Referenten: Gina Spieler, Beatrice Bressau, Laura Uhlmann Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn

Transkript

1 8.5 Eindimensionale stetige Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable X heißt stetig, wenn es eine Funktion f(x) gibt, sodass die Verteilungsfunktion von X folgende Gestalt hat: x F(x) = f(t)dt f(x) heißt Dichtefunktion für jedes x R Dichtefunktion: f(x) = { p i, falls x = x i 0, sonst 1, für 0 x 10 für Bsp.: f(x) = { 10 0, sonst Platz für Bemerkungen: Beispiel 1: Wartezeit auf einen Bus Ein Student geht zur Bushaltestelle und weiß, dass der Bus alle 10 Minuten abfährt, hat aber den Fahrplan nicht im Kopf. Da er die genaue Ankunft nicht kennt, sieht er die Zeit X, die er warten muss, als Zufallsvariable an. Dabei weiß er erstens sicher, dass er höchstens 10 Minuten zu warten hat, d.h. P(X 10)=1; zum Zweiten drückt er die bestehende Ungewissheit dadurch aus, dass er die Wahrscheinlichkeit, höchstens noch x Minuten warten zu müssen, für jedes x zwischen 0 und 10 proportional zu x ansetzt, d.h., es gilt P(X x)=k*x für alle x ϵ [0I10]. Aus beidem ergibt sich: Verteilungsfunktion: F(x) = 1 x für 0 x 10 10

2 Eigenschaften der Dichtefunktion: 1. f(x) 0 für alle x R Beispiel 2: Öltankfüllung + 2. f(x)dx = 1 3. P(X = x) = 0 für alle x R P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b) = b a f(x)dx. Eigenschaften der Verteilungsfunktion: 1. F(x) ist eine stetige Funktion x 2. F(x) = f(t)dt für jedes x R 3. F (x) = f(x)

3 8.6. Wichtige stetige Verteilungen Gleichverteilung Sind a, b reelle Zahlen mit a < b, so heißt eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion 1 f(x) = {, für a x b b a 0, sonst. Beispiel 3: Wartezeit Bei einer innerbetrieblichen Werkzeugausgabe gelte für die Zufallsvariable X =Zeitlücke zwischen dem Eintreffen zweier Mechaniker die Bedingung (1). Ferner sei die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Minute ein Mechaniker eintreffen wird, gleich 0,5. Wie ist X verteilt? Gleichverteilt im Intervall [a;b]. Für ihre Verteilungsfunktion ergibt sich die Gestalt: Exponentialverteilung 0, für x < a x a F(x) = {, für a x b b a 1, für x > b. Eine Zufallsvariable X mit der Dichte f(x) = { λ e λ x für x 0 0 sonst und λ > 0 heißt exponentialverteilt. Parameter bestimmt Startpunkt auf der f(x)-achse (1) Besonderheit Verteilung ohne Gedächtnis: bedingte Verteilung der weiteren Lebensdauer unabhängig von den bereits Erreichten

4 8.6.3 Normalverteilung Gauß-Verteilung, Gaußsche Glockenkurve Eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f(x) = 1 2π 1 e 2 (x μ )2 heißt normalverteilt oder N (μ ; )-verteilt, wobei und > 0. Bei = 1 und μ = 0 erhält man Standardnormalverteilung N(0; 1). Eigenschaften der Normalverteilung: 1. Dichte f der N (μ ; )- Verteilung symmetrisch zu μ, es gilt: f (μ x) = f (μ + x) für alle x ε R. 2. globales Maximum im Punkt x= μ (Erwartungswert) 3. Wendepunkt in μ und μ + μ = Lageparameter, = Streuungsparameter Beispiel 4: Körperlänge von Mäusen und jungen Kätzchen Es gilt: Ist die Zufallsvariable X gemäß N(μ ;) verteilt, so ist die standardisierte Zufallsvariable Y = X µ gemäß N (0; 1) verteilt. Die Verteilungsfunktion F der N (μ ; )- verteilten Zufallsvariablen X kann folgendermaßen durch die Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung ausgedrückt werden: F (x) = P (X x) = P ( X μ x μ x μ ) = P (Y ) = Φ (x μ). - durch die Symmetrie der Normalverteilung können die Verteilungsfunktionswerte für negative x entnommen werden: Φ ( x) = P (Y x) = P (Y x) = 1 P(Y x) = 1 Φ (x). zwei wichtige Formeln für die Auswertung normalverteilter Zufallsvariablen: x μ F(x) = Φ ( ) undφ ( x) = 1 Φ (x)

5 Beispiel 5: PERT-Verfahren Das PERT-Verfahren für die Zeitplanung von Projekten liefert typischerweise ein Ergebnis der Form: Die Projektdauer ist normalverteilt mit μ = 39 (Wochen) und =2 (Wochen). Wir wollen versuchen, auf Grund dieses Ergebnisses folgende zwei Fragen zu beantworten: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Projektdauer zwischen 37 und 41 Wochen liegen wird? b) Der Solltermin von 45 Wochen sei besonders wichtig und durch Konventionalstrafen vertraglich abgesichert. Andererseits seien aber auch die Anpassungsmaßnahmen zur Gewährleistung dieses Solltermins so kostspielig, dass sie nur dann prophylaktisch ergriffen werden sollen, wenn die Wahrscheinlichkeit größer als 5% ist, dass der Solltermin überzogen wird. Kann auf diese Anpassungsmaßnahmen verzichtet werden? Die Messung von μ in Vielfachen von ergeben die Intervalle des Typs [μ k; μ + k], welche als k-bereiche der normalverteilten Zufallsvariablen X bezeichnet werden. Für k= 1,2,3 bedeutet dies: 0,683 für k = 1 P (μ k X μ + k) = 2Φ 1 = { 0,954 für k = für k = 3 Die Normalverteilungseigenschaften bleiben auch für gewisse Funktionen erhalten. - z.b.: bei Gleichungen der Form Y=a+bx (b 0) bei Summen normalverteilter Zufallsvariablen (X 1 +X 2 + +X n) Reproduktionseigenschaft bzgl. der Bildung von Linearkombinationen

6 Zusammenfassung diskrete Zufallsgröße Bsp.: stetige Zufallsgröße Bsp.: Zufallsvariable X nimmt endlich oder abzählbare unendlich viele Realisierungen an Zufallsvariable X, die alle Werte aus R innerhalb eines Intervalls annehmen kann 1. Funktion X ordnet Elementarereignissen alle möglichen Realisierungen in Form einer Zahl aus R zu. 2. Wahrscheinlichkeitsfunktion P ordnet jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zu Die Dichte beschreibt nun für jedes mögliche Ergebnis x dessen Wahrscheinlichkeit. Sie wird mathematisch mit P(X=x) dargestellt und mit f(x) abgekürzt. Massenfunktion f(x) Zufallsvariable: Augensumme X beim zweimaligen Würfeln Dichtefunktion f(x) Zufallsvariable: Anteil X einer Öltankfüllung, die bis Ende der Planungsperiode verbraucht sein wird f(x) = 6x 6x 2 Wahrscheinlichkeiten werden durch die Fläche unter dem Graphen berechnet. A Rechteck = a b Eigenschaften f(x) p(x i ) = 1 i=1 Wahrscheinlichkeit eines genauen Ergebnisses f(x)=0, da es unendlich viele mögliche Werte gibt. nur mit Intervallen rechnen Eigenschaften f(x) + f(x)dx = 1 f(x) 0 für alle xεr

7 Verteilungsfunktion F(x) F(x) = 3x 2 2x 3 P(6 X 7) = P(0,5 X 1) = wichtige diskrete Verteilungen: Binomialverteilung, hypergeometrische Verteilung, Poisson-Verteilung wichtige stetige Verteilungen: Gleichverteilung, Exponentialverteilung, Normalverteilung Ausblick: 8.7 Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen Die gemeinsame Verteilungsfunktion Ist (X 1,,X n) eine n-dimensionale Zufallsvariable, so heißt die Funktion F, die jedem n- Tupel (x 1 x n) die Wahrscheinlichkeit : F(x 1 x n)= P (X1 x1,, Xn xn) zuordnet, die die Verteilungsfunktion von (X 1 X n ) oder die gemeinsame Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X 1 X n.