Abiturvorbereitung Alkoholsünder, bedingte Wahrscheinlichkeit, Hypothesentest Aufgabenblatt

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Helmuth Linden
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1 R. Brinkmann Seite Abiturvorbereitung Alkoholsünder, bedingte Wahrscheinlichkeit, Hypothesentest Aufgabenblatt Aufgabe 0 0. In einer bestimmten Stadt an einer bestimmten Stelle führt die Polizei in regelmäßigen Abständen in der Nacht von Sonnabend auf Sonntag zwischen Uhr und 4 Uhr Verkehrskontrollen durch. Dabei muss der Fahrer in die Röhre pusten, um festzustellen, ob der Alkoholgehalt im Blut im gesetzlich erlaubten Rahmen liegt oder nicht. Aus mehrjähriger Erfahrung weiß die Polizei, dass ungefähr 2% aller männlichen und 7% aller weiblichen Fahrer um diese Zeit an dieser Stelle die Promillegrenze überschreiten. Wir nennen diese Personen hier kurz Alkoholsünder. Am letzten Wochenende wurden 00 Verkehrsteilnehmer überprüft. Darunter befanden sich 40 Frauen. a) Gehen Sie davon aus, dass die Erfahrungswerte der Polizei stimmen. Stellen Sie diesen Sachverhalt in Form einer Vierfeldtafel dar. Berechnen Sie für die zufällige Auswahl einer überprüften Person (die Polizei protokolliert jede Überprüfung) die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A: Die überprüfte Person ist weiblich und Alkoholsünderin. B: Die überprüfte Person ist nüchtern. C: Falls die ausgewählte Person männlich ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt Trunkenheit am Steuer vor? D: Falls ein Alkoholsünder ausgewählt wurde, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person weiblich? Formulieren Sie zu jedem Ergebnis einen aussagekräftigen Antwortsatz. M: männlich, W: weiblich, A: Alkoholsünder N: kein Alkoholsünder (nüchtern) Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass 0% aller Verkehrsteilnehmer, die an der entsprechenden Stelle kontrolliert werden Alkoholsünder sind. Weiterhin wird angenommen, dass die Anzahl der Alkoholsünder in den Kontrollen einer Binomialverteilung genügt. Eine Tabelle der Binomialverteilung für n = 00 und p = 0, ist beigefügt. b) Überprüfen Sie, ob für die Verteilungsfunktion der Laplacebedingung genügt. c) Mit wie vielen Fahrverboten kann die Polizei bei der Überprüfung von 00 Verkehrsteilnehmern rechnen? d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Erwartungswert. e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Anzahl der Alkoholsünder zwischen 6 und 4? f) Die Annahme p = 0, für Alkoholsünder soll auf einem Signifikanzniveau von höchstens 5% getestet werden. Bestimmen Sie den Annahme und den Ablehnungsbereich. Überprüfen Sie die für den gewählten Ablehnungsbereich den Fehler. Art und kommentieren Sie das Ergebnis. g) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus d), e) und f) mit der Tabelle der Normalverteilung und bestimmen Sie die prozentuale Abweichung der Werte bezogen auf die der Binomialverteilung. Kumulierte Binomialverteilung für n = 00 und p = 0, k P X k k P X k k P X k k P X k k P X k k P X k 0 0, , ,32 2 0, , ,999 0, , ,45 3 0, ,990 2, , ,7 0 0, , ,995 22, , ,206 0, , ,998 23,000 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Erstellt von Rudolf Brinkmann p20_abivor_0_e.doc :2 Seite: von 6

2 R. Brinkmann Seite E0 Ergebnisse a) A: P( A) = P( W A) = 0,028 B: PB = PN = 0,9 C: M D: A PM A 0,072 PC = P A = = = 0,2 PM 0,6 P A W 0,028 PD = P W = = = 0,28 P A 0, b) Laplace- Bedingung ist mit Sigma = 3 gerade noch erfüllt. c) Die Polizei kann mit etwa 0 Fahrverboten rechnen. d) Die Wahrscheinlichkeit für den Erwartungswert beträgt 0,32. e) Die Anzahl der Alkoholsünder liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,869 zwischen 6 und 4 einschließlich. f) Siehe ausführliche Lösung. g) Siehe ausführliche Lösung. Erstellt von Rudolf Brinkmann p20_abivor_0_e.doc :2 Seite: 2 von 6

3 R. Brinkmann Seite Ausführliche Lösungen Bedingte Wahrscheinlichkeit a) n = 00 Personen werden überprüft. Darunter sind 40 Frauen und 60 Männer. 0,2 60 2% der überprüften Männer sind Alkoholsünder: M A = = 0, , % der überprüften Frauen sind Alkoholsünder: W A = = 0, A N M:Mann M 0,072 0,528 0,6 W:Frau W 0,028 0,372 0,4 A : Alkoholsünder 0, 0,9 N : kein Alkoholsünder P( A) = P( W A) = 0,028 Eine zufällig ausgewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,028 weiblich und eine Alkoholsünderin. PB = PN = 0,9 Eine zufällig ausgewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 nüchtern. PM A 0,072 PC = PM ( A) = = = 0,2 PM 0,6 Eine zufällig ausgewählte Person, von der man weiß, dass sie männlich ist, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 Alkoholsünder. P A W 0,028 PD = PA ( W) = = = 0,28 P A 0, Eine zufällig ausgewählte Person, von der man weiß, dass sie Alkoholsünder ist, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,28 weiblich. Laplace- Bedingung: b) p = 0, n = 00 σ= np ( p) = 000,0,9 = 9= 3 Laplace- Bedingung: σ> 3 Da σ= 3, ist die Laplace- Bedingung gerade nicht erfüllt. Man befindet sich im Grenzbereich. Anzahl der Fahrverbote c) Die Polizei kann bei der Überprüfung von n = 00 Personen mit etwa 0 Fahrverboten rechnen. Das entspricht dem Erwartungswert. Erwartungswert P X = 0 = P X 0 P X 9 = 0,583 0,45= 0,32 d) Die Wahrscheinlichkeit für den Erwartungswert beträgt 0,32. Erstellt von Rudolf Brinkmann p20_abivor_0_e.doc :2 Seite: 3 von 6

4 R. Brinkmann Seite Intervallwahrscheinlichkeit P 6 X 4 = P X 4 P X 5 = 0,927 0,058 = 0,869 e) Die Anzahl der Alkoholsünder liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,869 zwischen 6 und 4 einschließlich. Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen. f) Es soll überprüft werden, ob der Anteil der Alkoholsünder bei der nächtlichen Kontrolle0% beträgt. Da weder eine eindeutige Abweichung nach oben oder nach unten vermutet wird, handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest. Die Hypothesen lauten: Nullhypothese: H 0 : p = 0,; Alternativhypothese H : p 0,. Der Ablehnungsbereich, bestimmt durch das Signifikanzniveau von 5%, verteilt sich gleichmäßig auf beide Seiten. Hypothesentest f) Nullhypothese : H 0 : p = 0, Signifikanzniveau : α 5% Daten: n = 00 ; p = 0,; μ = n p = 00 0, = 0 σ= n p p = 0 0,9 = 9 = 3 Es ist ein zweiseitiger Hypothesentest durchzuführen, denn eine geringe Anzahl, wie auch eine hohe Anzahl von Erfolgen spricht gegen H 0. Bei einem Signifikanzniveau von 5% sind folgende Intervalle zu betrachten: { 2,5% } { 95% } { 2,5% } Ablehnungsbereich für H 0 Ablehnungsbereich für H 0 Linksseitiger Ablehnungsbereich: P( X k) 0,025 k 4 denn P( X 4) = 0,024 Für den Annahmebereich gilt: P( 5 X k2 ) 0,95 denn das Signifikanzniveau ist α 0,05 Zu bestimmen ist die obere Grenze des Annahmebereichs. P( X k2 ) P( X 4) 0,95 P( X k2 ) 0,024 0,95 + 0,024 P( X k2 ) 0,974 Diese Bedingung ist für k2 = 6 erfüllt, denn P( X 6) = 0,979 Damit wird der Annahmebereich: A = 5;...;0;...;6 { } { } { } und der Ablehnungsbereich: A = 0;...;4 7;...;00 Kontrolle des Signifikanzniveaus: = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) P A P X 4 P X 7 P X 4 P X 6 = 0, ,979 = 0, ,02 = 0,045 < 0,05 [ ] Erstellt von Rudolf Brinkmann p20_abivor_0_e.doc :2 Seite: 4 von 6

5 R. Brinkmann Seite Auswertung f) Der Fehler. Art beträgt 0,045. Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 4,5% kann das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich von H 0 liegen, so dass in diesem Fall die wahre Hypothese p = 0, zu Unrecht verworfen wird. Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Hilfe der Tabelle für normalverteilte Zufallsvariablen. g) Daten: n = 00 ; p = 0,; μ = n p = 00 0, = 0 ( = ) = P( 9,5 X 0,5) σ= n p p = 0 0,9 = 9 = 3 P X 0 r 0,5 Umgebungsradius: r = 0,5 z = = 0,7 P( X = 0) 0,35 bezogen auf 0,32 aus d) ergibt das eine 00% Änderung auf 0,35 02,3% also 2,3% mehr 0,32 Der mit dieser Methode berechnete Wert ist etwa 2,3% zu groß. Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Hilfe der Tabelle für normalverteilte Zufallsvariablen. g) Daten: n = 00 ; p = 0,; μ = n p = 00 0, = 0 ( 4) = P( 5,5 X 4,5) σ= n p p = 0 0,9 = 9 = 3 P 6 X r 4,5 Umgebungsradius: r = 4,5 z = =,5 P ( 6 X 4) 0,866 bezogen auf 0,869 aus e) ergibt das eine 00% Änderung auf 0,866 99,65% also 0,35% weniger 0, 869 Der mit dieser Methode berechnete Wert ist etwa 0,35% zu klein. Erstellt von Rudolf Brinkmann p20_abivor_0_e.doc :2 Seite: 5 von 6

6 R. Brinkmann Seite Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Hilfe der Tabelle für normalverteilte Zufallsvariablen. g) Daten: n = 00 ; p = 0,; μ = n p = 00 0, = 0 σ= n p ( p) = 0 0,9 = 9 = 3 P5 ( X 6) { 0;...;3 }{ 4}{ 5;...;0;...;5 }{ 6}{ 7;...;00 } Annahmebereich : asymmetrische Umgebung. P5 X 6 P4 X 6 P5 X 5 P5 X 5 2 = P( 4 X 6) P( 5 X 5) + P( 5 X 5) 2 2 = P( 4 X 6) + P( 5 X 5) 2 2 = P ( 4 X 6 ) + P ( 5 X 5 ) 2 ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) P 4 X 6 P 3,5 X 6,5 r 6,5 Umgebungsradius: r = 6,5 z = = 2,7 P( 4 X 6) 0,97 ( ) = ( ) P5 X 5 P4,5 X 5,5 r 5,5 Umgebungsradius: r = 5,5 z = =,83 P( 5 X 5) 0,933 P( 5 X 6) = [ 0, ,933] 0,95 2 bezogen auf 0,955 aus f) ergibt das eine 00% Änderung auf 0,95 99,5% also 0,5% weniger 0,955 Der mit dieser Methode berechnete Wert ist um 0,5% zu klein. Die Abweichung der Werte für die Normalverteilung von denen der Binomialverteilung ist trotz einer Standardabweichung von 3 sehr gering. Erstellt von Rudolf Brinkmann p20_abivor_0_e.doc :2 Seite: 6 von 6

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