K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 10. Übung SS 18: Woche vom

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1 Übungsaufgaben 10. Übung SS 18: Woche vom Stochastik IV: ZG (diskret + stetig); Momente von ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow vanselow/... (SS18).html Auch(dort): Aktuelle Hinweise zu Übungszusammenlegungen/ Raumveränderungen

2 Wdhlg.: Eigenschaften einer Verteilungsfkt. Satz 13.1: Eine Verteilungsfunktion F (x) = P {X < x} hat folgende Eigenschaften: a) F (x) ist monoton nichtfallend, b) lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1, c) F (x) ist linksseitig stetig. Jede Funktion mit diesen Eigenschaften ist Verteilungsfunktion einer gewissen Zufallsgröße. Konsequenz aus der Definition bzw. dem Satz: P {x 1 X < x 2 } = F (x 2 ) F (x 1 ) möglich: P { X x 2 } = F (x 2 ) + P {X =x 2 } > F (x 2 )

3 Wdhlg.: Diskrete Zufallsgrößen Def.13.12: Eine Zufallsgröße X, die nur endlich oder abzählbar viele Werte x 1, x 2,... annehmen kann, nennt man diskrete Zufallsgröße; dabei wird vorausgesetzt, dass P {X = x k } = p k > 0 für k = 1, 2,... ist. Für die Verteilungsfunktion ergibt sich unmittelbar F (x) = P {X < x} = ( ) p k = 1 k:x k <x Wichtige diskrete Verteilungen ( praktisch relevant ): Binomialvertlg. (endlich) p n (m) = P n {X = m} = ( ) n m p m (1 p) n m Poisson-Vertlg. (abzählbar) p k k=1 p k = P {X = k} = λk k! e λ

4 Die Poisson-Verteilung Sei X t - Anzahl von Ereignissen im (Zeit-)Intervall der Länge t. Eine ZG ist Poisson-verteilt bei Homogenität der Zuwächse: λ - mittl. Anz. im Intervall [0, 1]; Unabhängigkeit der Zuwächse; P (X Ordinarität: lim t >1) P (X t 0 t = 0 (lim t =1) t 0 t = λ). Dann P (X t = k) = ( λt) k e λt, k = 0, 1,... P (X t = k) = 1 k! k=0 Eine Poisson-verteilte ZV X(= X t ) ist vollständig charakterisiert durch den Parameter λ = λt.

5 Die hypergeometrische Verteilung Grundgesamtheit: N Elemente, davon M Elemente markiert. Auswahl von n(< N) Elementen ( Stichprobe ) - ZG X: Anzahl der markierten Elemente Wertemenge: {0, 1,.., n}. Das ist eine diskrete ( endliche ) ZG P (X n = k) = ( M )( N M ) k n k ( N n) ( = günstige ) mögliche Für sehr kleine Stichproben ( Faustregel : n < N 20 ): Approximation durch die Binomialverteilung möglich (dabei Wahl von p := M N ). ( Zahlenlotto-Verteilung )

6 Def.13.13: Die diskrete Zufallsgröße X nehme die Werte x k mit den positiven Wahrscheinlichkeiten p k (k = 1, 2,... ) an; die Reihe k=1 p k x k sei konvergent. Dann heißt E(X) = p k x k = µ X Erwartungswert von X. k=1 Def.13.14: X sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen Werten x 1, x 2,..., den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2,... und dem Erwartungswert E(X). Ist die Reihe σ 2 X = p k [x k E(X)] 2 k=1 konvergent, so nennt man ihren Wert σ 2 X auch Dispersion D2 (X), Varianz V ar(x) oder Streuung von X. Die Wurzel σ X = D 2 (X) > 0 aus der Dispersion heißt Standardabweichung von X.

7 Weitere Momente von diskreten ZG Sei die Reihe k=1 p k x k n konvergent für n N. Dann heißt E(X n ) = m n = p k x n k, das n-te Moment, und µ n = k=1 p k [x k E(X)] n, das zentrale n-te Moment k=1 der ZG X. Speziell: m 1 = E(X), E(X 2 ) = m 2, D 2 (X) = µ 2. Binomialvertlg.: E(x) = np, D 2 (X) = np(1 p), Hypergeom. Vertlg.: E(x) = n M N, D2 (X) = n M N (1 M N ) N 1 N n, Poissonvertlg.: E(x) = λ, D 2 (X) = λ Es gilt für beliebige ZG: D 2 (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 (!).

8 Stetige Zufallsgrößen Def : Eine Zufallsgröße X : E R, deren Vert.-fkt. F (x) sich für alle x mittels einer Funktion f(x) 0 in der Form F (x)= x f(ξ)dξ darstellen lässt, heißt stetige Zufallsgröße. f(x) nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte von X. Wichtige stetige Verteilg.: Normalverteilung (!!), Gleichvert., Exponentialverteilung (=Lebensdauerverteilung) 0 x < 0 Weibullvertlg.: f(x) = bpx p 1 e bxp x 0, p > 0, b > 0 Weitere Verteilungen (s. Statistik): Fisher-Vertlg., χ 2 -Vertlg.

9 Normalverteilung (Gaußvertlg.) Standardisierte Normalverteilung N(0, 1) φ(x) = f(x; 0, 1) = 1 z e x2 2 Φ(z) = 2π φ(x)dx Zentrale Aussage (für Anwendung): Falls die ZG X N(µ, σ 2 ), so besitzt die ZG Z := X µ σ eine N(0, 1)-Verteilung (Z N(0, 1)) Beispiel: Der Innenringdurchmesser D von Kugellagern sei normalverteilt mit µ = 12.2mm, σ 2 = mm 2 (D N(12.2, )). Ein Innenring ist paßfähig, wenn D [12.1mm, 12.4mm]. Wie groß ist in einem Posten von 1000 Stück der (mittlere) Anteil paßfähiger Ringe?

10 Definition (Erwartungswert, Momente von stet. ZG) X sei eine stetige Zufallsgröße mit Dichte f(x), für die ξ k f(ξ) dξ konvergiert (k = 1, 2,... ). Dann nennt man E(X) = m k = µ k = ξf(ξ)dξ den Erwartungswert (Mittelwert) von X, ξ k f(ξ) dξ das k-te Moment von X und (ξ EX) k f(ξ) dξ das zentrale k-te Moment von X Speziell: E(X) = m 1, D 2 (X) = µ 2, Stand.-abw.: σ X = D 2 X. Weitere Lageparameter: Ein Wert x = x p heißt p-quantil, falls F (x p ) = p = P (X < x p ) = xp f(ξ)dξ, 0.5 Quantil: Median Weitere Größen: Schiefe γ 3 = µ 3 σ 3, Exzeß γ 4 = µ 4 σ 4 3