Übung Zeigen Sie, dass dies als Grenzwert der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit

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1 Übung Ü b u n g 2 Aufgabe Die Poissonverteilung P(λ) hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x) = λx e λ (x ) x! Zeigen Sie, dass dies als Grenzwert der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit erhalten werden kann. Binomialverteilung p = λ n, n Münzbeispiel: Bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit von Kopf mit p, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit von Zahl mit p. Ist X die Anzahl der Kopfwürfe bei n Würfen, so tritt das Ereignis X = k genau dann auf, wenn in einer Wurfsequenz ( K Z Z ) genau k-mal K auftritt und daher auch (n-k) mal Z. Die Wahrscheinlichkeit einer solchen Sequenz ist p k ( p) n k Dabei kann die Reihenfolge egal sein. Wir müssen also noch wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus n Würfen, k auszuwählen: Damit haben wir die Binomialverteilung definiert: Poissonverteilung Eine Zufallsvariable mit der Verteilung ( n k ) B n (p): P(X = k) = ( n k ) pk ( p) n k für k =,,2,, n P(X = k) = λk k! e λ heißt Poisson-verteilt mit dem Parameter λ. Ist X ~ PV(λ), dann ist: E(X) = Var(X) = λ Betrachten wir also unsere Binomialverteilung und ersetzen p mit λ. Dabei spalte ich die Verteilung in vier n Faktoren auf. B n (p) = ( n k ) (λ n ) k ( p) n k = [( n k ) n k] [λk ][( p) n ][( p) k ] Der erste Faktor konvergiert gegen k!, denn: ( n k ) n k = k! (n n n n n k + ) n Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite von

2 Übung Der zweite Faktor λ k können wir so belassen. k lim [(n n k ) n k] = k! lim j (n n n ) = k! Für den dritten Faktor müssen wir die Definition der Exponentialfunktion ansehen: Auf unser Beispiel angewandt: Der letzte Faktor konvergiert gegen, denn: Somit erhalten wir schließlich als Grenzwert: j= e x = lim n ( + x n ) n lim ( n p)n = lim ( λ n n n ) = e λ p = λ n lim λ n n = lim ( λ k n n ) = P(X = k) = λk e λ k! Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 2 von

3 Übung Aufgabe 2 Es sei x 2, F(x) = 4, x 2, {, x < x < x < 2 x 2 Definition der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen Für jedes x R ist die Verteilungsfunktion F X R [,] der Zufallsvariablen X definiert durch: a) Zeigen Sie, dass F eine Verteilungsfunktion ist. F X (x) = P(X x) Damit F eine Verteilungsfunktion ist, müssen folgende Eigenschaften gegeben sein: ) F(x) x Gilt direkt aus der Definition. 2) F ist monoton steigend Graphik 3) F ist rechtsseitig Durch die strikte Ungleichung x < und x < 2 wird bei Sprungstellen der rechtsseitige Wert verwendet. 4) lim x F(x) = Laut Definition. 5) lim x F(x) = Laut Definition. b) X sei nach F verteilt. Bestimmen Sie P(X < ), P(X ), P(X = ), P(X = ), P(X = 2). P(X < ) = F x () = 4 P(X ) = F x () = 2 P(X = ) = P(X = ) = 2 4 = (diskrete Werte!) 4 P(X = 2) = Die letzten drei Werte ergeben sich aus folgender Überlegung: Ein spezieller Wert wie muss man sich als, vorstellen. Bei nicht abzählbar vielen reellen Zahlen, besitzt jede Zahl eine verschwindend geringe Häufigkeit. Die statistische Wahrscheinlichkeit ist. Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 3 von

4 Übung Aufgabe 3 X und Y seien unabhängig poissonverteilt mit Parameter λ und μ. Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y. Definition der Unabhängigkeit X und Y heißen unabhängig, wenn für alle x R und y R die Ereignisse X x und Y y unabhängig sind. Das heißt, es muss gelten P(X = x i, Y = y j ) = P(X = x i ) P(Y = y i ) Die Formel für die Poissonverteilung lautet: Wir haben also die zwei Formeln: P(X = k) = λk e λ k! p λ (X = x) = λx e λ x! p μ (Y = y) = μ y e μ Sind zwei Zufallsvariablen unabhängig, können diese getrennt multipliziert werden: Wir führen jedoch noch eine neue Zufallsvariable ein: Und betrachten zusätzlich den Sonderfall: z x= P(X = x i, Y = y j ) = P(X = x i ) P(Y = y i ) y! Z = X + Y Y = Z X p λ (x) = p μ (x) = x < z P(Z = z) = p(x) q(z x) = λx e λ μ z x e μ x! (z x)! = e (λ+μ) λx x! μ z x (z x)! z! z! Wir wenden nun den Binomischen Lehrsatz an: P(Z = z) = e (λ+μ) z! x= n (x + y) n = ( n k ) xn k y k z k= z! x! (z x)! x= z x= λ x μ y x = e (λ+μ) (λ + μ) z z! Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 4 von

5 Übung Aufgabe 4 X und Y seien unabhängig gleichverteilt auf [,]. Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y. Die stetige Gleichverteilung im Intervall [a, b] lautet: U(a, b) = b a Die zwei Gleichverteilungen können beschrieben werden mit: a x b, x U x (x) = {, sonst, y U y (y) = {, sonst Laut Skriptum: Wenn die gemeinsame Verteilung diskret bzw. stetig ist, kann man in dieser Definition die Verteilungsfunktion durch die Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion ersetzen., x [,] f x (x) = {, sonst, y [,] f y (y) = {, sonst Satz 2.: X und Y seien unabhängig mit Dichte f X und f Y. Dann ist Dichte von X + Y die Faltung von f X und f Y. z = x + y y = z x z [,2] f X+Y (z) = f X f Y (z) = f X (x)f Y (z x) dx Wir betrachten dabei nur Werte von bis, da ansonsten f x (x) = x [,] gilt. Wenn wir jedoch nur Werte aus diesem Intervall nehmen, ergibt f x (x) immer. f X+Y (z) = f Y (z x) dx Wir haben y = z x definiert. Da y [,] gilt, folgt automatisch (z x) [,]. Wenn wir das Integral lösen wollen, müssen wir zwischen zwei Fällen unterscheiden: Fall : z [, ] z x z x Da z größer gleich x sein muss, integrieren wir in diesem Fall nur von bis z. Fall 2: z [, 2] f (X+Y) (z) = dx = z z x z x z z muss kleiner gleich x sein, wir setzen die Integrationsgrenzen von z bis. Die Dichtefunktion für X + Y lautet: f (X+Y)2 (z) = dx = (z ) = 2 z z z, x < f X+Y (z) = { 2 z, z < 2, sonst Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 5 von

6 Übung Aufgabe 5 X sei gleichverteilt auf [, ]. Bestimmen Sie die Verteilung von log X. Laut Skriptum: Wenn die gemeinsame Verteilung diskret bzw. stetig ist, kann man in dieser Definition die Verteilungsfunktion durch die Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion ersetzen. Satz 2.5 Transformationssatz für Dichten: X sei stetig verteilt mit der Dichte f X und g R n R n sei stetig differenzierbar und eindeutig umkehrbar. Y = g(x) ist dann ebenfalls stetig verteilt mit der Dichte Dabei ist f X (g (y)) δg f Y (y) = { δy (y) = f X(g (y)) δg, wenn y g(r n ) δx (g (y)), sonst die Funktionaldeterminante. δg δx = det ((δg i δx j ) n n ) Y = g(x) = log X (= ln X) Y = ln X X = e Y = g (Y) F Y (y) = P(Y y) = P( ln X y) = P(X e Y ) = e Y Nun wenden wir den Transformationssatz für Dichten an: f Y (y) = f X (g (y)) = f X (g (y))e Y δg δx (g (y)) = f X (g (y)) δg δx (e Y ) f Y (y) = { e Y, g (y), sonst = f X (g (y)) = f X (g (y)) e Y X Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite von

7 Übung Aufgabe X und Y haben eine gemeinsame Verteilung mit der Dichte c(x + y), für x, y f(x, y) = {, sonst Bestimmen Sie c und die Randdichten von X und Y. Randdichten Die Randichtefunktionen von X und Y sind definiert durch f X (x) = f XY (x, y) dy f Y (y) = f XY (x, y) dx Wir beschränken uns auf folgenden Bereich c(x+y) Gesucht ist die Variable c Die gemeinsame Dichtefunktion f XY (x, y) zweier Zufallsvariablen X, Y besitzt folgende Eigenschaften: f XY (x, y) x, y Somit berechnen wir c: f XY (x, y) dx dy = b d P({a X b, c Y d}) = f XY (x, y) dy dy a c Paare (a, b) und (c, d) c d und a b c(x + y) dx dy = = c x + y dx dy = c ( x2 2 + xy) dy = c ( 2 + y) dy = c ( y 2 + y2 2 ) = c ( ) = c Die Randdichten ergeben sich durch Einsetzen und Integrieren: f X (x) = f XY (x, y) dy = c (x + y) dy = c (xy + y2 2 ) = c (x + 2 ) = x + 2 f Y (y) = f XY (x, y) dx = c (x + y) dx = c ( x2 2 + xy) = c ( 2 + y) = y + 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 7 von

8 Übung Aufgabe 7 Ein Würfel wird dreimal geworfen. X sei die größte der drei Augenzahlen, Y die kleinste. Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y und die beiden Randverteilungen. Wenn wir dreimal Würfeln, entstehen die drei Zufallsvariablen X, Y und Z: Y Z X Die Beziehung zwischen den Zufallsvariablen kann in vier Fälle unterteilt werden:. Fall: Y = Z = X Permutation 2. Fall: Y = Z < X ( 3 2 ) = 3 Permutationen 3. Fall: Y < Z = X ( 3 2 ) = 3 Permutationen 4. Fall: Y < Z < X 3! = Permutationen Bestimmen wir nun die Wahrscheinlichkeit für X: X Fall Fall 2 Fall 3 Fall 4 Summe = = 9 Gesamt Somit erhalten wir die Wahrscheinlichkeit:, x = 9, y = 7, x = 2, y = 2 9 P(x) =, x = 3 37 P(y) = P(x) ==, y = 3 37, x = 4 9, y = 4, x = 5 7, y = 5 9 {, x = {, y = Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite von

9 Übung Für die Randverteilung verwenden wir die Treppenfunktion: F X (x) =, x <, x < 2, x < 3 27, x < 4 4, x < 5 25, x < {, x 7 F Y (y) = Die Wahrscheinlichkeitstafel bzw. Kontingenztafel hat folgende Form:, y < 9, y < 2 52, y < 3 9, y < 4 2, y < 5 25, y < {, y 7 x\y Σ Σ Erklärung für das grau hinterlegte Feld: Die Reihenfolge lautet: X = 5; Y = 3 Y Z X ( 3 2 ) = 3 Möglichkeiten 345 3! = Möglichkeiten 355 ( 3 2 ) = 3 Möglichkeiten Ergibt insgesamt 2 Möglichkeiten. Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 9 von

10 Übung Die Verteilungsfunktion als Tabelle abgebildet, ergibt: y x Erklärung für das grau hinterlegte Feld: X < 4, Y < 3 Es wird die Summe über die fett umrandeten Felder in der Wahrscheinlichkeitstafel gebildet. X = {,2,3}; Y = {,2} Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite von

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