Vergleich von Parametern zweier Stichproben

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1 Vergleich von Parametern zweier Stichproben Vergleich von Mittelwerten bei gebundenen Stichproben Vergleich von Mittelwerten bei unabhängigen Stichproben Vergleich von Varianzen bei unabhängigen Stichproben Statistik für SoziologInnen 1 Vergleich von Mittelwerten

2 Vergleich von Mittelwerten bei gebundenen Stichproben Ausgangspunkt: Liegen jeweils Beobachtungen an n Objekten vor, spricht man von einer gebundenen (gepaarten) Stichprobe Typische Struktur bei sog. "stimulus-response" Versuchen: Obj.1 Obj.... Obj.n Beobachtung-1 x 1 x... x n Beobachtung- y 1 y... y n Differenz d 1 d... d n Statistik für SoziologInnen Vergleich von Mittelwerten

3 Vorgehensweise bei gebundenen Stichproben Im Falle einer gebundenen Stichprobe kann die Fragestellung, ob sich die Mittelwerte der ersten Messung signifikant von jenen der zweiten Messung unterscheiden, durch Differenzbildung der einzelnen Beobachtungen auf den bereits behandelten Einstichprobenfall reduziert werden. Das heißt anstelle die Mittelwerte der x i und y i zu berechnen und eine Teststatistik für die Differenz der Mittelwerte zu verwenden, betrachten wir die einzelnen Differenzen d i = x i -y i und testen, ob sich der Mittelwert der d i signifikant von Null unterscheidet. Statistik für SoziologInnen 3 Vergleich von Mittelwerten

4 Mittelwertsvergleich bei gebundenen Stichproben Die zuvor geschilderte Vorgangsweise ist auch effizienter als eine Anwendung des Zweistichprobentests für Mittelwerte, welche für unabhängige Stichproben gedacht sind. Immer wenn bei gegebenen Daten eine paarweise Differenzbildung sinnvoll möglich ist, ist dies die adäquate Vorgangsweise, da dadurch die Variabilität zwischen den Objekten aus der Berechnung eliminiert wird und der Fokus auf den beobachteten Differenzen bei den einzelnen Objekten gelegt wird. Aus der Sicht der Statistik ist es daher sinnvoll im Zuge der Versuchsplanung gebundene Stichproben anzustreben, wenn dies die inhaltliche Problemstellung erlaubt. Statistik für SoziologInnen 4 Vergleich von Mittelwerten

5 Beispiel Düngemittel A und B werden auf 8 Versuchsfeldern unter konstanten Bedingungen getestet und liefern folgende Ernteertragsdaten: Feld Mittel A 8, 8,1 7,5 8, 8,5 8,4 7,8 8,0 8,09 B 8,1 7,3 7, 7,8 6,9 8, 7, 7,1 7,48 D 0,1 0,8 0,3 0,4 1,6 0, 0,6 0,9 0,61 Frage: Besteht ein signifikanter Unterschied (=0,05) zwischen den Düngemitteln in Bezug auf den Ernteertrag pro Hektar? Statistik für SoziologInnen 5 Vergleich von Mittelwerten

6 Erklärung zum Beispiel Unabhängige Anordnung von Behandlungen auf jeweils 4 Felder Feld-1 Feld- Feld-3 Feld-4 Abhängige Anordnung von Behandlungen auf 8 Felder Feld-1 Feld- Feld-3 Feld-4 Feld-5 Feld-6 Feld-7 Feld-8 Feld-5 Feld-6 Feld-7 Feld-8 Düngemittel A Düngemittel B Nachteil der unabhängigen Versuchsanordnung: Die Versuchsfelder könnten eine unterschiedliche Bodencharakteristik aufweisen, oder unterschiedlichen Witterungsbedingungen ausgesetzt sein. Es kann durch diese externen Einflussgrößen unabhängig vom interessierenden Effekt der beiden unterschiedlichen Düngemittel zu einem stark unterschiedlichen Ernteertrag auf den 8 Feldern kommen. Vorteil der abhängigen Versuchsanordnung: Es kann für jedes individuelle Versuchsfeld eine Differenz des Ernteertrags der beiden unterschiedlichen Düngemittel berechnet werden, wodurch der störende Einfluss externer Faktoren aus der Rechnung eliminiert wird. Statistik für SoziologInnen 6 Vergleich von Mittelwerten

7 Lösung des Beispiels: H H x d s A d 0 A : A B bzw. H 0 : bzw. H A 8,0875 0,615 0,4883 T B x B 7,475 A : : s 1 / ( n 1) ( x x) T ~ x t n1 x x n 0 0 n i1 D D 0 0 Lösungsansatz: Anwenden des Einstichproben-Tests für Mittelwerte auf die Differenzen pro Versuchsfeld (Hinweis: Ersetze x mit d ) i Statistik für SoziologInnen 7 Vergleich von Mittelwerten

8 Berechnung des Beispiels: H H x s s t t : : 7,0,975 p A d d 0 A 8,0875 0,4883 s d A A / 0,615 0,176 value n,3646 B B x bzw bzw B 0,4883 3, , ,475 / H H 0 A 8 : : d D D 0 0 0,176 0,615 Signifikantes Ergebnis H0 wird abgelehnt Statistik für SoziologInnen 8 Vergleich von Mittelwerten

9 Vergleich von Mittelwerten bei unabhängigen Stichproben Fall1: Die Varianzen seien bekannt Dieser Fall ist nur von theoretischem Interesse Wir betrachten zwei unabhängige Stichproben von zwei Grundgesamtheiten Die Parameter der Grundgesamtheiten bezeichnen wir: 1, 1, N1, N Mittelwerte, Varianzen, Umfänge Entsprechend sind die Parameter der Stichproben: x, x s, s n, n Kann aus der in den Stichproben beobachteten Differenz der Mittelwerte auf einen signifikanten Unterschied der Mittelwerte der Grundgesamtheit geschlossen werden? Statistik für SoziologInnen 9 Vergleich von Mittelwerten

10 Modellannahmen Fall -1 Die beiden Stichproben sind unabhängig. Entweder stammen die Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten, oder die Stichprobenumfänge n 1, n sind so groß, dass mit dem zentralen Grenzwertsatz die Normalverteilung für die Verteilung der Mittelwerte angenommen werden kann. Die Grundgesamtheiten N 1, N sind so groß (kleiner Auswahlsatz), dass der Korrekturfaktor (N-n)/(N-1) für endliche Grundgesamtheiten vernachlässigt werden kann. Die Varianzen der Grundgesamtheit sind bekannt. Statistik für SoziologInnen 10 Vergleich von Mittelwerten

11 Teststatistik im Fall 1 Unter den obigen Annahmen ist die standardisierte Differenz der Stichprobenmittelwerte standardnormalverteilt. z ( x1 x ) ( 1 ) ~ N ( 01, ) 1 n n 1 Bei Gültigkeit der Nullhypothese H 0 : 1 = z ( x1 x ) ~ N ( 01, ) 1 n n 1 Statistik für SoziologInnen 11 Vergleich von Mittelwerten

12 Teststatistik im Fall 1 Im Spezialfall konstanter (homogener) Varianzen vereinfacht sich der Ausdruck für die Teststatistik wie folgt: 1 ² = ² = ² z ( x1 x ) ( x1 x ) ( x1 x ) 1 1 n n n n n n nn Da wir diesen Fall nur aus theoretischen Gründen erwähnen und es in der Praxis keine relevanten Anwendungsfälle gibt, rechnen wir hier keine Übungsaufgabe. Statistik für SoziologInnen 1 Vergleich von Mittelwerten

13 Mittelwertsvergleich bei unabhängigen Stichproben Fall-: Varianzen seien unbekannt a) Annahme homogener Varianzen Parameter der Grundgesamtheiten:, N, N 1 1 Parameter der Stichproben: x, x s, s n, n Dichtefunktion Modellvorstellung in Bezug auf die Alternativen Statistik für SoziologInnen 13 Vergleich von Mittelwerten

14 Modellannahmen im Fall a) homogene Varianzen Die beiden Stichproben sind unabhängig. Entweder stammen die Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten, oder die Stichprobenumfänge n 1, n sind so groß, dass mit dem zentralen Grenzwertsatz die Normalverteilung für die Verteilung der Mittelwerte angenommen werden kann. Die Grundgesamtheiten N 1, N sind so groß (kleiner Auswahlsatz), dass der Korrekturfaktor (N-n)/(N-1) für endliche Grundgesamtheiten vernachlässigt werden kann. Die Varianzen der Grundgesamtheit sind unbekannt, aber in beiden Gruppen gleich. Statistik für SoziologInnen 14 Vergleich von Mittelwerten

15 Teststatistik im Fall a) homogene Varianzen ( x1 x ) z n1 n n n 1 ( x x ) 1 t n n 1 n n 1 mit Wir greifen auf die Formel von Folie 11 zurück, müssen jetzt aber die unbekannten Varianzen schätzen s ( n 1) s ( n 1) s 1 1 n n 1 s... pooled variance estimate Gewogener Mittelwert aus den beiden Varianzschätzungen der beiden Stichproben Die Teststatistik t ist bei Gültigkeit der Null- Hypothese t-verteilt mit n 1 +n - Freiheitsgraden Statistik für SoziologInnen 15 Vergleich von Mittelwerten

16 Beispiel zu Fall a) homogene Varianzen Aufgabe: Vergleiche die durchschnittliche Intelligenz (gemessen als IQ) zweier Personengruppen Annahmen: IQ ist in jeder Gruppe normalverteilt und die Varianz ist in beiden Gruppen gleich groß. n 1 x 130 s, n 10 x 17 s 18, H t s t : H : , 0, 995, 845 ( n 1) s ( n 1) s 11, 9 18, n n ( x x ) n n 1 4, 1 n n , 45 4, 1 Signifikantes Ergebnis H0 wird abgelehnt Statistik für SoziologInnen 16 Vergleich von Mittelwerten

17 Mittelwertsvergleich bei unabhängigen Stichproben Fall: Varianzen seien unbekannt b) Varianzen sind verschieden b1) große Stichproben Einsetzen der Stichprobenschätzung für die unbekannten Varianzen ist bei großen Stichproben unproblematisch b) kleine Stichproben Modellvorstellung in Bezug auf die Alternativen Dem Einsetzen der Stichprobenschätzung für die unbekannten Varianzen muss bei kleinen Stichproben Rechnung getragen werden (Verwendung der t-verteilung alleine reicht hier aber nicht aus) Statistik für SoziologInnen 17 Vergleich von Mittelwerten

18 Teststatistik im Fall b1) Fall: Varianzen seien unbekannt b) Varianzen sind verschieden b1) große Stichproben Entweder stammen die Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten, oder wir können mit dem zentralen Grenzwertsatz die Normalverteilung für die Verteilung der Mittelwerte rechtfertigen. Unter H 0 (siehe Folie 11): ( x x ) 1 z ~ N ( 01, ) s s 1 n n 1 Statistik für SoziologInnen 18 Vergleich von Mittelwerten

19 Beispiel zu Fall b1) Übungsgruppen von Studenten n 40 x 74 s 8 n 50 x 78 s 7 H z z : H : , , x s n x s n Entscheidung: H p value , , 49 Insgesamt liegen 90 Beobachtungen vor Signifikantes Ergebnis H0 wird abgelehnt Statistik für SoziologInnen 19 Vergleich von Mittelwerten

20 Teststatistik im Fall b) Fall: Varianzen seien unbekannt b) Varianzen sind verschieden b) kleine Stichproben Die Stichproben stammen aus normalverteilten Grundgesamtheiten Fisher-Behrens-Problem Approximation nach Welch: Bei Gültigkeit von H 0 : t ( x x ) 1 t wobei df ~ df s1 s n n 1 s n 1 n s 1 1 s n 1 n s 1 / ( n 1) 1 n 1 1 Statistik für SoziologInnen 0 Vergleich von Mittelwerten

21 Beispiel zu Fall b) Gruppen von Autofahrern n 15 x 53 km / h s, n 0 x 41 km / h s 1,5 H t df t s1 s,8 1,5 3,0,95 : H : x n x n 1 1, 5 /14 1/ (1 1, 5) 3, 0 3 1, 6939 Entscheidung : H 1,56 Insgesamt liegen 35 Beobachtungen vor Kein signifikantes Ergebnis H0 kann nicht abgelehnt werden Marcus Hudec Statistik für SoziologInnen 1 Vergleich von Mittelwerten

22 Zusammenfassung: Vergleich von Mittelwerten im -Stichprobenfall mit unbekannter Varianz Homogenität der Varianzen? JA Fall a) Pooled Variance Estimate NEIN Große Stichproben? JA, große Stichproben Fall b1) Varianzschätzer für jede Stichprobe NEIN, kleine Stichproben Fall b) Welch-Approximation Statistik für SoziologInnen Vergleich von Mittelwerten

23 Beispiel Messungen wurden an den selben 14 Objekten bzw. Personen durchgeführt, weshalb eine Differenzbildung möglich ist Statistik für SoziologInnen 3 Vergleich von Mittelwerten

24 Korrekte Analyse mit SPSS Hoch signifikante Differenz!!! Statistik für SoziologInnen 4 Vergleich von Mittelwerten

25 Analyse der Daten als unabhängige Stichproben Selben Daten wie zuvor - aber als unabhängige Stichproben ausgewertet. Falls die Messungen an den selben Objekten bzw. Personen durchgeführt wurden, ist die Analyse ohne Berücksichtigung dieser Erhebungsstruktur ungenau und sollte nicht verwendet werden! Statistik für SoziologInnen 5 Vergleich von Mittelwerten

26 T-Test mit unabhängigen Gruppen mit SPSS Keine signifikante Differenz!!! Statistik für SoziologInnen 6 Vergleich von Mittelwerten

27 Summary: Verbundene Stichproben Bei Vorliegen zweier verbundener (gepaarter) Stichproben ist diese Information bei der Auswertung der Daten unbedingt zu berücksichtigen. In SPSS: t-test bei verbundenen (oder gepaarten) Gruppen Dieser Test entspricht einem Einstichproben-Test für die Differenzen. Die Anwendung eines Zweistichprobentests verschenkt Information und kann zu inhaltlich falschen Ergebnissen führen. Statistik für SoziologInnen 7 Vergleich von Mittelwerten

28 Wahl der Methode bei unabhängigen Stichproben In der Praxis (siehe SPSS) gibt es zwei relevante Testverfahren zum Vergleich der Mittelwerte von unabhängigen Gruppen: t-test mit Annahme gleicher Varianzen t-test mit Annahme verschiedener Varianzen Der Test mit der Annahme der Varianzhomogenität weist bei Gültigkeit der Modellannahme eine höhere Power auf als der Test mit Annahme verschiedener Varianzen. Ist die Annahme jedoch verletzt, so führt die Anwendung zu keinen validen Ergebnissen. Eine konservative (vorsichtige) Strategie ist es daher immer den t-test mit Annahme verschiedener Varianzen anzuwenden. Statistik für SoziologInnen 8 Vergleich von Mittelwerten

29 Test auf Gleichheit der Varianzen Natürlich existieren auch Testverfahren, mit denen man testen kann, ob die Varianzen von Gruppen gleich oder verschieden sind. In manchen Büchern wird empfohlen, die Wahl der Methode für den Vergleich der Mittelwerte in Abhängigkeit von einem Test auf Gleichheit der Varianzen zu treffen. Wenngleich dies in der Praxis häufig angewendet wird, ist dies im streng konfirmatorischen Sinn kein valides Vorgehen, da ja auch der Test auf Gleichheit der Varianzen fehlerbehaftet ist (-, b-fehler). Die Wahl der Methode (des konkreten Testverfahrens) ist streng konfirmatorisch unbedingt vor Ansicht der Daten (pre-specified analysis) zu treffen, wenn man das -Niveau einhalten will. Ein Test auf Gleichheit der Varianzen kann als diagnostisches Hilfsmittel verstanden werden, ob ein ex ante gewählte Modell passt. Statistik für SoziologInnen 9 Vergleich von Mittelwerten

30 Vergleich von Varianzen zweier unabhängiger Stichproben Unter der Annahme, dass die Daten aus normalverteilten Grundgesamtheiten stammen, existiert ein einfacher Test auf Gleichheit der beiden Varianzen. Dazu bildet man den Quotienten der beiden Stichprobenvarianzen, welcher bei Gültigkeit der Nullhypothese H 0: 1 ² = ² F-verteilt ist mit Freiheitsgraden n 1-1 und n -1 SPSS verwendet beim t-test den Test nach Levene auf Gleichheit der Varianzen, der ohne der Annahme der Normalverteilung auskommt. (Details dazu später) Statistik für SoziologInnen 30 Vergleich von Mittelwerten

31 F-Verteilung Die Verteilung ergibt sich aus dem Quotienten zweier Chi-Quadratverteilungen und wird durch Parameter (Freiheitsgrade charakterisiert). Beispiele: F 10, 100 F 10, 50 F 5,100 Statistik für SoziologInnen 31 Vergleich von Mittelwerten

32 Vergleich von Varianzen Beachte, dass beim einseitigen Test jene Varianz im Zähler des Bruchs steht, von der wir zeigen wollen ( Alternativhypothese), dass sie größer ist. Beim zweiseitigen Test steht immer die größere Varianz im Zähler des Bruchs. Statistik für SoziologInnen 3 Vergleich von Mittelwerten

33 Beispiel zum Vergleich von -Varianzen Wir haben folgende Beobachtungen aus Gruppen: Der Boxplot zeigt deutlich, dass in Gruppe 1 die Streuung wesentlich größer ist. Es stellt sich die Frage, ob dieser Unterschied statistisch signifikant ist. Statistik für SoziologInnen 33 Vergleich von Mittelwerten

34 Einseitiger Signifikanztest Ho: 1 ² ² H A : 1 ² > ² = 0,05 Kritischer F-Wert: df = 19, df = 4,04 s 1 ² = 164,16 s ² = 4,09 Varianz-Quotient: 3,90 Testwert > kritischer Wert signifikantes Ergebnis p-value = 0,00103 Statistik für SoziologInnen 34 Vergleich von Mittelwerten

35 Zweiseitiger Signifikanztest Ho: 1 ² = ² H A : 1 ² ² = 0,05 Kritischer F-Wert: df = 19, df = 4,345 s 1 ² = 164,16 s ² = 4,09 Varianzquotient: 3,90 Testwert > kritischer Wert signifikantes Ergebnis p-value = 0,009 Statistik für SoziologInnen 35 Vergleich von Mittelwerten