Vorlesung 7b. Unabhängigkeit bei Dichten. und die mehrdimensionale Standardnormalverteilung

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Arnim Graf
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1 Vorlesung 7b Unabhängigkeit bei Dichten und die mehrdimensionale Standardnormalverteilung

2 0. Wiederholung: Die Normalverteilung

3 Dichtefunktion ϕ der Standardnormalverteilung ϕ(x) x

4 ϕ(x) Die Gaußsche Glocke x

5 Die Standardnormalverteilung Dichtefunktion: ϕ(x) := 1 2π e x2 /2 Verteilungsfunktion: Φ(b) := 1 2π b e x2 /2 dx Z standard-normalverteilt : P( Z b ) = Φ(b)

6 Für standard-normalverteiltes Z gilt: EZ = 0 σ Z = 1 Allgemeine normalverteilte Zufallsvariable entstehen so: N = µ+σz Für sie gilt: EN = µ σ N = σ

7 Für standard-normalverteiltes Z gilt: EZ = 0 σ Z = 1 Allgemeine normalverteilte Zufallsvariable entstehen so: N = µ+σz Für sie gilt: EN = µ σ N = σ

8 Dichtefunktion ϕ der Standard-Normalverteilung ϕ(x) x

9 ϕ(x) P( Z < 1) x

10 ϕ(x) Φ(1) Φ( 1) x

11 ϕ(x) P( Z < 2 ) x

12 Und für allgemeine normalverteilte Zufallsgrößen N? ϕ(x) x

13 ϕ(x) Dasselbe in grün x

14 P( N EN < σ N ) 0.68 ϕ(z) z = (x EN)/σ N

15 P( N EN < 2σ N ) 0.95 ϕ(z) z = (x EN)/σ N

16 yy P( N EN < σ N ) µ σ µ µ+σ x

17 yy P( N EN < 2σ N ) µ 2σ µ µ+2σ x

18 Approximation der Gewichte der Binomialverteilung durch die Dichtefunktion der Normalverteilung für große µ := np und σ := npq : Sei X Binomial(n,p)-verteilt. Dann gilt (siehe VL 7a): P(X = k) 1 ( ) k µ σ ϕ σ = ϕ µ,σ 2(k) k+ 1 2 k 1 2 ϕ µ,σ 2(a)da P(X b) ϕ µ,σ 2(a)da = P(N b 1 2 ), b N 0, b 1 2 AAAAAAAAAAAAAAAAAfür eine N(µ,σ 2 )-verteilte ZV e N.

19 1. Unabhängigkeit von Zufallsvariablen mit Dichten

20 Für diskrete Zufallsvariable war die Unabhängigkeit von X 1 und X 2 äquivalent zur Produktform der gemeinsamen Gewichte: ρ(a 1,a 2 ) = ρ 1 (a 1 )ρ 2 (a 2 ). Für Zufallsvariable mit Dichten ist die Unabhängigkeit von X 1 und X 2 äquivalent zur Produktform der gemeinsamen Dichte: f(a 1,a 2 )da 1 da 2 = f 1 (a 1 )da 1 f 2 (a 2 )da 2

21 Allgemeiner gilt der Satz über die Unabhängigkeit von Zv en mit Dichten X 1,...,X n seien reellwertige Zufallsvariable, f 1,...,f n seien Dichtefunktionen. Dann sind äquivalent: (i) X 1,...,X n sind unabhängig, und X i hat die Dichte f i (a i )da i, i = 1,...,n. (ii) (X 1,...,X n ) hat die Dichte f 1 (a 1 ) f n (a n )da 1...da n

22 2. Die uniforme Verteilung auf dem Einheitsquadrat

23 X 1, X 2 seien unabhängig und uniform verteilt auf [0,1]. Dann hat (X 1,X 2 ) die Dichte 1 [0,1] (a 1 )da 1 1 [0,1] (a 2 )da 2 = 1 [0,1] [0,1] (a 1,a 2 ) da 1 da 2, und ist somit uniform verteilt auf [0,1] [0,1].

24 3. Die Standardnormalverteilung auf R 2 (vgl. Buch S. 71) Zur Erinnerung: Eine R-wertige Zufallsvariable Z mit Dichte ϕ(a)da := 1 2π e a2 /2 da heißt standard-normalverteilt (auf R 1 ).

25 Wichtige Beobachtung: Z 1, Z 2 seien standard-normalverteilt und unabhängig. (Z 1,Z 2 ) hat dann die Dichte ϕ(a 1 )da 1 ϕ(a 2 )da 2 = 1 2π e a2 1 /2 1 2π e a2 2 /2 da 1 da 2 = 1 2π e a 2 /2 da, a = (a1,a 2 ) R 2. Die Dichte ist rotationssymmetrtisch!

26 f(a 1,a 2 ) = 1 2π e (a2 1 +a2 2 )/2 a 1 a 2

27 Definition: Eine R 2 -wertige Zufallsvariable Z mit Dichte f(a)da = 1 2π e a 2 /2 da, a R 2, heißt standard-normalverteilt auf R 2.

28 4. Eine Folgerung aus der Rotationssymmetrie (vgl Buch S. 71)

29 Fassen wir das zufällige Zahlenpaar Z = (Z 1,Z 2 ) auf als die (Standard-)Koordinaten eines zufälligen Vektors Z in R 2, dann folgt aus der Rotationssymmetrie der Verteilung von Z: Für jeden Einheitsvektor u R 2 ist die u-koordinate von Z standard-normalverteilt in R.

30 Anders gesagt: Sind Z 1,Z 2 unabhängig und N(0,1)-verteilt, dann gilt für jedes Zahlenpaar (τ 1,τ 2 ) mit τ 2 1 +τ2 2 = 1: Y := τ 1 Z 1 +τ 2 Z 2 ist N(0,1)-verteilt. ( Denn Y ist die Koordinate von Z = Z 1 e 1 +Z 2 e 2 zum Einheitsvektor u := τ 1 e 1 +τ 2 e 2.) Insbesondere ergibt sich: Z 1 +Z 2 2 ist N(0,1)-verteilt.

31 Eine wichtige Folgerung hieraus: Die Summe von unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt. Denn: (σ 1 Z 1 +µ 1 )+(σ 2 Z 2 +µ 2 ) = (σ 1 Z 1 +σ 2 Z 2 )+(µ 1 +µ 2 ), σ 1 Z 1 +σ 2 Z 2 = σ 2 1 +σ2 2 und σ 1 σ 2 1 +σ 2 2Z 1 + σ 2 σ 2 1 +σ 2 2Z 2 ist N(0,σ 2 1 +σ2 2 )-verteilt.

32 5. Die Standardnormalverteilung auf R n (vgl. Buch S. 71)

33 In Abschnitt 1 der heutigen Vorlesung formulierten wir den Satz über die Unabhängigkeit von Zv en mit Dichten X 1,...,X n seien reellwertige Zufallsvariable, f 1,...,f n seien Dichtefunktionen. Dann sind äquivalent: (i) X 1,...,X n sind unabhängig, und X i hat die Dichte f i (a i )da i, i = 1,...,n. (ii) (X 1,...,X n ) hat die Dichte f 1 (a 1 ) f n (a n )da 1...da n

34 Dazu passt die folgende Situation: Sei Z := (Z 1,...,Z n ). Dann gilt: Z 1,...,Z n sind unabhängig und N(0,1)-verteilt P(Z da) = 1 (2π) n/2 exp ( mit a 2 := a a2 n. a 2 ) da, a R n, 2 Z heißt dann standard-normalverteilt auf R n.

35 Die Dichte der Standard-Normalverteilung auf R n ist rotationssymmetrisch. Analog zum Fall n = 2 gilt deshalb: Ist Z = (Z 1,...,Z n ) standard-normalverteilt auf R n und sind τ 1,...,τ n reelle Zahlen mit τ τ2 n = 1, dann ist Y := τ 1 Z 1 + +τ n Z n N(0,1)-verteilt. ( Denn Y ist die Koordinate von Z = Z 1 e 1 + +Z n e n zum Einheitsvektor u := τ 1 e 1 + +τ n e n.) Insbesondere ergibt sich: Z 1 + +Z n n ist N(0,1)-verteilt.

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