Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz

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1 Grundlage: Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz Die Testvariable T = X µ 0 S/ n genügt der t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden. Auf der Basis einer Zufallsstichprobe x 1, x 2,..., x n vom Umfang n soll die Nullhypothese H 0 : µ = µ 0 gegen die Alternativhypothese H 1 : µ µ 0 getestet werden. 1) Auswahl einer Signifikanzzahl α (meist α = 0.05 oder α = 0.01) 2) Berechnung des kritischen Wertes c aus der Bedingung 2F (c) 1 = 1 α, wobei F die Verteilungsfunktion ( der t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden bezeichnet, d.h. c ist das 1 α ) -Quantil der t-verteilung 2 mit n 1 Freiheitsgraden nicht-kritischer Bereich: c t c 3) Berechnung des Mittelwertes x und der Standardabweichung s der konkreten Stichprobe x 1, x 2,..., x n sowie des Test- oder Prüfwertes: ˆt = x µ 0 s/ n 4) Testentscheidung: Fällt der Test- oder Prüfwert ˆt in den nicht-kritischen Bereich, d.h. gilt c ˆt c, dann wird die Nullhypothese H 0 nicht abgelehnt. Anderenfalls wird sie zugunsten der Alternativhypothese H 1 abgelehnt. Mathematik III - Folie 61

2 Zweiseitiger Test für die Gleichheit der unbekannten Mittelwerte µ 1 und µ 2 zweier NV unter Verwendung abhängiger Stichproben Voraussetzungen: Die ZV X und Y seien normalverteilt mit den Mittelwerten µ 1 und µ 2. Es liegen zwei abhängige Stichproben x 1, x 2,..., x n und y 1, y 2,..., y n vor. Auf der Basis dieser Stichproben soll die Nullhypothese H 0 : µ 1 = µ 2 gegen die Alternativhypothese H 1 : µ 1 µ 2 getestet werden (zweiseitiger Parametertest). Dieser Parametertest wird auf einen Test des Hilfsparameters µ = µ 1 µ 2 zurückgeführt. Dann wird die Nullhypothese H 0 : µ = 0 gegen die Alternativhypothese H 1 : µ 0 getestet. Dazu werden aus den beiden abhängigen Stichproben die Differenzen z i = x i y i (i = 1, 2,..., n) gebildet. Diese werden als Stichprobenwerte einer neuen Stichprobe vom Umfang n betrachtet: z 1, z 2,..., z n. Mittels der auf Folie 60 bzw. 61 erläuterten Vorgehensweise (bezogen auf die Stichprobe z 1, z 2,..., z n ) kann über die Nichtablehnung oder Ablehnung der Hypothese H 0 : µ = 0 entschieden werden. Dabei ist zu beachten: sind die Varianzen der Zufallsvariablen X und Y bekannt oder gilt für den Stichprobenumfang n > 30, ist die auf Folie 60 beschriebene Vorgehensweise anwendbar. Anderenfalls ist so vorzugehen wie auf Folie 61 beschrieben. Mathematik III - Folie 62

3 Ein Beispiel für einen zweiseitiger Test für die Gleichheit der unbekannten Mittelwerte zweier NV unter Verwendung abhängiger Stichproben Beispiel 15.10: Zwei verschiedene Messmethoden für elektrische Widerstände sollen miteinander verglichen werden. Dazu wurden an 6 Widerständen Parallelmessungen durchgeführt, deren Ergebnisse in dem folgenden Messprotokoll dargestellt sind (x i : Messwerte nach der Methode A, y i : Messwerte nach der Methode B). i x i /Ω y i /Ω Zu jedem der 6 Widerstände gehört genau ein Wertepaar (x i, y i ). Daher handelt es sich um abhängige Stichproben. Durch Differenzbildung z i = x i y i ergibt sich als neue Stichprobe: i z i /Ω Die beiden Messmethoden A und B werden als gleichwertig angesehen, wenn diese Stichprobe aus einer (normalverteilten) Grundgesamtheit mit dem Mittelwert µ = 0 stammt. Mathematik III - Folie 63

4 Zweiseitiger Test für die Varianz einer Normalverteilung Die Nullhypothese H 0 : σ 2 = σ 2 0 soll gegen die Alternativhypothese H 1 : σ 2 σ 2 0 getestet werden. Grundlage: Die Zufallsvariable Z = (n 1) S2 mit n 1 Freiheitsgraden. σ 2 0 genügt der Chi-Quadrat-Verteilung 1) Festlegung einer Signifikanzzahl (Irrtumswahrscheinlichkeit) α (üblicherweise: α = 0.05 od. α = 0.01) 2) Berechnung der Konstanten c 1 und c 2 aus den Bedingungen F (c 1 ) = α 2 und F (c 2 ) = 1 α (F : Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit n 1 2 Freiheitsgraden). Die Zahlen c 1 bzw. c 2 sind das α ( 2 - bzw. 1 α ) -Quantil 2 der Chi-Quadrat-Verteilung mit n 1 Freiheitsgraden. nicht-kritischer Bereich: c 1 z c 2 3) Berechnung der Varianz s 2 der vorgeg. Stichprobe sowie des Testwertes: ẑ = (n 1) s2 σ 2 0 4) Testentscheidung: Fällt der Test- oder Prüfwert ẑ in den nicht-kritischen Bereich, d.h. gilt c 1 ẑ c 2, dann wird die Nullhypothese H 0 nicht abgelehnt. Anderenfalls wird sie zugunsten der Alternativhypothese H 1 abgelehnt. Mathematik III - Folie 64

5 Chi-Quadrat-Test zur Überprüfung einer Hypothese über die unbekannte Verteilungsfunktion einer Grundgesamtheit Die Nullhypothese H 0 : F (x) = F 0 (x) soll gegen die Alternativhypothese H 1 : F (x) F 0 (x) getestet werden. 1) Unterteilung der n Stichprobenwerte in k Klassen (Intervalle) I 1, I 2,..., I k und Feststellung der absoluten Klassenhäufigkeiten n 1, n 2,..., n k 2) Für jede Klasse I i : mit Hilfe von F 0 (x) die Wahrscheinlichkeit p i und die Anzahl n i = np i der theoretisch erwarteten Stichprobenwerte berechnen 3) Berechnung des Testwertes ẑ = ˆχ 2 = k i=1 (n i n i )2 n i = k i=1 (n i np i ) 2 np i 4) Auswahl einer Signifikanzzahl α (meist α = 0.05 oder α = 0.01) und Bestimmung der kritischen Grenze c. Diese ist das (1 α)-quantil der Chi-Quadrat- Verteilung mit k 1 Freiheitsgraden. nicht-kritischer Bereich: z = χ 2 c 5) Testentscheidung: Fällt der Test- oder Prüfwert ẑ = ˆχ 2 in den nichtkritischen Bereich, d.h. gilt ẑ = ˆχ 2 c, dann wird die Nullhypothese H 0 nicht abgelehnt. Anderenfalls wird sie zugunsten der Alternativhypothese H 1 abgelehnt. Mathematik III - Folie 65

6 Ein Beispiel zum Chi-Quadrat-Test Beispiel 15.11: Bei 120 Würfen mit einem homogenen Würfel ergaben sich die folgenden Häufigkeiten: i abs. Häufigk. n i Die Nullhypothese H 0 : Alle 6 möglichen Augenzahlen sind gleichwahrscheinlich. soll mit Hilfe des Chi-Quadrat-Tests überprüft werden. Bei der Einteilung der Stichprobenwerte in Klassen wird k = 6 gewählt; die Klassen entsprechen genau den Augenzahlen. Gemäß der Hypothese H 0 gilt: p i = 1/6. Klasse (Augenz. i) n i p i n i = np i n i = n i n ( n i ) 2 i n i / / / / / / / / / / / /20 Σ /20 Berechnung der Testgröße: ẑ = ˆχ 2 = 76/20 = 3.8; Festlegung der Signifikanzzahl: α = 0.05; 1 α = 0.95-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit k 1 = 5 Freiheitsgraden: c = nicht-kritischer Bereich: z = χ Da ẑ = ˆχ gilt, wird die Hypothese H 0 nicht abgelehnt. Mathematik III - Folie 66