Zeit zum Kochen [in min] [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50,60[ [60, 100] Hi

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1 1. Susi und Fritzi bereiten ein Faschingsfest vor, dazu gehört natürlich ein Faschingsmenü. Ideen haben sie genug, aber sie möchten nicht zu viel Zeit fürs Kochen aufwenden. In einer Zeitschrift fanden Sie folgende Statistik darüber, wie lange im Alltag der Kochlöffel geschwungen wird: Zeit zum Kochen [in min] [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50,60[ [60, 100] Hi a) Stellen Sie die Daten in einem geeigneten Diagramm grafisch dar. b) Zeichnen Sie die geeignete Verteilungsfunktion. Markieren Sie in dieser Zeichnung den Median. c) Berechnen Sie den Median genau! d) Ermitteln Sie, soweit möglich, den Mittelwert! a. Histogramm; Vorsicht: Klassenbreite der letzten Klasse viermal größer als die anderen! b. Approximierende VF c. Median = d. Genäherter Mittelwert = 45.45

2 2. Ein Faschingsfest ohne Krapfen ist natürlich unvorstellbar. Als Entscheidungshilfe, bei welchem Bäcker sie einkaufen sollen, ziehen sie eine in einer aktuellen Tageszeitung veröffentlichte Auflistung zu Rate. Geschmack und Aussehen ist ihnen gleichgültig, wichtig ist nur der Preis. a. Der billigste Krapfen kostet 55 Cent, der teuerste 1,20. Um wie viel Prozent ist der billigste Krapfen billiger als der teuerste? b. Die beiden kaufen 7 Schachteln mit jeweils 5 Krapfen. In jeder Packung ist aber genau ein Krapfen ohne Marmelade. Fritzi kostet sofort von jeder Packung einen Krapfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau drei ohne Marmelade erwischt? c1. Welchen statistischen Test müssen die Beiden durchführen, wenn sie unter Verwendung einer einfachen Stichprobe vom Umfang n = 600 zeigen möchten, dass der Anteil der Personen, denen die Marmelade das wichtigste Kaufkriterium ist, über 70% liegt? c2. Führen Sie den geeigneten approximativen Test zum Testniveau α = 0.01 durch, wenn von den 600 befragten Personen 450 angaben, dass die Marmelade das wichtigste Kaufkriterium ist! a. Um Prozent b. Binomialverteilung B(7; 0.2) P(X=3) = c1. Binomialtest. H1: p > 0.7 Geschätzter Anteilswert = 0.75 c2. Gausstest; H1: µ > 0.7 mit σ 0 = = t 0 = 600 = 2.67 u 0.99 = Gegenhypothese ist signifikant

3 3.a. Für ein perfektes Faschingsfest, braucht man natürlich auch Getränke. So machen sich Susi und Fritzi auf dem Weg zu einer örtlichen Brauerei. Die Brauerein füllen bekanntlich Bier in 0.5 Liter Flaschen ab. Das Füllvolumen sei normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 0.53 Liter und der Standardabweichung σ = 0.03 Liter. a1) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine abgefüllte Flaschen weniger als den angegebenen Inhalt aufweist. a2) Wie viel Prozent der Flaschen haben ein Füllvolumen von genau 0.5 Liter? a3) Bestimmen Sie den Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle 0.55 und interpretieren Sie diesen! 3.b. Das Gewicht F einer vollen Bierflasche werde als normalverteilte Größe betrachtet, wobei das mittlere Gewicht µ F = 820 g bei einer Standardabweichung von σ F = 10 g betrage. Das Gewicht K einer leeren Kiste ist ebenfalls normalverteilt mit µ K = 1.7 kg und σ K = 0.2 kg. Eine Kiste Bier enthält 20 Flaschen. b1) Bestimmen Sie die Verteilung des Gewichtes der vollen Bierkiste, Unabhängigkeit vorausgesetzt! b2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wiegt eine volle Bierkiste zwischen 18 kg und 18.5 kg? a1) P(X< 0.5) = a2) P(X= 0.5) = a3) P(X 0.5) = Φ b1) Erwartungswert = 20* Varianz = Summe aller Varianzen = Y ist verteilt N(18100; ) b2) P(Y in 18000, 18500) = Φ ( 1.95) Φ( 0.49) =

4 4. Endlich hat das Faschingsfest begonnen und die Gäste sind begeistert vom Menü, obwohl sie sich über ihre Gewichtszunahmen über die Weihnachtsfeiertage beklagten. 10 Gäste waren bereit, ihr Gewicht (in kg) vor Weihnachten (x) und nach Weihnachten (y) anzugeben. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: Person x y Testen Sie ohne Annahme von Normalverteilungen zum Niveau α = 0.1. a1. Führten die Weihnachtsfeiertage zu einer signifikanten Gewichtsveränderung? a2. Führten die Weihnachtsfeiertage zu einer signifikanten Gewichtszunahme? b. Kann die Hypothese: Nach den Weihnachtsfeiertagen wiegt man mindestens 1.5 kg mehr als vor den Feiertagen aufrechterhalten werden? Vorzeichenrangtest Person x y Differenzen Rang ,5 2,5 1 Rangsummeplus = 52.5 E(T) = 10*11/4 = 27.5 Var(T) = 10*11*21 / 24 = t 0 = = a. a1. zweiseitig: u 0.95 = JA a2. einseitig: u 0.9 = JA b. H0: LY > LX Person x y Differenzen Rang Rangsummeplus = t 0 = = Als H1 signifikant, als H0 aufrecht!!

5 Zu diesem Faschingfest erschienen alle Gäste in einer Verkleidung zum Thema EURO Aufgrund der originellen Kostüme überlegen die beiden eine Teilnahme beim diesjährigen Faschingsumzug. Sie sind aber der Meinung, dass jedes Jahr immer mehr Gruppen am Umzug teilnehmen und sie somit kaum mehr beachtet werden. Wenn Sie die Hypothese: Es gibt keine jährliche Zunahme der Teilnehmer aufrechterhalten können, steht einer Anmeldung zum Faschingsumzug nichts mehr im Wege. Die Anzahl der teilnehmenden Gruppe der letzten 8 Jahre ist in der folgenden Tabelle zusammengefasst: Jahr Teilnehmer a) Berechnen und interpretieren Sie den Korrelationskoeffizienten und die Steigung der Regressionsgerade, soweit das möglich ist! b) Zu welchem Ergebnis führt ein Test der (Gegen)hypothese Die Steigung der Regressionsgerade ist positiv? Werden die beiden am Umzug teilnehmen? c) Ist das Ergebnis dieses Tests bei den vorliegenden Daten unterschiedlich, wenn Sie zu verschiedenen Niveaus testen? Jahre mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7: 8 Jahr Teilnehmer mittel 2003,5 4,5 56,75 var n 5,25 5,25 43,937 stabw n 2, , , kovar -1,125-1,125 korrel -0, ,07407 a 486,07 57,714 Steigung b -0,2143-0,2143 Korrelation nahe null, Regressionsgerade sinnlos Da aber sowohl korr als auch b negativ sind, kann der Test nur zum Beibehalten der H0: Steigung ist nichtpositiv führen. Sie werden teilnehmen! Änderung des Testniveaus hat keinerlei Einfluss!

6 6. Bei der ausgelassenen Faschingsparty wird natürlich einiges getrunken: Vier Getränke standen als Einstiegsdrink zur Wahl: Bier, Wein, Prosecco und natürlich für die Autofahrer Mineralwasser. Von 300 männlichen Besuchern waren 138 Biertrinker, 120 wählten Wein und nur 22 tranken Mineralwasser. 36 Prozent der Mädels entschieden sich für Prosecco, nur 12 Prozent für Bier, 30 Prozent für Wein. Insgesamt waren 400 Leute da. a. Erstellen Sie eine (Kontingenz)Tabelle um die Wahl des Getränkes je nach Geschlecht darzustellen. Die Eintragungen sollen absolute Häufigkeiten der Merkmalskombinationen sein b. Lässt sich die Behauptung, Geschlecht und Getränkewahl seien voneinander unabhängig, zu α = 0.1 beibehalten? c. Ist eine Abhängigkeit mit einer Sicherheit von mindestens 90% bzw. 99 % nachweisbar? Kontingenztabelle: Bier Wein Prosecco Wasser M W Chiquadrat-Unabhängigkeitstest Testgröße = 85.9 Tabellenwerte zu 0.99: b. Unabhängigkeit nicht beibehalten c. Abhängigkeit zu 99% und erst recht zu 90% Sicherheit gezeigt

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