Deckblatt. Name der Kursleiterin/des Kursleiters, bei der Sie angemeldet sind: Annelie Gebert. Nur einen Studiengang ankreuzen!!!

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1 Deckblatt Name Vorname Matrikelnr. Name in Druckbuchstaben Name der Kursleiterin/des Kursleiters, bei der Sie angemeldet sind: Annelie Gebert Nur einen Studiengang ankreuzen!!! Bachelorstudiengang Sozialökonomie Sozialökonomischer Diplomstudiengang anderer Studiengang: SoSe / WiSe 2014/15 im Kurs: Statistik 2 am mit einer Klausur abgeschlossen. Note: (Unterschrift: Annelie Gebert) Kursnummer: / KP:

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3 Statistik 2 Klausur Annelie Gebert 14:00-17:00 Uhr WiSe 2014/15 Länge der Klausur: 180 min Für die Lösungen (Lösungswege sind mit anzugeben) ist der Platz zwischen den Aufgaben vorgesehen. Verwenden Sie ausschließlich das bereitgestellte Klausurpapier! Lösen Sie die Heftung nicht und entfernen Sie kein Blatt aus den Ihnen zugeteilten Bögen! Beachten Sie bitte die Verteilungs- und Quantiltabellen auf den Seiten der Klausur! Erlaubte Hilfsmittel: 8 DIN-A4-Seiten handschriftliche Notizen (keine Kopien, keine Computerausdrucke) nichtprogrammierbarer, zweizeiliger Taschenrechner Aufgabe Summe max. Pkt erreichte Pkt. Mit mindestens 50 Punkten haben Sie bestanden! Rechnen Sie in der gesamten Klausur bitte auf 4 Nachkommastellen genau! 2

4 Aufgabe 1(25 Pkt.) Im Sortiment eines Baumarktes findet Frau Krüger Halogenlampen im 5er- Sparpack. Der ehrliche und erfahrene Verkäufer weist Frau Krüger darauf hin, dass die Lampen nicht selten beschädigt sind. Erfahrungsgemäß hat die Anzahl der beschädigten Lampen X im 5er-Sparpack die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: x i P (X = x i ) 0,65 0,15 0,10 0,05 0,03 0,02 (a) Skizzieren Sie bitte die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der beschädigten Lampen im Sparpack. 3

5 (b) Geben Sie bitte in der folgenden Tabelle die Verteilungsfunktionswerte für die Anzahl der beschädigten Lampen im Sparpack an und skizzieren Sie bitte die Verteilungsfunktion. x i P (X apple x i ) 4

6 (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe höchstens eine Lampe genau eine Lampe weniger als 5 Lampen mehr als eine und weniger als 4 Lampen beschädigt sind. (Geben Sie bitte für diesen Aufgabenteil stets P(X...) mit an.) (d) X. Berechnen Sie bitte den Erwartungswert und die Standardabweichung von 5

7 (e) Geben Sie für den Sparpack die Wahrscheinlichkeitsverteilung der unbeschädigten Lampen an und berechnen Sie dafür den Erwartungswert. Der Sparpack mit den 5 Halogenlampen kostet 10 e.eineeinzelnehalogenlampe kostet 2,50e. Ist der Kauf des Sparpacks eine gute Idee, wenn die defekten Halogenlampen im Sparpack nicht reklamiert werden können und die einzelnen Halogenlampen beim Kauf auf jeden Fall unbeschädigt sind, weil sie vor der Bezahlung auf Funktionsfähigkeit geprüft werden? 6

8 Aufgabe 2(10 Pkt.) Ein gegen Grippe geimpfter Mensch erkrankt dennoch an Grippe mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6. Ein nicht geimpfter Mensch erkrankt an Grippe mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,85. Der Anteil der geimpften Menschen beträgt in Deutschland ca. 40 %. Die Zufallsvariable X gebe an, ob ein Mensch aus Deutschland geimpft ist (X=1 falls geimpft und sonst 0) und die Zufallsvariable Y gebe an, ob ein Mensch an Grippe erkrankt (Y=1, falls erkrankt und sonst 0). (a) Geben Sie bitte die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und YineinerTabellean.BerechnenSieauchdieRandverteilungenvonXund Y. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch geimpft ist, wenn er an Grippe erkrankt. (Bitte P(...) angeben!) (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch nicht geimpft ist, wenn er nicht an Grippe erkrankt. (Bitte P(...) angeben!) 7

9 Aufgabe 3(9 Pkt.) Anna kauft eine Packung mit drei Überraschungseiern. Die Werbung verspricht, dass in jedem 7. Ei eine Actionfigur enthalten ist. Die Anzahl der in den 3 Überraschungseiern enthaltenen Actionfiguren sei durch die Zufallsvariable X gegeben. (Bitte geben Sie bei Wahrscheinlichkeiten stets P(X...) an!) (a) Wie ist X verteilt? (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anna keine Actionfigur erhält? (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anna mindestens eine Actionfigur erhält? (d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in jedem der drei Eier eine Actionfigur enthalten ist? (e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anna genau eine Actionfigur erhält? 8

10 Aufgabe 4(9 Pkt.) Der Hund von Klaus hört nicht immer, aber immer öfter. Um die Hundeschule erfolgreich zu absolvieren muss der Hund auf 10 von 15 erteilten Befehlen sofort richtig reagieren. Der Hund reagiert derzeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,45 auf einen Befehl von Klaus richtig. Die Zufallsvariable X sei die Anzahl der richtigen Reaktionen des Hundes auf 15 Befehle. (Bitte geben Sie bei Wahrscheinlichkeiten stets P(X...) an und nutzen Sie die Verteilungstabelle!) (a) Wie ist X verteilt? Geben Sie bitte auch den Erwartungswert und die Varianz von X an. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Hund auf 15 Befehle richtig reagiert? (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Hund auf mindestens 10 von den 15 erteilten Befehlen richtig reagiert und damit die Prüfung besteht? (d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Hund auf höchstens 8 Befehle richtig reagiert? 9

11 Aufgabe 5(6 Pkt.) Klaus hat mit seinem Hund viel trainiert. Auf die letzten 100 Befehle hat der Hund schon in 51 Fällen richtig reagiert. (a) Lässt sich daraus schlussfolgern, dass die Wahrscheinlichkeit p, mit der der Hund richtig auf einen Befehl reagiert, von 0,4 abweicht? Testen Sie zur Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05: H 0 : p =0, 4 vs. H 1 : p 6= 0, 4. (b) Geben Sie das 0,95-Konfidenzintervall für p an. Wie kann damit die Hypothese in (a) getestet werden? 10

12 Aufgabe 6(18 Pkt.) Die Behandlungszeit von Patienten in der Sprechstunde sei annähernd normalverteilt mit einem Erwartungswert von 12 min und einer Standardabweichung von 2,5 min. Die Zufallsvariable X gebe die Behandlungszeit an. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient (Geben Sie bitte stets P(X...) mit an!) höchstens 12 min behandelt wird. weniger als 8 min behandelt wird. mehr als 15 min behandelt wird. mindestens 10 und höchstens 16 min behandelt wird. genau 11 min behandelt wird. 11

13 (b) Bestimmen Sie bitte das 0,025- und das 0,975-Quantil von X. Interpretieren Sie bitte diese beiden Werte im Zusammenhang. (c) In einer Umfrage unter 35 Patienten eines Arztes ergab die durchschnittliche Behandlungszeit 10 min. Testen Sie bitte zur Irrtumswahrscheinlichkeit 0,01, ob hier die wahre durchschnittliche Behandlungsdauer µ bei diesem Arzt nicht 12 min entspricht: H 0 : µ = 12min vs. H 1 : µ 6= 12min Gehen Sie auch hier von einer Normalverteilung mit der bekannten Standardabweichung von 2,5 min aus. 12

14 Aufgabe 7(13 Pkt.) In einer Studie über Familien (mit mindestens einem Kind) wurden 20 zusammenlebende Elternpaare gefragt, wie viel Zeit sie täglich zu zweit verbringen. Die durchschnittliche gemeinsame Zeit beträgt unter den Befragten 43 min bei einer geschätzten Standardabweichung von 15 min. Wir gehen davon aus, dass die zu zweit verbrachte Zeit normalverteilt ist. (a) Berechnen Sie bitte das 0,9-Konfidenzintervall für die wahre durchschnittliche gemeinsame Zeit µ, dieelternpaaretäglichgemeinsamverbringen. (b) Testen Sie bitte zur Irrtumswahrscheinlichkeit 0,01 H 0 : µ = 45min vs. H 1 : µ 6= 45min. Geben Sie dazu zunächst die Teststatistik an und den Annahmebereich. Wie lautet die Testentscheidung und welcher Fehler ist möglicherweise mit dieser Entscheidung verbunden? Wie ist die Testentscheidung zu interpretieren? 13

15 (c) Testen Sie zur Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 H 0 : µ = 45min vs. H 1 : µ 6= 45min. Geben Sie bitte auch hier den Annahmebereich an. Wie lautet die Testentscheidung und mit welchem Fehler ist diese möglicherweise verbunden? (d) Warum gelangt man in (b) und (c) zu unterschiedlichen Testergebnissen? Erklären Sie bitte, warum die Ergebnisse nicht widersprüchlich sind. 14

16 Aufgabe 8(10 Pkt.) Von 100 Personen wird das Gewicht (in kg) in Abhängigkeit von der Größe (in cm), dem Alter (in Jahren) und dem Geschlecht untersucht. Dazu wird die Regressionsgleichung Gewicht i = Groessee i + 2 Alter i + 3 Mann i + u i, i =1,...,100 geschätzt. Die Störungen u i sind stochastisch unabhängig und werden als normalverteilt mit dem Erwartungswert 0 und einer unbekannten Varianz angesehen. Das Geschlecht wird durch eine binäre Variable Manndargestellt, die 1 ist, wenn die Person ein Mann ist und 0 sonst. Die Schätzung des Regressionsmodells mit dem Statistikprogramm R liefert folgenden Output. (a) Bitte geben Sie die geschätzte Regressionsgleichung an. (b) b 3. Bitte interpretieren Sie die geschätzten Regressionsparameter b 1, b 2 und 15

17 (c) Welche Bedeutung haben die letzten beiden Spalten und welche Aussage wird damit über das geschätzte Regressionsmodell möglich (Erklärungsgehalt der exogenen Variablen?)? 16

18 Notizen 17

19 Notizen 18

20 Binomialverteilung (n,p) X B(n, p), diewertesindverteilungsfunktionswerte:p (X apple x). n x p=

21 Normalverteilung Z N (0, 1), diewertesindverteilungsfunktionswerte: (z) =P (Z apple z) = 1 p 2 R z 1 e x2 /2 dx. z

22 Normalverteilung - Fortsetzung Z N (0, 1),dieWertedergebenan: (z) =P (Z apple z) = 1 p 2 R z 1 e x2 /2 dx. z

23 p-quantile der Standardnormalverteilung: apple p (apple p )=p p apple p 0,25-0,6745 0,75 0,6745 0,9 1,2816 0,95 1,6449 0,975 1,9600 0,99 2,3263 0,995 2,

24 t-verteilung Quantile t 1 ;n der t-verteilung 1 n