um ein kleines Stück h verlängert. Die Antwort lautet: P(X x + h) P(X x). Setzt man diese Veränderung in der Wahrscheinlichkeit in Bezug auf die Veränderung der Intervalllänge, erhält man P(X x + h) P(X x). h 11

12 Lässt man nun die Intervalllänge h gegen 0 gehen, bildet also den Grenzwert, erhält man P(X x + h) P(X x) lim = f(x). h 0 h Dieser Grenzwert heißt Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz Dichtefunktion, die zu der Wahrscheinlichkeitsfunktion P gehört. Wie lässt sich die Dichtefunktion interpretieren? Schreibt man etwas lässig P(X x + h) P(X x) h und formt dies um zu f(x) P(X x + h) P(X x) f(x)h, dann sieht man, dass die Dichtefunktion f(x) die Rate angibt, mit der sich die Wahrscheinlichkeit verändert, wenn das Intervall [0, x] um h verlängert wird. Die Dichtefunktion gibt also eine Rate an. 12

13 Da die Dichtefunktion eine Ableitung ist, gilt umgekehrt in unserem Beispiel, dass x 0 f(u)du = P(X x) = F(x). Dabei wird F(x) = P(X x) als Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion bezeichnet. Man erhält natürlich in unserem Beispiel auch, dass 4 0 f(u)du = P(X 4) = 1. Allgemein gilt, dass das Integral der Dichtefunktion über den gesamten Bereich der Zufallsvariable 1 ergibt, beispielsweise bei X(ω) R: f(u)du = P(X ) = 1. 13

14 Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion Zunächst ein Beispiel: Es bezeichne die Zufallsvariable X [0, ) den Auszahlungsbetrag in einem Gewinnspiel. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Verteilungsfunktion P(X x) = F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit für einen maximalen Gewinnbetrag von x an. Es ist weiter bekannt, dass zur Ermittlung des Auszahlungsbetrags 2 Maschinen bereitstehen, Maschine A und Maschine B. Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen maximalen Gewinnbetrag von x, wenn Maschine A zum Einsatz kommt? Anders formuliert, wie groß ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit, wenn die Bedingung Maschine A im Einsatz gilt? Man nennt deshalb die gesuchte Wahrscheinlichkeit auch bedingte Wahrscheinlichkeit und man schreibt P(X x A). Entsprechend notiert man, falls die Bedingung Maschine B im Einsatz gilt, P(X x B). 14

15 Frage: Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen der unbedingten Wahrscheinlichkeit P(X x) und den beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten P(X x A) und P(X x B)? Zur Beantwortung muss man wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Maschine A, bzw. Maschine B zum Einsatz kommt. Wenn wir diese Wahrscheinlichkeiten mit P(A) und P(B) bezeichnen, dann können wir die obige Frage beantworten: P(X x) = P(X x A)P(A) + P(X x B)P(B) F(x) = F(x A)P(A) + F(x B)P(B) (Übrigens, der Ergebnisraum mit den Elementarereignissen für die Maschinenwahl ist Ω = {A, B}. Die hier verwendete σ-algebra für die Maschinenwahl ist gegeben durch F = {Ω, A, B, }.) In unserem Beispiel haben wir genau zwei Elementarereignisse. Der hierfür genannte Zusammenhang lässt sich auf n diskrete Elementarereignisse Ω = {A 1,A 2,...,A n } erweitern: F(x) = F(x A 1 )P(A 1 ) + F(x A 2 )P(A 2 ) + F(x A n )P(A n ) (*) 15

16 Bisher haben wir die Bedingung in Form von Ereignissen und nicht in Form von Zufallsvariablen definiert. Ein Beispiel für letzteres wäre, wenn zur Ermittlung des Auszahlungsbetrags nur eine Maschine zur Verfügung steht, deren Funktionsweise aber von dem vorherigen Auszahlungsbetrag Z abhängt. Dann lautet die bedingte Verteilungsfunktion F(x Z = z), wobei Z = z bedeutet, dass die Bedingung lautet, dass Zufallsvariable Z genau die Realisation z annimmt. Um wieder den Zusammenhang zwischen der unbedingten und den bedingten Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, müssen wir nun die Summe durch ein Integral ersetzen und die Wahrscheinlichkeit der Bedingung durch die entsprechende Dichtefunktion, da Z ja unendlich viele Werte annehmen kann. Für unser Beispiel ergibt sich dann: bzw. allgemein F(x) = F(x) = 0 F(x Z = z)f(z)dz = F(x Z = z)f(z)dz = 0 F(x z)f(z)dz F(x z)f(z)dz (**) 16

17 Noch eine wichtige Eigenschaft: Wenn die Zufallszahlen X und Z stochastisch unabhängig sind, dann gilt Bedingte Dichtefunktion F(x z) = F(x). Die bedingte Dichtefunktion kann man heuristisch aus der bedingten Verteilungsfunktion in derselben Weise ableiten, wie wir das weiter oben für unbedingte Dichtefunktion getan haben; lediglich die unbedingten Wahrscheinlichkeiten werden durch bedingte Wahrscheinlichkeiten ersetzt. Die bedingte Dichtefunktion ergibt sich aus P(X x + h A) P(X x A) lim = f(x A). h 0 h Falls man endlich viele Bedingungen hat, dann wird (*) zu f(x) = f(x A 1 )P(A 1 ) + f(x A 2 )P(A 2 ) + f(x A n )P(A n ) (+) Der Zusammenhang (**) lautet dann f(x) = f(x Z = z)f(z)dz = f(x z)f(z)dz. (++) 17

18 Erwartungswert Betrachten wir wieder unser Beispiel der Auszahlungsmaschinen. Frage: Welchen Auszahlungsbetrag würden Sie im Mittel oder im Durchschnitt erwarten? Antwort: 0 xf(x)dx. Würde die Gewinnauszahlung in n verschiedenen diskreten Beträgen erfolgen, so würde man im Mittel n i=1 x ip(x = x i ) erwarten. Jede mögliche Auszahlung wird mit ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit gewichtet aufsummiert. Nicht überraschend bezeichnet man diese Größen auch als Erwartungswert. Allgemein ist der Erwartungswert definiert als E(X) = xf(x)dx, X stetig E(X) = x i P(X = x i ) X diskret 18

19 Regeln für den Erwartungswert z.b. Wooldridge (2009, Appendix B) 1. Für jede Konstante c gilt E[c] = c. 2. Für alle Konstanten a und b und Zufallsvariablen X und Y gilt E[aX + by ] = ae(x) + be(y ). 3. Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig, gilt Bedingter Erwartungswert E(Y X) = E(Y )E(X). Bisher haben wir nicht darauf geachtet, welche Maschine bei der Auszahlungsermittlung zum Einsatz kommt. Interessieren wir uns hingegen für die erwartete Auszahlung, wenn Maschine A im Einsatz ist, dann müssen wir den bedingten Erwartungswert berechnen E(X A) = 0 xf(x A)dx. 19

20 Dies geschieht einfach, indem man die unbedingte Dichte f(x) durch die bedingte Dichte f(x A) ersetzt und die Bedingung in der Notation des Erwartungswertes angibt. Entsprechend lässt sich die erwartete Auszahlung für Maschine B berechnen als E(X B) = Allgemein erhält man für diskrete Bedingungen E(X A) = xf(x A)dx, 0 xf(x B)dx. X stetig, E(X A) = x i P(X = x i A), bzw. für stetige Bedingungen E(X Z = z) = xf(x Z = z)dx, E(X Z = z) = x i P(X = x i Z = z), X diskret, X stetig, X diskret. 20

21 Beachte: Häufig verwendet man auch die Kurzformen, so auch in Wooldridge (2009), E(X z) = xf(x z)dx, X stetig, E(X z) = x i P(X = x i z), X diskret. Entsprechend dem Zusammenhang zwischen unbedingten und bedingten Wahrscheinlichkeiten, existiert ein ähnlicher Zusammenhang auch zwischen dem unbedingten und den bedingten Erwartungswerten. Er lautet E(X) = E [E(X Z)] und wird als Law of iterated expectations (LIE) bezeichnet. 21

22 Beweisskizze: E(X) = xf(x)dx [ ] = x f(x z)f(z)dz dx (Einsetzen von (++)) = xf(x z)f(z)dzdx = xf(x z)dxf(z)dz (Vertauschen von dx und dz) } {{ } E(X z) = E(X z)f(z)dz =E [E(X Z)] In unserem Beispiel mit den 2 Maschinen ergibt das Gesetz der iterierten Erwartungen E(X) = E(X A)P(A) + E(X B)P(B). Dieses Beispiel macht auch deutlich, dass die bedingten Erwartungswerte E(X A) und E(X B) Zufallszahlen sind, die gewichtet mit ihren Eintrittswahrscheinlich- 22

23 keiten P(A) und P(B) den Erwartungswert E(X) ergeben. Man stelle sich vor, man kennt vor Beginn des Spiels nur die beiden bedingten Erwartungswerte, aber nicht welche Maschine zum Einsatz kommen wird. Dann ist der erwartete Auszahlungsbetrag gerade E(X) und wir müssen die beiden bedingten Erwartungswerte als Zufallsvariablen ansehen. Sobald man weiß, welche Maschine zum Einsatz gekommen ist, ist der dazugehörige bedingte Erwartungswert die Realisation der Zufallsvariablen. Diese Eigenschaft gilt ganz allgemein für bedingte Erwartungswerte. Regeln für bedingte Erwartungen z.b. Wooldridge (2009, Appendix B) 1. Für jede Funktion c( ) gilt 2. Für alle Funktionen a( ) und b( ) gilt E[c(X) X] = c(x). E[a(X)Y + b(x) X] = a(x)e(y X) + b(x). 23

24 3. Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig, gilt E(Y X) = E(Y ). 4. Law of iterated expectations (LIE) 5. E(Y X) = E[E(Y X, Z) X]. E[E(Y X)] = E(Y ). 6. Falls E(Y X) = E(Y ), dann Cov(X,Y ) = Falls E(Y 2 ) < und E[g(X) 2 ] < für eine beliebige Funktion g( ), dann gelten E{[Y E(Y X)] 2 X} E{[Y g(x)] 2 X} E{[Y E(Y X)] 2 } E{[Y g(x)] 2 }. 24

25 Beachte: E(Y ) = 0 E(Y X) = 0. Cov(Y, X) = 0 E(Y X) = 0. Cov(Y, X) = 0 und E(Y ) = 0 E(Y X) = E[XE(Y X)] = 0. Beispiel: Für Y = X 2 und E(X) = E(X 3 ) = 0 gilt Cov(Y, X) = 0, da Cov(X 2, X) = E(X 3 ) E(X 2 )E(X) = 0, aber E(Y X) = X

26 Literaturverzeichnis Casella, G. & Berger, R. L. (2002), Statistical Inference, Thomson. Hassler, U. (2007), Stochastische Integration und Zeitreihenmodellierung, Springer, Berlin, Heidelberg. Wooldridge, J. M. (2009), Introductory Econometrics. A Modern Approach, 4th edn, Thomson South-Western. 26

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

Übungsaufgaben, Statistik 1

Übungsaufgaben, Statistik 1 Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama

Mehr

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 3. Vorlesung - 21.10.2016 Bedingte Wahrscheinlichkeit In einer Urne sind 2 grüne und 3 blaue Kugeln. 2 Kugeln werden ohne Zürücklegen gezogen. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass : a) man eine grüne

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet Kapitel 10 Zufall und Wahrscheinlichkeit 10.1. Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgang Klein-Omega ω Groß-Omega Ω Stellt Modelle bereit, die es erlauben zufallsabhängige Prozesse abzuschätzen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Physikalische Chemie II: Atombau und chemische Bindung Winter 2013/14 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Messergebnisse können in der Quantenmechanik ganz prinzipiell nur noch mit einer bestimmten

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable

Mehr

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum)

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum) Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume I Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II Verallgemeinerung von Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsräumen: Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω endlich

Mehr

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Rumpfskript Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Vorbemerkung Vorbemerkung Das vorliegende Skript heißt nicht nur Rumpf skript, sondern

Mehr

DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN

DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN KAPITEL 1 DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN Es ist die Aufgabe der ersten drei Kapitel, eine vollständige Beschreibung des grundlegenden Tripels (Ω, A, P) und seiner Eigenschaften zu geben, das heutzutage

Mehr

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests

Mehr

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1 Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse und Unabhängigkeit Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, Pr), wobei Ω eine endliche oder

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

Technische Universität München

Technische Universität München Stand der Vorlesung Kapitel 2: Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen Mengen, Potenzmenge, Kreuzprodukt (Paare, Tripel, n-tupel) Relation: Teilmenge MxN Eigenschaften: reflexiv, symmetrisch, transitiv,

Mehr

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen. Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.

Mehr

4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung

4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung 4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung Häufig werden mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig betrachtet, z.b. Beispiel 4.1. Ein Computersystem bestehe aus n Teilsystemen. X i sei der Ausfallzeitpunkt

Mehr

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen 47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 9. Übung SS 16: Woche vom 5. 6. 10. 6. 2016 Stochastik III: Totale Wkt., S.v.Bayes, Diskrete ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Mehr

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff Zufallsgrößen 2.5 Zufallsgrößen 2.5.1 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße 2.5.2 Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Dichtefunktion einer

Mehr

P (A B) P (B) = P ({3}) P ({1, 3, 5}) = 1 3.

P (A B) P (B) = P ({3}) P ({1, 3, 5}) = 1 3. 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Beispiel. Wie wahrscheinlich ist es, eine Zwei oder eine Drei gewürfelt zu haben, wenn wir schon wissen, dass wir eine ungerade Zahl gewürfelt haben? Dann ist Ereignis A das

Mehr

Kapitel 5. Univariate Zufallsvariablen. 5.1 Diskrete Zufallsvariablen

Kapitel 5. Univariate Zufallsvariablen. 5.1 Diskrete Zufallsvariablen Kapitel 5 Univariate Zufallsvariablen Im ersten Teil dieses Skriptes haben wir uns mit Daten beschäftigt und gezeigt, wie man die Verteilung eines Merkmals beschreiben kann. Ist man nur an der Population

Mehr

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit 3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:

Mehr

Zufallsgröße: X : Ω R mit X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße: X : Ω R mit X : ω Anzahl der geworfenen K`s 4. Zufallsgrößen =============================================================== 4.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Lernzusammenfassung für die Klausur. Inhaltsverzeichnis. Stochastik im SS 2001 bei Professor Sturm

Lernzusammenfassung für die Klausur. Inhaltsverzeichnis. Stochastik im SS 2001 bei Professor Sturm Stochastik im SS 2001 bei Professor Sturm Lernzusammenfassung für die Klausur Hallo! In diesem Text habe ich die wichtigsten Dinge der Stochastikvorlesung zusammengefaÿt, jedenfalls soweit, wie ich bis

Mehr

σ-algebren, Definition des Maßraums

σ-algebren, Definition des Maßraums σ-algebren, Definition des Maßraums Ziel der Maßtheorie ist es, Teilmengen einer Grundmenge X auf sinnvolle Weise einen Inhalt zuzuordnen. Diese Zuordnung soll so beschaffen sein, dass dabei die intuitiven

Mehr

Kapitel 5. Stochastik

Kapitel 5. Stochastik 76 Kapitel 5 Stochastik In diesem Kapitel wollen wir die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln. Wir beschränken uns dabei auf diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω. Definition 5.1. Ein diskreter

Mehr

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 11. Januar 2013 1 Diskrete Strukturen Gesamtübersicht Organisatorisches und Einführung Mengenlehre Relationen

Mehr

Varianz und Kovarianz

Varianz und Kovarianz KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]

Mehr

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2.1 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik. Es ist üblich, an den Anfang einer mathematischen Theorie

Mehr

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der

Mehr

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Motivation bisher: Beschreibung von Datensätzen = beobachteten Merkmalsausprägungen Frage: Sind Schlußfolgerungen aus diesen Beobachtungen möglich? Antwort: Ja, aber diese gelten nur mit einer bestimmten

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Dozentin: Wiebke Petersen 8. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Motivation Bsp.: In vielen Bereichen der CL kommt Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING)

Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Vorlesung 03.01.09 Stochastik Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Der Mathematikunterricht der Schule hat die Aufgabe, eine Grundbildung zu vermitteln, die auf ein mathematisches

Mehr

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Ausgehend von der Darstellung der bedingten Wahrscheinlichkeit in Gleichung 1 zeigen wir: Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Die Ereignisse A 1,..., A n seien paarweise disjunkt und es gelte

Mehr

Zufallsvariablen: Die allgemeine Definition

Zufallsvariablen: Die allgemeine Definition KAPITEL 8 Zufallsvariablen: Die allgemeine Definition 8.1. Zufallsvariablen Bis zu diesem Zeitpunkt haben wir ausschließlich Zufallsvariablen mit endlich oder abzählbar vielen Werten (also diskrete Zufallsvariablen)

Mehr

2. Zufallsvariable, Verteilungsfunktion, Erwartungswert,

2. Zufallsvariable, Verteilungsfunktion, Erwartungswert, 2. Zufallsvariable, Verteilungsfunktion, Erwartungswert, momentenerzeugende Funktion Ziel des Kapitels: Mathematische Präzisierung der Konzepte Zufallsvariable Verteilungsfunktion Dichtefunktion Erwartungswerte

Mehr

Stochastik für die Naturwissenschaften

Stochastik für die Naturwissenschaften Stochastik für die Naturwissenschaften Dr. C.J. Luchsinger 5. Erwartungswert E und Varianz V Literatur Kapitel 5 * Storrer: (37.9)-(37.12), (38.4), (40.6)-(40.9), (41.2) * Stahel: Kapitel 5 und 6 (nur

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - robeklausur Sommersemester 2007 - Lösung Name: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Hinweise Sie sollten insgesamt Blätter erhalten haben. Tragen Sie bitte Ihre Antworten

Mehr

Diskrete Verteilungen

Diskrete Verteilungen KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder

Mehr

Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Prof. Dr. C. Löh/M. Blank Blatt 0 vom 16. April 2012 Aufgabe 1 (Wahrscheinlichkeitsräume). Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie jeweils

Mehr

4. Die Laplacesche Gleichverteilung

4. Die Laplacesche Gleichverteilung Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Grundlagen der Stochastik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die Ereignismenge 2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung 3. Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 8. Übung SS 16: Woche vom 30. 5. 3.6. 2016 Stochastik II: Klassische Wkt.-Berechnung; Unabhängigkeit Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 10. November 2010 1 Bedingte Wahrscheinlichkeit Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Bayessche Formel 2 Grundprinzipien

Mehr

1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap. 01 11. Oktober 2010 1 1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Messbare Räume Gegeben seien eine nichtleere Menge Ω und eine Menge A von Teilmengen

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße. Was ist eine Zufallsgröße und was genau deren Verteilung?

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße. Was ist eine Zufallsgröße und was genau deren Verteilung? Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße Von Florian Modler In diesem Artikel möchte ich einen kleinen weiteren Exkurs zu meiner Serie Vier Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition

Mehr

Statistik. R. Frühwirth. Statistik. VO Februar R. Frühwirth Statistik 1/174

Statistik. R. Frühwirth. Statistik. VO Februar R. Frühwirth Statistik 1/174 fru@hephy.oeaw.ac.at VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090 Februar 2010 1/174 Übersicht über die Vorlesung Teil 1: Deskriptive Teil 2: srechnung Teil 3: Zufallsvariable Teil 4: Parameterschätzung 2/174

Mehr

Aufgabenblock 3. Durch zählen erhält man P(A) = 10 / 36 P(B) = 3 / 36 P(C) = 18 / 36 und P(A B) = 3 /

Aufgabenblock 3. Durch zählen erhält man P(A) = 10 / 36 P(B) = 3 / 36 P(C) = 18 / 36 und P(A B) = 3 / Aufgabenblock 3 Aufgabe ) A sei das Ereignis: schwerer Verkehrsunfall B sei das Ereignis: Alkohol ist im Spiel Herr Walker betrachtet die Wahrscheinlichkeit P(B A) = 0.3 und errechnet daraus P(-B A) =

Mehr

Satz 16 (Multiplikationssatz)

Satz 16 (Multiplikationssatz) Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.

Mehr

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012 Weihnachtszettel zur Vorlesung Stochastik I Wintersemester 0/0 Aufgabe. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält

Mehr

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)

Mehr

TU Darmstadt FB Mathematik, AG 9 WS 2004/2005 Jakob Creutzig (1 + ρ)

TU Darmstadt FB Mathematik, AG 9 WS 2004/2005 Jakob Creutzig (1 + ρ) TU Darmstadt FB Mathematik, AG 9 WS 2004/2005 Jakob Creutzig 9..04 Lösungsvorschläge zum 3. Aufgabenblatt der Vorlesung,,Einführung in die Finanzmathematik Gruppenübungen Aufgabe : Es sei Ω = {, +} n,

Mehr

Kapitel 3. Ein Statistisches Intermezzo. Strange events permit themselves the luxury of occurring. (Charlie Chan)

Kapitel 3. Ein Statistisches Intermezzo. Strange events permit themselves the luxury of occurring. (Charlie Chan) Kapitel 3 Ein Statistisches Intermezzo Strange events permit themselves the luxury of occurring. (Charlie Chan) Unsere Umwelt produziert am laufenden Band Ergebnisse wie Wolken, Aktienkurse, Herzinfarkte

Mehr

Kenngrößen von Zufallsvariablen

Kenngrößen von Zufallsvariablen Kenngrößen von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch die sogenannten Kenngrößen beschrieben werden, sie charakterisieren sozusagen die Verteilung. Der Erwartungswert Der Erwartungswert

Mehr

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike

Mehr

Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge

Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge In späteren Kapitel wird manchmal auf die Mengenlehre Bezug genommen. Deshalb sollen hier die wichtigsten Grundlagen und Definitionen dieser Disziplin kurz zusammengefasst

Mehr

8. Stetige Zufallsvariablen

8. Stetige Zufallsvariablen 8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse

Mehr

Definition 2.1 Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

Definition 2.1 Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsfunktion Kapitel 2 Erwartungswert 2.1 Erwartungswert einer Zufallsvariablen Definition 2.1 Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsfunktion È ist definiert als Ü ÜÈ Üµ Für spätere

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Wahrscheinlichkeitstheorie Was will die Sozialwissenschaft damit? Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Auch im Alltagsleben arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten, besteigen

Mehr

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Ziel: Einführung/Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen 2.1 Mengen, Relationen, Ordnungen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit Kapitel 0 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit 0.1 Der Wahrscheinlichkeitsraum Definition 0.1.1. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel (Ω, F, P), wobei Ω eine nichtleere Menge, F eine σ-algebra von

Mehr

Univariates Datenmaterial

Univariates Datenmaterial Univariates Datenmaterial 1.6.1 Deskriptive Statistik Zufallstichprobe: Umfang n, d.h. Stichprobe von n Zufallsvariablen o Merkmal/Zufallsvariablen: Y = {Y 1, Y 2,..., Y n } o Realisationen/Daten: x =

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe

9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe Übungsmaterial 9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe 9. Erwartungswert Fragt man nach dem mittleren Wert einer Zufallsgröÿe X pro Versuch, so berechnet man den Erwartungswert

Mehr

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur) Gruben)

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur) Gruben) Musterlösung zum. Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur Gruben. Wahrscheinlichkeiten I ( Punkte Die Seiten von zwei Würfeln sind mit den folgenden Zahlen

Mehr

a) Fragen zur diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie

a) Fragen zur diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 5 a) Fragen zur diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie 5. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume (i) Was versteht man unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum? Beispiele solcher Räume an, dabei auch

Mehr

Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK)

Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) für Studierende des Maschinenbaus vom 7. Juli (Dauer: 8 Minuten) Übersicht über die

Mehr

7.2 Moment und Varianz

7.2 Moment und Varianz 7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p

Mehr

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009 Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene Steen Elstner, Klaus Wohlrabe, Steen Henzel SS 9 1 Wichtige Verteilungen Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

1. Ziehg.: N M. falls nicht-rote K. in 1. Ziehg. gezogen

1. Ziehg.: N M. falls nicht-rote K. in 1. Ziehg. gezogen 6.4 Hyergeometrische Verteilung Gegeben ist eine Urne, die mit N Kugeln gefüllt ist. Es seien M dieser Kugeln rot und N-M Kugeln nicht rot. Wir entnehmen n Kugeln, d.h. eine Stichrobe des Umfangs n. Dabei

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Einführung in die Statistik Dr. C.J. Luchsinger 2 Zufallsgrössen Literatur Kapitel 2 * Statistik in Cartoons: Kapitel 4 * Krengel: 3.1 und 3.2 in 3 und (Honours Program) 10 sowie 11.1, 11.2 und 11.3 in

Mehr

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind: Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel 3 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 3. Einleitung Wir hatten schon bemerkt, dass der Begriff des diskreten Wahrscheinlichkeitsraums nicht ausreicht, um das unendliche Wiederholen eines Zufallsexperiments

Mehr

Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie

Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie SS 2001 4. Sitzung vom 15.05.2001 Wahrscheinlichkeitstheorie in den Sozialwissenschaften: Stichprobenziehung: Aussagen über Stichprobenzusammensetzung

Mehr

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten.....................

Mehr

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK vom 17. Juli 01 (Dauer: 90 Minuten) Übersicht über

Mehr

STETIGE VERTEILUNGEN

STETIGE VERTEILUNGEN STETIGE VERTEILUNGEN. Die Näherungsformel von Moivre Laplace Betrachtet man die Binomialverteilungen Bnp für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen

Mehr

Angewandte Stochastik

Angewandte Stochastik Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 1 Repetition Wahrscheinlichkeitstheorie (WT) Bitte arbeiten Sie dieses Kapitel wenn notwendig vor Semesterbeginn durch. Es ist eine Zusammenfassung der aktuellsten

Mehr

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge 1 Mengensysteme Ein Mengensystem ist eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge und damit eine Teilmenge der Potenzmenge der Grundmenge. In diesem Kapitel untersuchen wir Mengensysteme, die unter bestimmten

Mehr