Liegen 2 Beobachtungen an n Objekten vor, spricht man von einer gebundenen Stichprobe Typische Struktur bei "stimulus-response" Versuchen

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1 Mittelwertsvergleich bei gebundenen Stichproben Liegen Beobachtungen an n Objekten vor, spricht man von einer gebundenen Stichprobe Typische Struktur bei "stimulus-response" Versuchen Obj.1 Obj.... Obj.n Beobachtung-1 x 1 x... x n Beobachtung- y 1 y... y n Differenz d 1 d... d n Statistik für SoziologInnen 1

2 Mittelwertsvergleich bei gebundenen Stichproben Im Falle einer gebundenen Stichprobe kann die Fragestellung durch Differenzbildung der einzelnen Beobachtungen (Übergang auf d i =x i -y i ) auf den Einstichprobenfall reduziert werden. Diese Vorgangsweise ist auch effizienter als die Anwendung des Zweistichprobentests für Mittelwerte bei unbhängigen Stichproben Wenn bei gegebenen Daten eine paarweise Differenzbildung sinnvoll möglich ist, ist dies die adäquate Vorgangsweise Versuchsplanung: ==> Anstreben von gebundenen Stichproben (aus Sicht der Statistik) Statistik für SoziologInnen

3 Beispiel Düngemittel A und B werden auf 8 Versuchsfeldern unter konstanten Bedingungen getestet Feld Mittel A 8, 8,1 7,5 8, 8,5 8,4 7,8 8,0 8,09 B 8,1 7,3 7, 7,8 6,9 8, 7, 7,1 7,48 D 0,1 0,8 0,3 0,4 1,6 0, 0,6 0,9 0,61 Frage: besteht ein signifikanter Unterschied (=0,05) in bezug auf den Ernteertrag pro Hektar? Statistik für SoziologInnen 3

4 Beispiel H x s A d 0 : A B 8,0875 x 0,4883 H B 0 : D 0 7,475 d 0,615 s t t d 7,0,975 s d / 0,615 0,176 n,3646 0,4883 3,548 / 8 0,176 Lösungsansatz: 1-Stichprobentest angewendet auf die Differenzen pro Versuchsfeld Signifikantes Ergebnis p value 0,0093 H0 wird abgelehnt Statistik für SoziologInnen 4

5 Mittelwertsvergleich bei unabhängigen Stichproben Fall1: Varianzen seien bekannt (nur von theoretischem Interesse) Wir betrachten unabhängige Stichproben von Grundgesamtheiten Parameter der Grundgesamtheiten:,, N, N 1 Parameter der Stichproben: xx, s, s nn, Statistik für SoziologInnen 5

6 Modellannahmen Fall -1 Die beiden Stichproben sind unabhängig Entweder stammen die Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten, oder die Stichprobenumfänge n 1, n sind so groß, dass mit dem zentralen Grenzwertsatz die Normalverteilung der Mittelwerte gerechtfertigt werden kann Die Grundgesamtheiten N 1, N sind so groß (kleiner Auswahlsatz), dass der Korrekturfaktor (N-n)/(N-1) für endliche Grundgesamtheiten vernachlässigt werden kann. Die Varianzen der Grundgesamtheit sind bekannt Statistik für SoziologInnen 6

7 Teststatistik im Fall 1 Unter den obigen Annahmen ist z ( x1 x) ( 1 ) ~ N ( 01, ) n n 1 Und unter H 0 : 1 = z ( x1 x) ~ N ( 01, ) 1 n n 1 Statistik für SoziologInnen 7

8 Teststatistik im Fall 1 Im Spezialfall konstanter (homogener Varianzen) vereinfacht sich der Ausdruck für die Teststatistik wie folgt: 1 ² = ² = ² z ( x x ) ( x x ) ( x x ) 1 1 n n n n n n nn 1 Statistik für SoziologInnen 8

9 Mittelwertsvergleich bei unabhängigen Stichproben Fall-: Varianzen seien unbekannt a) Annahme homogener Varianzen Parameter der Grundgesamtheiten:, N, N 1 Parameter der Stichproben: Modellvorstellung in Bezug auf die Alternativen x, x s, s n, n 1 Dichtefunktion Statistik für SoziologInnen 9

10 Modellannahmen Falla Die beiden Stichproben sind unabhängig Entweder stammen die Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten, oder die Stichprobenumfänge n 1, n sind so groß, dass mit dem zentralen Grenzwertsatz die Normalverteilung der Mittelwerte gerechtfertigt werden kann Die Grundgesamtheiten N 1, N sind so groß (kleiner Auswahlsatz), dass der Korrekturfaktor (N-n)/(N-1) für endliche Grundgesamtheiten vernachlässigt werden kann. Die Varianzen der Grundgesamtheit sind unbekannt aber in beiden Gruppen gleich Statistik für SoziologInnen 10

11 Teststatistik im Fall a z t ( x x ) n n nn ( x x ) n n nn mit Wir greifen auf die Formel von Folie 8 zurück, müssen jetzt aber die Varianzen schätzen s ( n 1) s ( n 1) s 1 1 n n s..."pooled variance estimate Gewogener Mittelwert aus den beiden Varianzschätzungen der beiden Stichproben Die Teststatistik t ist bei Gültigkeit der Null- Hypothese t-verteilt mit n 1 +n - Freiheitsgraden Statistik für SoziologInnen 11

12 Beispiel zu Fall a Die durchschnittliche Intelligenz zweier Personengruppen soll verglichen werden Annahmen: IQ ist in jeder Gruppe normalverteilt und die Varianz ist in beiden Gruppen gleich groß n 1 x 130 s, n 10 x 17 s 18, H0: 1 H1: 1 t, 845 0, 0, 995 ( n1 1) s1 ( n 1) s 11, 9 18, s n n 0 ( x x ) t 345, n1 n 41, nn 10 Statistik für SoziologInnen 1 41,

13 Mittelwertsvergleich bei unabhängigen Stichproben Fall: Varianzen seien unbekannt b) Varianzen sind verschieden b1) große Stichproben Einsetzen der Stichprobenschätzer für die unbekannten Varianzen ist bei großen Stichproben unproblematisch b) kleine Stichproben Dem Einsetzen der Stichprobenschätzer für die unbekannten Varianzen muss bei kleinen Stichproben Rechnung getragen werden (Verwendung der t-verteilung alleine reicht nicht aus) Statistik für SoziologInnen 13

14 Teststatistik im Fall b1 Fall: Varianzen seien unbekannt b) Varianzen sind verschieden b1) große Stichproben Entweder stammen die Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten, oder wir können mit dem zentralen Grenzwertsatz die Normalverteilung der Mittelwerte rechtfertigen Unter H 0 (siehe Folie 7): ( x1 x) z ~ N ( 01, ) s s n n 1 Statistik für SoziologInnen 14

15 Beispiel zu Fall b1) Übungsgruppen von Studenten n1 40 x1 74 s1 8 n 50 x 78 s 7 H0: 1 H1: 1 z 196, z 0, 975 x x s s n n 1 Entscheidung: H1 p value 0, , Statistik für SoziologInnen 15

16 Teststatistik im Fall b Fall: Varianzen seien unbekannt b) Varianzen sind verschieden b) kleine Stichproben Die Stichproben stammen aus normalverteilten Grundgesamtheiten Fisher-Behrens-Problem Approximation nach Welch: Bei Gültigkeit von H 0 : t ( x x ) t wobei df ~ df s s n n 1 sn 1 ns 1 sn 1 ns /( n 1 1 ) n 1 1 Statistik für SoziologInnen 16

17 Beispiel zu Fall b) Gruppen von Autofahrern n 15 x 53 km/ h s, n 0 x 41 km/ h s 1,5 H t df t 0 1 s1 s,8 1,5 3,0,95 : H : x n x n 1,5 /14 1/ (11, 5) 3, 0 3 1,6939 Entscheidung : H 1, 56 Statistik für SoziologInnen 17

18 -Stichprobenfall mit unbekannter Varianz Homogenität der Varianzen? JA Fall a) Pooled Variance Estimate NEIN Große Stichproben? JA Große Stichproben Fall b1) Varianzschätzer für jede Stichprobe JA Fall b) Welsch-Approximation Statistik für SoziologInnen 18

19 Beispiel Messungen wurden an den selben Objekten bzw. Personen durchgeführt, weshalb eine Differenzbildung möglich ist Statistik für SoziologInnen 19

20 Korrekte Analyse mit SPSS Statistik für SoziologInnen 0

21 Analyse als unabhängige Stichproben Selben Daten wie zuvor aber als unabhängige Stichproben ausgewertet. Falls die Messungen an den selben Objekten bzw. Personen durchgeführt wurden, ist die Analyse ohne Berücksichtigung dieser Erhebungsstruktur ungenau und sollte nicht verwendet werden! Statistik für SoziologInnen 1

22 T-Test mit unabhängigen Gruppen mit SPSS Keine signifikante Differenz!!! Statistik für SoziologInnen

23 Test auf Gleichheit der Varianzen Natürlich existiert auch ein Testverfahren, mit dem man testen kann, ob die Varianzen von Gruppen gleich oder verschieden sind. In manchen Büchern wird empfohlen, die Wahl der Methode für den Mittelwertsvergleich in Abhängigkeit von diesem Test zu treffen. Wenngleich dies in der Praxis häufig angewendet wird, ist dies im streng konfirmatorischen Sinn kein valides Vorgehen, da ja auch der Test auf Gleichheit der Varianzen fehlerbehaftet ist (-, -Fehler). Die Wahl der Methode (des konkreten Testverfahrens) ist streng konfirmatorisch unbedingt vor Ansicht der Daten zu treffen, wenn man das -Niveau einhalten will. Der Test auf Gleichheit kann als diagnostisches Hilfsmittel verstanden werden, ob ein ex ante gewählte Modell passt. Statistik für SoziologInnen 3

24 Vergleich von Varianzen mit F-Test Unter der Annahme, dass die Daten aus normalverteilten Grundgesamtheiten stammen, existiert ein einfacher Test auf Gleichheit der beiden Varianzen. Dabei bildet man den Quotienten der beiden Stichprobenvarianzen, welcher bei Gültigkeit der H 0 F-verteilt ist mit Freiheitsgraden n 1-1 und n -1 SPSS verwendet einen Test auf Gleichheit der Varianzen, der ohne der Annahme der Normalverteilung auskommt. (Details dazu später) Statistik für SoziologInnen 4

25 Vergleich von Varianzen Beachte, dass beim einseitigen Test jene Varianz im Zähler des Bruchs steht, von der wir zeigen wollen, dass sie größer ist. Beim zweiseitigen Test steht immer die größere Varianz im Zähler des Bruchs. Statistik für SoziologInnen 5

26 Beispiel zum Vergleich von -Varianzen Wir haben Beobachtungen aus Gruppen Der Boxplot zeigt deutlich, dass in Gruppe 1 die Streuung wesentlich größer zu sein scheint. Statistik für SoziologInnen 6

27 Einseitiger Signifikanztest Ho: 1 ² ² H A : 1 ² > ² Alpha = 0,05 Kritischer F-Wert: df = 19, df = 4,04 s 1 ² = 164,16 s ² = 4,09 Varianz-Quotient: 3,90 Testwert > kritischer Wert signifikantes Ergebnis p-value = 0,00103 Statistik für SoziologInnen 7

28 Zweiseitiger Signifikanztest Ho: 1 ² = ² H A : 1 ² ² Alpha = 0,05 Kritischer F-Wert: df = 19, df = 4,345 s 1 ² = 164,16 s ² = 4,09 Varianzquotient: 3,90 Testwert > kritischer Wert signifikantes Ergebnis p-value = Statistik für SoziologInnen 8