Jost Reinecke. 7. Juni 2005

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1 Universität Bielefeld 7. Juni 2005

2 Testtheorie Test für unabhängige Stichproben Test für abhängige Stichproben

3 Testtheorie Die Testtheorie beinhaltet eine Reihe von Testverfahren, die sich mit der Überprüfung von Hypothesen über eine Grundgesamtheit anhand einer Stichprobe beschäftigen. Eine Hypothese, die überprüft werden soll, wird als Alternativhypothese bezeichnet. Die allgemeine Kennzeichnung für eine Alternativhypothese ist H A oder H 1. Die Verneinung des in der Alternativhypothese behaupteten Sachverhaltes wird als Nullhypothese bezeichnet. Die allgemeine Kennzeichnung für eine Nullhypothese ist H 0. Beispiel: H 1 : Männer wählen häufiger rechtsextreme Parteien als Frauen. H 0 : Männer wählen genauso häufig oder seltener rechtsextreme Parteien als Frauen. Beide Hypothesen stellen Behauptungen über die Grundgesamtheit dar.

4 Durch Abweichungen zwischen Grundgesamtheit und Stichprobe kann es zu zwei Fehlentscheidungen kommen: 1. Fehler 1. Art bzw. α-fehler: Die Stichprobe bestätigt H 1, obwohl in der Grundgesamtheit H 0 gilt. Dieser Fehler wird als Wahrscheinlichkeitswert ausgedrückt (Irrtumswahrscheinlichkeit). 2. Fehler 2. Art bzw. β-fehler: Die Stichprobe bestätigt H 0 mit der Schlußfolgerung, daß in der Grundgesamtheit auch H 0 gilt, obwohl tatsächlich dort H 1 vorliegt. Eine richtige Entscheidung kann nur getroffen werden, wenn die aus der Stichprobe gefolgerte Hypothese mit der Grundgesamtheit übereinstimmt.

5 Fehler bei der Hypothesenprüfung In der Grundgesamtheit gilt H 0 H A Entscheidung aufgrund H 0 richtig β-fehler der Stichprobe H A α-fehler richtig Je größer der α-fehler, desto kleiner der β-fehler, und umgekehrt. Achtung: β-fehler 1 α-fehler. Wie kann die Wahrscheinlichkeit einer Fehlentscheidung möglichst gering gehalten werden?

6 Prüfung des α-fehlers: Wie wahrscheinlich ist ein Stichprobenergebnis, wenn in der Grundgesamtheit die Nullhypothese gilt? Die Nullhypothese kann verworfen werden, wenn diese Wahrscheinlichkeit gering ist. α gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der man sich bei der Ablehnung der Nullhypothese irrt. Ist diese Irrtumswahrscheinlichkeit gering, dann wird die Nullhypothese verworfen. Ist diese Irrtumswahrscheinlichkeit hoch, dann wird die Nullhypothese beibehalten.

7 Prüfung des β-fehlers: Wie wahrscheinlich ist ein Stichprobenergebnis, wenn in der Grundgesamtheit die Alternativhypothese gilt? β gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der man sich bei der Ablehnung der Alternativhypothese irrt. Ist diese Wahrscheinlichkeit gering, dann wird die Alternativhypothese verworfen. Ist diese Wahrscheinlichkeit hoch, dann wird die Alternativhypothese beibehalten. Die Wahrscheinlichkeiten des α- und β-fehlers geben einen Schwellenwert an, hinter der Werte in der Stichprobe bei einer Annahme über die Grundgesamtheit nicht mehr wahrscheinlich sind. Im Vordergrund des Hypothesentests steht das Bestreben die Wahrscheinlichkeit des α-fehlers gering zu halten.

8 Vorgehensweise bei einem (Überblick): 1. Formulierung der Null- und Alternativhypothese 2. Festlegung des Signifikanzniveaus 3. Prüfgröße und Verteilung der Prüfgröße bestimmen (z. B. z-wert, t-wert) 4. Ablehnungsbereich der Nullhypothese kennzeichnen 5. Prüfgröße berechnen und eine Entscheidung über die Nullhypothese treffen Beispiel: Mittelwertvergleich zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit

9 Ausgangssituation: Stichprobe von Studierenden eines bestimmten Studiengangs, die eine besondere Betreuung erfahren haben (n = 35). Grundgesamtheit von Studierenden eines bestimmten Studiengangs, die keine besondere Betreuung erfahren haben. Parameter der Grundgesamtheit: (µ 0 = 13, 5 Semester Studiendauer, σ = 3, 2Semester). 1. Formulierung der Null- und Alternativhypothese: Die Studiendauer ist unabhängig von der Art der Betreuung: H 0 : µ = µ 0 = 13, 5Semester Die Studiendauer ist abhängig von der Art der Betreuung: H A : µ µ 0 13, 5Semester

10 Es wird in H A keine Aussage über die Richtung des Unterschieds getroffen. Es liegt eine zweiseitige Fragestellung bzw. eine ungerichtete Alternativhypothese vor. Wenn eine Richtung in H A angenommen wird, dann liegt eine einseitige Fragestellung bzw. eine gerichtete Alternativhypothese vor. Auf das Beispiel bezogen würde eine gerichtete Alternativhypothese lauten: Besonders betreute Studierende schliessen Ihr Studium schneller ab.

11 2. Festlegung des Signifikanzniveaus: Übliche Größen des α-fehlers: 0,05 bzw. 0,01 1 α = 0, 95: Mit einer Sicherheit von 95% wird die Nullhypothese nicht fälschlicherweise verworfen. 1 α = 0, 99: Mit einer Sicherheit von 99% wird die Nullhypothese nicht fälschlicherweise verworfen. Die Grenzwerte 0,05 und 0,01 werden als Signifikanzniveaus bezeichnet. Ist α < 0, 05, dann ist das Ergebnis signifikant. Ist α < 0, 01, dann ist das Ergebnis sehr signifikant.

12 3. Prüfgröße und Verteilung der Prüfgröße bestimmen: Zentraler Grenzwertsatz: Mittelwerte aus beliebigen Verteilungen folgen mit zunehmendem Stichprobenumfang einer Normalverteilung. Mittelwert µ und Standardabweichung σ x (Standardfehler) sind dann normalverteilt. Stichprobenmittelwerteverteilung: µ = µ 0 = 13, 5 Semester Standardfehler: σ x = σ n = 3,2 35 = 0, 54

13 Stichprobenmittelwerteverteilungen mit µ 0 = 13, 5 und unterschiedlichen Standardfehlern σ x σ = 0,54 x σ = 1,1 x µ

14 Ob eine bestimmte Abweichung x µ 0 vorkommt oder nicht, hängt vom Standardfehler σ x ab. Mit zunehmenden Stichprobenumfang n wird der Standardfehler kleiner, d. h. die Verteilung der Stichprobenmittelwerte wird schmaler. Wenn µ 0 = 12, 5 und σ x = 1, 1, dann ist die Verteilung breiter: Höhere und niedrigere Studiendauer werden wahrscheinlicher. Die Prüfgöße ist der z-transformierte Stichprobenmittelwert x: z = x µ 0 σ x = x µ 0 σ n (1) Die Standardnormalverteilung gibt die Verteilung der Prüfgröße (z-werte) bei Gültigkeit der Nullhypothese wieder. Die Verteilung der Prüfgröße wird auch als Testverteilung bezeichnet.

15 4. Ablehnungsbereich der Nullhypothese kennzeichnen: Die Wahrscheinlichkeit des Stichprobenergebnisses darf nicht größer sein als das Signifikanzniveau, in der Regel α = 0, 05 oder α = 0, 01. Zweiseitige Fragestellung: Die Irrtumswahrscheinlichkeit α entspricht der Fläche, die an den beiden Rändern der Verteilung der Prüfgröße liegt. Einseiseitige Fragestellung: Die Irrtumswahrscheinlichkeit α entspricht der Fläche, die am linken oder rechten Rand der Verteilung der Prüfgröße liegt. Die zu den Flächen gehörenden Werte der Standardnormalverteilung werden als kritische Werte bezeichnet, die den Ablehnungs- bzw. Nicht-Ablehnungsbereich der Nullhypothese kennzeichnen.

16 Kritische Werte bei der Standardnormalverteilung einseitige Fragestellung 5% Irrtumswahrscheinlichkeit links 1,65 Ablehnungsbereich also: bis 1,65 1% Irrtumswahrscheinlichkeit links 2,33 Ablehnungsbereich also: bis 2,33 5% Irrtumswahrscheinlichkeit rechts 1,65 Ablehnungsbereich also: 1,65 bis 1% Irrtumswahrscheinlichkeit rechts 2,33 Ablehnungsbereich also: 2,33 bis

17 zweiseitige Fragestellung 5% Irrtumswahrscheinlichkeit 1,96 und 1,96 Ablehnungsbereich also: bis 1,96 und 1,96 bis 1% Irrtumswahrscheinlichkeit 2,58 und 2,58 Ablehnungsbereich also: bis 2,58 und 2,58 bis

18 Zweiseitiger Ablehnungsbereich (grau schraffierte Fläche) bei einem Signifikanzniveau von 5% in der Standardnormalverteilung z = z = z-werte

19 Beispiel: Ungerichtete Alternativhypothese (µ µ 0 ) Gewählte Irrtunswahrscheinlichkeit: α = 0.05 Grenzwerte der Standardnormalverteilung: z = 1, 96 und z = +1, 96 Ist die Prüfgröße kleiner als -1,96 oder größer als +1,96, wird die Nullhypothese abgelehnt. Liegt die Prüfgröße zwischen -1,96 und +1,96, dann wird die Nullhypothese beibehalten.

20 5. Prüfgröße berechnen und eine Entscheidung über die Nullhypothese treffen. Beispiel: 35 besonders betreute Studierende studieren durchschnittlich 12 Semester. Berechnung des z-wertes: z = x µ 0 σ x = x µ 0 σ n z = 12 13,5 3,2 35 = 2,77 Die Nullhypothese wird verworfen, da z = 2, 77 kleiner ist als der Schwellenwert z = 1, 96.

21 Es ist unwahrscheinlicher als 5%, daß eine Studiendauer von 12 Semestern erreicht wird, wenn die durchschnittliche Studiendauer in der Grundgesamtheit 13,5 Semester beträgt. Der in der Stichprobe ermittelte Wert ist signifikant. Verändertes Beispiel: 35 besonders betreute Studierende studieren durchschnittlich 13 Semester. Berechnung des z-wertes: z = 13 13,5 3,2 35 = 0,92 Die Nullhypothese wird beibehalten, da z = 0, 92 größer ist als der Schwellenwert z = 1, 96. Der in der Stichprobe ermittelte Wert ist nicht signifikant.

22 Einseitige Fragestellung Nullhypothese: Die Studiendauer bleibt bei besonderer Betreuung gleich oder nimmt zu: H 0 : µ µ 0 13, 5Semester Alternativhypothese: Die Studiendauer verkürzt sich bei besonderer Betreuung: H A : µ < µ 0 < 13, 5Semester Bei α = 0, 05 ist der kritische Wert z = 1, 65. Die Nullhypothese wird verworfen, da z = 2, 77 kleiner ist als der Schwellenwert z = 1, 65. Die Studiendauer verkürzt sich signifikant.

23 Einseitiger Ablehnungsbereich (grau schraffierte Fläche) bei einem Signifikanzniveau von 5% in der Standardnormalverteilung z = z-werte

24 Konfidenzintervall Das Konfidenzintervall für einen Stichprobenmittelwert berechnet sich mit der Standardabweichung in der Grundgesamtheit σ als: σ x z (1 α 2 ) n }{{} untere Grenze µ σ x + z (1 α 2 ) n }{{} obere Grenze Werden die entsprechenden Werte aus dem Beispiel eingesetzt, ergibt sich: 12 1,96 0,54 µ ,96 0,54 10,94 µ 13,06 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% wird die durchschnittliche Studiendauer in der Grundgesamtheit bei besonderer Betreuung zwischen 10,94 und 13,06 Semestern liegen.

25 p-werte Eine genaue Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit für den in der Stichprobe ermittelten Wert der Prüfgröße erfolgt über die z-tabelle. Einseitige Fragestellung: Die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe einen z-wert kleiner als -2,77 zu erhalten beträgt 0,0028 (0,28%). Zweiseitige Fragestellung: Die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe einen z-wert kleiner als -2,77 oder größer als +2,77 zu erhalten beträgt 0, , 0028 = 0, 0056 (0,56%). Ist der p-wert kleiner als das gewählte Signifikanzniveau (α = 0, 05), dann wird die Nullhypothese verworfen. Ist der p-wert größer als das gewählte Signifikanzniveau (α = 0, 05), dann wird die Nullhypothese beibehalten.

26 Ausschnitt aus der z-tabelle z ,9. 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014-2,8. 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019-2,7. 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026-2,6. 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036-2,5. 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048-2,4. 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064-2,3. 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084-2,2. 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110-2,1. 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143-2,0. 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183-1,9. 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233-1,8. 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294-1,7. 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367-1,6. 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455-1,5. 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

27 Testverfahren zur Bestimmung von Mittelwertunterschiede zwischen zwei Gruppen Die Gruppen werden jeweils als eigene Stichprobe betrachtet Unabhängige Stichproben: Die Werte der beiden Stichproben beeinflussen sich nicht. Beispiel: Einkommen in Westdeutschland und Einkommen in Ostdeutschland Abhängige Stichproben: Die Werte der beiden Stichproben beeinflussen sich. Beispiel: Statistikkenntnisse vor und nach Besuch eines Statistikkurses

28 Test für unabhängige Stichproben Beispiel: ALLBUS 1994 Variable: Eink.-Ost: x 1 = 1477, 68 DM; ˆσ 1 = 755, 72 DM Eink.-West: x 2 = 1838, 39 DM; ˆσ 2 = 1477, 68 DM Gewähltes Verfahren: z-test 1. Formulierung der Null- und Alternativhypothese 2. Festlegung des Signifikanzniveaus 3. Prüfgröße und Verteilung der Prüfgröße bestimmen 4. Ablehnungsbereich der Nullhypothese kennzeichnen 5. Prüfgröße berechnen und eine Entscheidung über die Nullhypothese treffen

29 1. Formulierung der Null- und Alternativhypothese: Das Durchschnittseinkommen der Ostdeutschen (µ 1 ) unterscheidet sich nicht vom Durchschnittseinkommen der Westdeutschen (µ 2 ): H 0 : µ 1 = µ 2 Das Durchschnittseinkommen der Ostdeutschen (µ 1 ) unterscheidet sich vom Durchschnittseinkommen der Westdeutschen (µ 2 ): 2. Festlegung des Signifikanzniveaus H A : µ 1 µ 2 Das Risiko, H 0 auf Grund des Stichprobenergebnisses abzulehnen, obwohl diese in der Grundgesamtheit gilt, wird mit 5% festgelegt.

30 3. Prüfgröße und Verteilung der Prüfgröße bestimmen Die Differenz der Stichprobenmittelwerte ( x 1 x 2 ) verteilt sich normal um die Differenz der arithmetischen Mittel in der Grundgesamtheit (µ 1 µ 2 ). Die Breite der Stichprobenverteilung wird durch den Standardfehler der Mittelwertedifferenzen σ ( x1 x 2 ) angegeben. Die Prüfgröße z gibt die Abweichungen der Stichprobenergebnisse x 1 x 2 von den Parametern der Grundgesamtheiten µ 1 µ 2 wieder: z = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) σ ( x1 x 2 ) Da mit der Nullhypothese µ 1 µ 2 = 0 ist, wird (2) z = ( x 1 x 2 ) σ ( x1 x 2 ) (3)

31 Der Standardfehler der Mittelwertdifferenz σ ( x1 x 2 ) berechnet sich aus den Varianzen in beiden Grundgesamtheiten: σ ( x1 x 2 ) = ˆσ 2 1 n 1 + ˆσ2 2 n 2 (4) Wenn die Varianzen in den Grundgesamtheiten unbekannt sind, werden diese durch die Stichprobenvarianzen ˆσ 1 2 und ˆσ 2 2 geschätzt und in die obige Gleichung eingesetzt: z = x 1 x 2 ˆσ ( x1 x 2 ) = ( x 1 x 2 ) ˆσ 2 1 n 1 + ˆσ2 2 n 2 (5) Bei großen Stichproben ist die Prüfgröße standardnormalverteilt und die kritischen Werte können der z-tabelle entnommen werden.

32 4. Ablehnungsbereich der Nullhypothese kennzeichnen Bei einem Signifikanzniveau von α = 0, 05 und einer zweiseitigen Fragestellung müssen die beiden kritischen Werte ermittelt werden, die jeweils 0, 05/2 = 0, 025 von der Gesamtfläche abschneiden: z 0,025 = 1, 96 und z 0,975 = +1, 96 H 0 wird abgelehnt, wenn die Prüfgröße z kleiner als -1,96 oder größer als +1,96 ist. H 0 wird beibehalten, wenn die Prüfgröße z zwischen -1,96 und +1,96 liegt.

33 5. Prüfgröße berechnen und eine Entscheidung über die Nullhypothese treffen Werden die entsprechenden Werte des Beispiels in die Formel für die Prüfgröße z eingesetzt, dann ergibt sich z = 1431, , , , = 8, 59 Da 8, 95 < 1, 96 ist, kann H 0 verworfen werden. Der Einkommensunterschied zwischen West- und Ostdeutschland ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% signifikant.

34 Konfidenzintervall für Mittelwertunterschiede Das Konfidenzintervall für Mittelwertdifferenzen wird über ein Intervall bestimmt, dessen Breite vom Standardfehler und der Vertrauenswahrscheinlichkeit abhängt: ( x 1 x 2 ) z 1 α 2 ˆσ ( x 1 x 2) }{{} untere Grenze µ 1 µ 2 ( x 1 x 2 ) + z 1 α 2 ˆσ ( x 1 x 2) }{{} obere Grenze (6) Da die mittlere Einkommensdifferenz x 1 x 2 = 407, 15 DM beträgt und ˆσ ( x1 x 2 ) = 47, 41 ist, wird mit einem Vertrauensintervall von 95% folgendes Konfidenzintervall ermittelt: 407, 15 1, 96 47, 41 µ 1 µ 2 407, , 96 47, , 07 µ 1 µ 2 314, 23

35 t-tests Bei kleinen Stichproben wird anstatt der Prüfgröße z die Prüfgröße t verwendet, die aber auch aus dem Verhältnis von Mittelwertsdifferenz der beiden Stichproben und Standardfehlerdifferenz besteht: t = x 1 x 2 ˆσ x1 x 2 (7) Der t-wert ist eine Zufallsvariable, die für kleine Stichproben mit n 1 + n 2 2 Freiheitsgraden t-verteilt ist. Der t-wert nähert sich bei n 1 + n 2 50 einer Normalverteilung. Da die t-verteilungen mit wachsendem n in eine Standardnormalverteilung übergehen, kann auch bei großen Stichprobenumfängen die t-tabelle verwendet werden.

36 Beispiel: ALLBUS 2000 Variable: Eink.-West: x 2 = 2604, 97 DM; ˆσ 2 = 1929, 69 DM Eink.-Ost: x 1 = 1838, 06 DM; ˆσ 1 = 916, 58 DM t = 2604, , , , = 13, 60 Da die mittlere Einkommensdifferenz x 1 x 2 = 766, 91 DM beträgt und die Differenz der Standardfehler ˆσ ( x1 x 2 ) = 56, 39 ist, wird mit einem Vertrauensintervall von 95% folgendes Konfidenzintervall ermittelt: 766, 91 1, 96 56, 39 µ 1 µ 2 766, , 96 56, , 38 µ 1 µ 2 877, 43

37 Test für abhängige Stichproben Ein t-test für abhängige Stichproben liegt vor, wenn Wiederholungsmessungen bei gleichen Personen vorgenommen werden. Beispiel: Statistikkenntnisse zu Beginn und zum Ende des Semesters bei 32 Studierenden Über die Differenz der Meßergebnisse (d i mit i = ) kann das arithmetische Mittel x d und die Standardabweichung ˆσ d ermittelt werden: x d = n i=1 d i n (8) n i=1 ˆσ d = (d i x d ) 2 n 1 Beispiel: x d = 13 Punkte und ˆσ d = 6 Punkte (9)

38 1. Formulierung der Null- und Alternativhypothese Die Statistikkenntnisse werden durch die Kursteilnahme nicht verbessert: H 0 : µ d 0 Die Statistikkenntnisse werden durch die Kursteilnahme verbessert: H A : µ d > 0 µ d bezeichnet den Mittelwert der Differenzen in der Grundgesamtheit. 2. Festlegung des Signifikanzniveaus Das Risiko, H 0 auf Grund des Stichprobenergebnisses abzulehnen, obwohl diese in der Grundgesamtheit gilt, wird mit 1% festgelegt.

39 Irrtumswahrscheinlichkeit für den Wert 0 bei verschiedenen Nullhypothesen µ µ = µ = Dunkel schraffierte Flächen: Irrtumswahrscheinlichkeiten bei µ = 1 und µ = 0

40 3. Prüfgröße und Verteilung der Prüfgröße bestimmen Der Standardfehler ˆσ xd wird auf Basis der Stichprobe geschätzt. Die Prüfgröße ist t-verteilt mit df = n 1 Freiheitsgraden: t = x d µ d (10) ˆσ xd Wenn in H 0 angenommen wird, daß µ d = 0 ist, dann veinfacht sich die Berechnung: t = x d 0 ˆσ xd = x d ˆσ xd = x d ˆσ d n (11) Die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ d wird durch die Standardabweichung der Stichprobe ˆσ d geschätzt: ˆσ xd = ˆσ d n (12)

41 Die Berechnung der Prüfgröße t kann nun erfolgen: t = x d ˆσ d n (13) 4. Ablehnungsbereich der Nullhypothese kennzeichnen Die Prüfgröße ist mit n 1 Freiheistgraden t-verteilt. Der t-wert bei df = 32 1 = 31 und α = 0, 01 ist 2,46 (bei df=30) Ist t > 2, 46 wird H 0 abgelehnt. Ist t < 2, 46 wird H 0 angenommen.

42 Ausschnitt aus der t-tabelle Fläche df 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 0,975 0,99 0, ,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63, ,445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9, ,424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5, ,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4, ,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4, ,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3, ,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3, ,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3, ,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3, ,397 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3, ,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2, ,388 0,529 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2, ,388 0,528 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2, ,387 0,527 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2, ,387 0,527 0,678 0,847 1,044 1,294 1,667 1,994 2,381 2, ,387 0,526 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2, ,387 0,526 0,677 0,846 1,042 1,291 1,662 1,987 2,368 2, ,386 0,526 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626

43 5. Prüfgröße berechnen und eine Entscheidung über die Nullhypothese treffen Einsetzen der Werte in die Gleichung: t = x d = 13 = 12,26 n ˆσ d 6 32 H 0 kann verworfen werden, da 12, 26 > 2, 46. Die Verbesserung der Statistikklausur um 13 Punkte im Durchschnitt ist statistisch signifikant.

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