Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU 2003

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1 Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU Eine seltene Krankheit trete mit Wahrscheinlichkeit : 0000 auf. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein bei einem Erkrankten durchgeführter Bluttest die Krankheit erkennt sei Wird der Bluttest bei einem Gesunden druchgeführt, diagnostiziert er mit bedingter) Wahrscheinlichkeit 0.0 fälschlich die Krankheit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit erkrankt zu sein, wenn der durchgeführte Bluttest dies behauptet? Zur Lösung der Aufgabe führe man die Ereignisse K = Die Testperson ist krank und D = Der Test diagonstiziert die Krankheit ein. Lösung: Aus dem Text könne folgende Wahrscheinlichkeiten herausgelesen werden: P K) = W! das eine Person an der Krankheit erkrankt ist. P D K) = bedingte W! dass der Test bei einer kranken Person die Krankheit diagonstiziert hat. P D G) = bedingte W! dass der Test bei einer gesunden Person die Krankheit diagnostiziert hat. Gesucht ist folgende Wahrscheinlichkeit: P K D) = P K D) P D) wobei: und P K D) = P K) P K D) = = P D) = P K) P D K) + P G) P D G) = , = P D) setzt sich zusammen aus der Wahrscheinlichkeit dass der Test bei einer kranken und bei einer gesunden Person die Krankheit diagnostiziert) daraus folgt: P K D) = = D.h. nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 96% hat eine Person die Krankeit falls der Test dies behauptet. 2. Eine Firma verkauft Drahtrollen. Die Länge X des Drahtes auf einer 50 m Drahtrolle ist nicht exakt 50 m. Sie unterliegt einer zufälligen Schwankung und wird approximativ durch eine Normalverteilung mit Mittel µ = 50 und Varianz σ 2 = 0.04 beschrieben.

2 a) Man berechne P X 49.6). b) Man bestimme c so, daß P X c) = c) Wie ist die Gesamtlänge X + X 2 zweier Drahtrollen verteilt? Lösung: X N 50, ), d. h. µ = 50 und σ 2 = 0.04 a) Man berechne P X 49.6). ) ) 49.6 µ P X 49.6) = P X < 49.6) = Φ = Φ = σ ) 0.4 = Φ Φ 2) = Φ 2)) = Φ 2) = = Erklärung: Φ z) = Φ z) Wert für Φ 2) aus der Tabelle der Standardnormalverteilung ablesen b) Man bestimme c so, daß P X c) = ) ) c µ c 50 P X c) = P X < c) = Φ = Φ = 0.99 σ Daraus folgt: ) c 50 Φ = 0.99 und weil Φ z) = Φ z) gilt: Φ c 50 ) = 0.99 Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung kann man ablesen, dass Φ 2.33) = 0.99 ist, was bedeutet, dass gelten muss. Das bedeutet für c: 2.33 = c 50 c = = c) Wie ist die Gesamtlänge X + X 2 zweier Drahtrollen verteilt? X, X 2 sind unabhängige Zufallsvariable mit X N µ x, σ x ) = N 50, ) X 2 N µ x2, σ x2 ) = N 50, )

3 Es gilt: Die Summe zweier unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt. Y = X + X 2 N µ y, σ y ) µ y = = 00 σ y = σx 2 + σx 2 2 = = 0.08 ACHTUNG: Quadrate werden addiert!) Y N 00, ) Um den Effekt zweier Diätprogramme zu untersuchen erhält eine Gruppe von 0 Testpersonen die Diät A und eine andere Gruppe von 0 Testpersonen die Diät B. Bei jedem der Testpersonen wird nach zwei Wochen der Gewichtsverlust bestimmt. Für die Gruppe A ergeben sich die Meßwerte x A = 4.2 und s A = 0.6, und für die Gruppe B die Meßwerte x B = 3.6 und s B =.. Unter geeignete Normalverteilungsannahme untersuche man folgende Fragen Signifikanzniveau α = 0.05, F 9,9;0.025 = 48, F 9,9;0.975 = 4.026). a) Ist die Hypothese H 0 : σ A = σ B haltbar? b) Werden durch die beiden Diäten verschiedene mittlere Gewichtsabnahmen verursacht? Führen Sie den exakten und den approximativen Test durch. Lösung: a) Zur Überprüfung dieser Hypothese wendet man den F-Test an, dessen Teststatistik folgende Form hat: d.h. wir erhalten: H 0 wird verworfen wenn: oder F = S2 X S 2 Y f = = 9752 f F m,n,α/2 f F m,n, α/2 die Quantile sind in diesem Beispiel angegeben mit F 9,9;0.025 = 48 und F 9,9;0.975 = f = 9752 liegt nicht im kritischen Bereich, d.h. H 0 kann nicht verworfen werden. Es gibt also keine signifikanten Unterschiede in den Varianzen. b) Für den Test auf Mittelwerte verwendet man den T-Test. Für σ 2 x = σ 2 y exakter Test) hat man folgende Teststatistik: T = X Ȳ Sp 2 + m n)

4 Dabei bezeichnet Sp 2 = m )S2 X +n )S2 Y die gepoolte empirische Varianz. D.h. m+n 2 man erhält: Sp 2 = = und 8 t = ) = H 0 wird verworfen wenn t t ν, α/2. Nachschauen in der Tabelle liefert mit ν = m + n 2 = 8): t 8,0.975 = H 0 : µ A = µ B kann also nicht verworfen werden. Analog der approximative Test wenn σx 2 σ2 Y ). Teststatistik: T = X Ȳ S 2 X m Die Freiheitsgrade berechnen sich durch: ν = m S 2 A S 2 A m + S2 Y n ) 2 + S2 B m n ) 2 + n ) S 2 2 B n Man erhält für ν = 3, H 0 wird verworfen wenn: t t ν, α/2. Nachschauen in der Tabelle liefert t 4,0.975 = H 0 kann also auch hier nicht verworfen werden. 4. Eine Konsumentenschutzorganisation möchte die Batterien einer speziellen Typs von vier Herstellern vergleichen. Dazu werden von jedem Hersteller 5 Batterien getestet und ihre Lebensdauer bei identer Belastung) gemessen. Aufgrund der nachfolgenden SPSS-Ausdrucke beantworte man folgende Fragen: a) Kann ein signifikanter Unterschied in den Lebensdauern der Batterien der vier Hersteller statistisch nachgewiesen werden? Welche Annahmen haben Sie bei der Beantwortung dieser Frage gemacht? b) Testen Sie die Hypothese, daß die mittlere Lebensdauer einer Batterie von Hersteller 3 kleiner ist als die mittlere Lebensdauer einer Batterie von Hersteller α = 0.0). c) Geben Sie ein 95% Konvidenzintervall für die durchschnittliche Lebensdauer einer Batterie von Hersteller 2 an. Lösung:

5 a) Der Verfasser des SPSS-Ausdrucks versuchte dieses Problem mit Hilfe einer einfachen Varianzanalyse ANOVA) yu analysieren. Um dies auf eine fundierte mathematische Basis zu stellen müssen folgende Annahmen getroffen werden: - Die Lebensdauern müssen innerhalb der Gruppen Hersteller) identisch unabhängig normalverteilt sein. - Die Varianz der Lebensdauern muss bei allen Herstellern übereinstimmen Varianzhomogenität). Der vorliegende Boxplot lässt die beiden obigen Annahmen zumindest nicht als grob fahrlässig erscheinen. Um einen signifikanten Unterschied diagnostizieren zu können, muss man quantifizieren, zu welchem Niveau man die Signifikanz definiert. Typische Werte sind α = 0., α = 0.05 oder α = 0.0. In jedem Fall liegt der gegebene p-wert der ANOVA Tabelle mit p = unter jedem realistischen Signifikanzniveau. Daher kann die Nullhypothese, dass alle Hersteller dieselbe Qualität liefern, verworfen werden. b) Da schon in Punkt a) die Homogenität der Varianzen angenommen wurde, kann ein exakter t-test auf Gleichheit der Mittelwerte bei unbekannten aber gleichen) Varianzen durchgeführt werden. Der Mittelwert des dritten Herstellers wird mit µ 3 und der Mittelwert des ersten Herstellers mit µ bezeichnet. H 0 : µ 3 µ H : µ 3 > µ Teststatistik: wobei: T = µ 3 µ s 2 p + ) m n µ 3 = µ = s x3 = s x =.543 m = n = 5 mit s 2 p = m ) s2 x 3 + n ) s 2 x m + n 2 Der realisierte Wert der Teststatistik ist nun: t = = =.0679 = Die Nullhypothese wird verworfen, wenn t t m+n 2; α ist. In unserem Fall ist t = = t 28;0.99

6 Also wird die Nullhypothese, dass die mittlere Lebensdauer einer Batterie vom Hersteller 3 zum Signifikanzniveau α = 0.0 kleiner als die mittlere Lebensdauer einer Batterie vom Hersteller ist, nicht verworfen. Ein richtig durchgeführter approximativer Test wird auch akzeptiert. c) Es gilt: x = 4.94 und s x = Ein 95% Konfidenzintervall für den Mittelwert x ist gegeben durch: [ x t n ; α 2 s x n, x + t n ; α 2 Mit t n ; α 2 = t 4;0.975 = aus der Tabelle gilt: s x n ] [ , ] [ , ]

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