Die Varianz (Streuung) Definition

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1 Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ 2, σx, 2 σ, σ X. Sei µ = EX. 116 / 198

2 Die Stetige und diskrete Diskrete Stetige Wenn X diskret, so gilt: var(x) = Wenn X stetig, so gilt: var(x) = (x i µ) 2 p i i=0 wobei f die Dichte von X ist. (x µ) 2 f(x) dx, var(x): mittlere quadratische Abweichung von X und EX. 117 / 198

3 Die Eigenschaften der var(x) = E(X EX) 2 = E(X µ) 2 = = E(X 2 2µX + µ 2 ) = = EX 2 µ 2. Diskrete Stetige 118 / 198

4 Die Eigenschaften der Diskrete Stetige var(x) = E(X EX) 2 = E(X µ) 2 = = E(X 2 2µX + µ 2 ) = = EX 2 µ 2. var(ax + b) = a 2 var(x), a, b R. 118 / 198

5 Die Eigenschaften der Diskrete Stetige var(x) = E(X EX) 2 = E(X µ) 2 = = E(X 2 2µX + µ 2 ) = = EX 2 µ 2. var(ax + b) = a 2 var(x), a, b R. var(x) = 0 c : P(X = c) = / 198

6 Die Unabhängigkeit von Diskrete Stetige Zwei X und Y heißen unabhängig, falls für alle x, y R. P(X x, Y y) = P(X x) P(Y y) 119 / 198

7 Die Unabhängigkeit von Diskrete Stetige Zwei X und Y heißen unabhängig, falls für alle x, y R. P(X x, Y y) = P(X x) P(Y y) Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, falls P(A, B) = P(A) P(B) X und Y sind also unabhängig gdw. die Ereignisse X x und Y y unabhängig sind für alle x, y R. 119 / 198

8 Die Unabhängigkeit von Diskrete Stetige Zwei X und Y heißen unabhängig, falls für alle x, y R. P(X x, Y y) = P(X x) P(Y y) Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, falls P(A, B) = P(A) P(B) X und Y sind also unabhängig gdw. die Ereignisse X x und Y y unabhängig sind für alle x, y R. Seien X und Y unabhängig. Dann gilt var(x + Y) = var(x) + var(y). 119 / 198

9 Die Poisson-Verteilung Diskrete Stetige P(X = i) = λi i! e λ, i = 0, 1, 2,... var(x) = E(X EX) 2 = = (i λ) 2 p i i=0 i (i 1)p i + i=2 2λ ip i + λ 2 i=0 = e λ λ 2 i=2 ip i i=0 p i i=0 λ i 2 (i 2)! + λ 2λ2 + λ 2 = λ. 120 / 198

10 Die Binomialverteilung, X B(n, p) Diskrete Stetige P(X = k) = (ohne Beweis, ÜA) ( ) n p k (1 p) n k k var(x) = np(1 p). 121 / 198

11 Die Gleichverteilung auf (a, b) f(x) = { 1 b a x (a, b) 0 sonst. EX = a + b 2. Diskrete Stetige 122 / 198

12 Die Gleichverteilung auf (a, b) f(x) = { 1 b a x (a, b) 0 sonst. b EX = a + b 2. EX 2 = x 2 1 a b a dx = 1 3 x3 b a 1 b a = b3 a 3 3(b a) = a2 + ab + b 2. 3 Diskrete Stetige 122 / 198

13 Die Gleichverteilung auf (a, b) Diskrete Stetige f(x) = { 1 b a x (a, b) 0 sonst. b EX = a + b 2. EX 2 = x 2 1 a b a dx = 1 3 x3 b a 1 b a = b3 a 3 3(b a) = a2 + ab + b 2. 3 var(x) = EX 2 (EX) 2 = 1 12 (4a2 + 4ab + 4b 2 3a 2 6ab 3b 2 ) = 1 (a 2 2ab + b 2 ) = (b a) / 198

14 Die Exponentialverteilung Diskrete Stetige f(x) = EX = λ. EX 2 = 0 var(x) = λ 2. { 1 λ e x λ falls x 0, 0 sonst. x 2 1 λ e x λ dx = 2 λ 2 (ÜA). 123 / 198

15 Die Normalverteilung var(x) = σ 2 f(x) = 1 e 1 2 ( x µ 2πσ σ )2 dx Diskrete Stetige E(X µ) 2 = = σ 2 (x µ) 2 1 2πσ e 1 2 ( x µ σ )2 dx t 2 1 2π e t2 2 dt = σ 2 1 ( t)( t e t2 2 ) dt 2π = σ2 ( te t 2 /2 ) ( 1)e t2 2 2π dt = σ2 2π e t2 2 dt = σ / 198

16 Normalverteilung Besondere Eigenschaften Diskrete Stetige (schwaches) Gesetz der Großen Zahlen Seien X i unabhängig, identisch verteilt, EX i = µ X n = 1 n n X i p EX i=1 Zentraler Grenzwertsatz Seien X i unabhängig, identisch verteilt, EX i = µ, varx i = σ 2. Z n := n X n µ σ Descr_Binomial_2.sas Z, Z N(0, 1). Descr_Exp.sas 126 / 198

17 Normalverteilung Fehlertheorie Diskrete Stetige Fehler sind unter folgenden Annahmen (asymptotisch) normalverteilt: Jeder Fehler ist Summe einer sehr großen Anzahl sehr kleiner, gleich großer Fehler, die verschiedene Ursachen haben. Die verschiedenen Fehlerkomponenten sind unabhängig. Jede Fehlerkomponente ist mit Wkt. 0.5 positiv und mit Wkt. 0.5 negativ. 127 / 198

18 Normalverteilung Maximale Entropie Diskrete Stetige bei gegebenen Mittelwert µ und σ 2. f : Wkt.dichte auf (, ). xf(x) dx = µ, (x µ) 2 f(x) dx = σ 2 Entropie: H(f) := f(x) log f(x) dx ist zu maximieren unter den obigen Bedingungen. = f =Normaldichte. Literatur: Rao: Lineare Statistische Methoden, 3.a / 198

19 Normalverteilung Die Summe normalverteilter Diskrete Stetige Die Summe normalverteilter ist normalverteilt. Seien X 1 N(µ 1, σ1 2) X 2 N(µ 2, σ2 2 ). Dann X 1 + X 2 N(µ 1 + µ 2, σ σ ρσ 1σ 2 ). (ρ: Korrelationskoeffizient zwischen X 1 und X 2, s.u.) Beweis: über charakteristische Funktionen (Fouriertransformationen der Dichte) oder über die Faltungsformel (Stochastik-Vorlesung). 129 / 198