Teilaufgabe 1.1 (4 BE) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse B und D stochastisch unabhängig sind. PB ( ) = 0.80 PD ( ) = 0.15 PB D = 0.05 = 0.

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1 Abiturprüfung Berufliche Oberschule 20 Mathematik Technik - B I - Lösung Teilaufgabe Eine städtische Leihbibliothek bietet Bücher und DVDs zur Ausleihe an. Erfahrungsgemäß leihen 80% der Besucher (Ereignis B) und % DVDs (Ereignis D) aus. % der Besucher leihen DVDs, aber keine Bücher aus. Interpretieren Sie die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten für das Verhalten eines zufällig ausgesuchten Besuchers. Teilaufgabe. (4 BE) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse B und D stochastisch unabhängig sind. Gegeben: PB ( ) 0.80 PD ( ) 0. PB D 0.0 D D B B PB ( ) PD ( ) PB ( D) 0.0 B und D sind stochastisch abhängig. Teilaufgabe.2 ( BE) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass a) ein Besucher, der DVDs ausleiht, kein Buch mitnimmt, b) ein Besucher, der Bücher ausleiht, auch DVDs mitnimmt, c) unter 40 zufällig ausgewählten Besuchen oder 2 Besucher ein Buch ausleihen. Teilaufgabe a) P D B PB D PD ( ) Teilaufgabe b) P B ( D) PB ( D) PB ( ) Teilaufgabe c) n 40 nicht im Tafelwerk 40 P ( X 2) combin( 40 ) combin( 40 2) Seite von

2 Teilaufgabe. ( BE) Beim Verlassen werden nacheinander 0 Besucher nach ihrer Ausleihe befragt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr Besucher als erwartet sowohl Bücher als auch DVDs ausleihen. Binomialverteilung: n 0 p 0.0 Erwartungswert: μ np μ PX ( ) PX ( 2) P( X ) F( ) Teilaufgabe 2 Im DVD-Angebot findet sich auch die Fantasyreihe Barry Kotter. Die Reihe besteht aus fünf verschiedenen DVDs, von denen jeweils drei Exemplare zum Bestand der Leihbibliothek gehören. Teilaufgabe 2. (2 BE) Berechnen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, wie diese DVDs nebeneinander aufgestellt werden können, wenn gleiche DVDs nicht unterschieden werden. DVDs, verschiedene DVDs mit jeweils gleichen Exemplaren: ( ) Teilaufgabe 2.2 ( BE) Derzeit sind 0 dieser DVDs ausgeliehen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Besucher noch alle fünf Teile zusammen ausleihen kann. Wahrscheinlichkeit, dass von jedem Teil genau 2 ausgeliehen sind: ( combin( 2) ) combin( 0) oder: Wahrscheinlichkeit, dass jemand von jedem Teil genau eines ausleiht: oder: combin( ) combin( ) Seite 2 von

3 Teilaufgabe Vor dem Betreten der Büchersäle müssen Taschen in eines der 00 Schließfächer gesperrt werden. Erfahrungsgemäß nutzen 90% der Besucher diese Schließfächer. Verwenden Sie bei den folgenden Rechnungen die Normalverteilung als Näherung. Teilaufgabe. (4 BE) Derzeit befinden sich 20 Besucher in der Bibliothek. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Schließfächer ausreichen. X: Anzahl der Besucher, die ein Schließfach belegen wollen unter n 20 p 0.90 n 20 nicht im Tafelwerk μ np 08 np ( p).286 P( X 00) F( 00) Φ 00 μ 0. Φ( 2.28) Φ( 2.28) Teilaufgabe.2 (7 BE) Berechnen Sie, wie viele Besucher die Bibliothek höchstens gleichzeitig besuchen können, damit die Schließfächer mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% ausreichen. X: Anzahl der Besucher, die ein Schließfach belegen wollen unter n. μ 0.9n n n 0. n P( X 00) 0.99 Φ 00 μ μ n n Substitution: n z 0.9z z auflösen z Gleitkommazahl z 0.87 z 0.87 z 0.87 Resubstitution: n z abrunden: ( floor( n) ) 0 Es dürfen höchstens 0 Besucher sein. Seite von

4 Teilaufgabe 4 (2 BE) Ein Besucher hält sich durchschnittlich 20 Minuten in der Bibliothek auf. Die Aufenthaltsdauer ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von Minuten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig betrachteter Besucher höchstens 2 Minuten in der Bibliothek verbringt. μ 20 PX ( 2) Φ 2 μ Φ(.667) μ.667 Teilaufgabe In der Vergangenheit lag der Anteil der Besucher, die jünger als 20 Jahre waren, bei mindestens 0%. Die Bibliotheksleitung vermutet, dass jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Besucher jünger als 20 Jahre ist, kleiner als 0% (Gegenhypothese) geworden ist. Um dies zu prüfen wird ein Signifikanztest durchgeführt. Eine Mitarbeiterin befragt 00 Besucher nach ihrem Alter und registriert die Anzahl der Unterzwanzigjährigen. Teilaufgabe. (6 BE) Bestimmen Sie den Annahmebereich und den Ablehnungsbereich der Nullhypothese für ein Signifikanzniveau von 2,%. Testgröße: X: Anzahl der Besucher unter 20 Jahren unter n 00. p 0.0 Nullhypothese H 0 : p 0 p p 0 0. Gegenhypothese H : p p p 0. Annahmebereich: A { k k } Ablehnungsbereich: A { k } Erwartungswert: μ np 0 Standardabweichung: np ( p) PA 0.02 PX ( k) 0.02 Φ k μ TW k μ k.969 μ 0. Gleitkommazahl k 29.2 Seite 4 von

5 k abrunden: k floor k 0 29 A { } A { } Teilaufgabe.2 (4 BE) Berechnen Sie für diesen Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn tatsächlich 2% der Besucher jünger als 20 Jahre sind und ab 0 jüngeren Besuchern die Nullhypothese angenommen wird. Verwenden Sie bei der Rechnung die Normalverteilung als Näherung. μ neu neu β PA ( ) P( X 0) P( X 29) Φ 29 μ neu 0. neu 29 μ neu β Φ( 0.46) neu pnorm 29. μ neu neu β pnorm 29. μ neu neu 0.20 Seite von