Vergleich von Gruppen I

Transkript

1 Vergleich von Gruppen I t-test und einfache Varianzanalyse (One Way ANOVA) Werner Brannath VO Biostatistik im WS 2006/2007

2 Inhalt Der unverbundene t-test mit homogener Varianz Beispiel Modell Teststatistik und p-wert Nullverteilung Einfache Varianzanalyse (One Way ANOVA) Vom t-test zur ANOVA One Way ANOVA für drei Gruppen One Way ANOVA für k Gruppen

3 Der unverbundene t-test für homogene Varianzen Zum Vergleich zweier unverbundener Stichproben bezüglich eines metrischen Merkmals. Testet ob die Mittelwerte der Grundgesamtheit (Erwartungswerte) verschieden sind. Setzt voraus, dass die arithmetischen Mittelwerte in jeder Gruppe normalverteilt sind. Setzt voraus, dass die Varianzen der Beobachtungen in beiden Gruppen gleich gross sind, d.h. die Varianzen homogen sind.

4 Beispiel für t-test für zwei unverbundene Stichproben Geburtsgewicht von 50 Kindern mit schwerem idiopathic respiratory distress syndrom Überlebende Kinder (n 1 = 23) Verstorbene Kinder (n 2 = 27)

5 Boxplots Geburtsgewicht (kg) Baby verstorben Baby lebt

6 Mittelwerte und Standardabweichungen Überlebende Kinder (n 1 = 23): Mittelwert ȳ 1 = P n1 j=1 y 1j n 1 = Standardabweichung s 1 = Pn1 j=1 (y 1j ȳ 1 ) 2 n 1 1 = Verstorbene Kinder (n 2 = 27): Mittelwert ȳ 2 = P n2 j=1 y 2j n 1 = Standardabweichung s 2 = Pn2 j=1 (y 2j ȳ 2 ) 2 n 2 1 = 0.518

7 Fragestellung im Beispiel Sind die Unterschiede im mittleren Geburtsgewicht durch reinen Zufall erklärbar, d.h. gilt... H 0 : Die beiden Gruppen haben (in Wirklichkeit) ein identisches mittleres Geburtsgewicht. oder sind die Unterschiede nicht alleine durch Zufall erklärbar, d.h. gilt... H 1 : Die beiden Gruppen unterscheiden sich in ihrem mittleren Geburtsgewicht.

8 Vergleich der Gruppen Differenz der Mittelwerte: ȳ 1 ȳ 2 = Gemeinsame Varianz s 2 = (n 1 1) s (n 2 1) s 2 2 n 1 + n 2 2 = = Gemeinsame Standardabweichung: s = s 2 = 0.590

9 Zweiseitiger unverbundener t-test mit homogenen Varianzen (Software R) > t.test(sirdsa,sirdsd,var.equal=t) Two Sample t-test data: sirdsa and sirdsd t = , df = 48, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 sample estimates: mean of x mean of y

10 Modell = Annahmen über Grundgesamtheit Überlebende Kinder: Geburtsgewicht normalverteilt Erwartungswert (Mittelwert) µ 1 Standardabweichung σ Dichte Gewicht (kg) Verstorbene Kinder: Geburtsgewicht normalverteilt Erwartungswert (Mittelwert) µ 2 Standardabweichung σ Dichte Geburtsgewichte unabhängig Gewicht (kg)

11 Dichten der Normalverteilung Dichte versch. Mittelwerte Dichte versch. Standardabw

12 Teststatistik t n 1, n 2 Stichprobenumfänge; ȳ 1, ȳ 2 die Mittelwerte s die gemeinsame Standardabweichung Teststatistik des unverbundenen t-tests t = 1 (ȳ 1 ȳ 2 )/s 1 n n 2 Je grösser der Absolutwert von t desto unplausibler H 0.

13 Der p-wert als Plausibilitätswert für H 0 Man denke an zweite unabhängige Studie ebenfalls mit zwei Stichproben der Größe n 1 = 23 und n 2 = 27, Stichproben aus einer Grundgesamtheit in der die Nullhypothese H 0 : µ 1 = µ 2 gilt, ansonsten alles wie in der Grundgesamtheit unserer Studie ist, d.h.: die Geburtsgewichte normalverteilt sind und die Varianz σ 2 wie in unserer Studie ist.

14 Der p-wert als Plausibilitätswert für H 0 Bezeichnen mit t die t-teststatistik der zweiten Studie. Defintion des p-werts Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Absolutwert von t grösser als der Absolutwert von t? p Wert = P(t 2 > t 2 ) Welche Verteilung hat t 2?

15 Bestimmung der H 0 -Verteilung von t 2 Quadrat der t-teststatistik t 2 = = (ȳ 1 ȳ 2 ) 2 ( 1 n1 + 1 n2 ) s 2 (ȳ 1 ȳ 2 ) 2 / s 2 ( ) σ σ 2 n1 n2 = Zähler/Nenner

16 Verteilung vom Zähler ȳ 1 ȳ 2 normalverteilt mit E(ȳ 1 ȳ 2 ) = µ 1 µ 2 und Var(ȳ 1 ȳ 2 ) = Var(ȳ 1 ) + Var(ȳ 2 ) = σ2 n 1 + σ2 n 2. Falls H 0 : µ 1 = µ 2, dann ȳ 1 ȳ 2 Zähler = N(0, 1) σ 2 n 1 + σ2 n 2 Damit ist auch die H 0 -Verteilung vom Zähler bekannt!

17 Definition der χ 2 k -Verteilung Definition Z 1, Z 2,..., Z k unabhäng und N(0, 1)-verteilt Man nennt die Verteilung der Zufallsvariablen X 2 = Z Z Z 2 k die χ 2 -Verteilung mit k Freiheitsgraden, kurz X 2 χ 2 k Beispiel Wenn H 0 : µ 1 = µ 2 dann Zähler χ 2 1

18 Dichten der χ 2 k -Verteilungen Dichte Freiheitsgrade

19 Summeneigenschaft Summeneigenschaft der χ 2 -Verteilungen Wenn X 2 1 χ 2 k 1 und X 2 2 χ 2 k 2 und X 2 1 und X 2 2 sind unabhängig, dann ist X X 2 2 χ 2 k 1 +k 2 Beispiel X 2 1 χ2 22 und X 2 2 χ2 26, dann X X 2 2 χ2 48

20 Verteilung vom Nenner Nenner: s 2 σ 2 = (n s1 1 1) 2 + (n σ 2 2 1) s2 2 σ 2 n 1 + n 2 2 Es ist bekannt, dass (n 1 1) s2 1 σ 2 χ2 n 1 1 und (n 2 1) s2 2 σ 2 χ2 n 2 1 Ausserdem sind s 1 und s 2 unabhängig.

21 Verteilung vom Nenner Wegen der Summeneigenschaft der χ 2 -Verteilung X 2 = (n 1 1) s2 1 σ 2 + (n 2 1) s2 2 σ 2 χ 2 n 1 +n 2 2 Somit ist die Verteilung von Nenner = {(n 1 1) s2 1 σ 2 + (n 2 1) s2 2 σ 2 }/(n 1 + n 2 2) die χ 2 -Verteilung mit n 1 + n 2 2 Freiheitsgraden geteilt durch n 1 + n 2 2 Symbolisch: Nenner χ 2 n 1 +n 2 2 /(n 1 + n 2 2).

22 Verteilung von t 2 t 2 = Zähler/Nenner Zähler χ 2 1 Nenner χ 2 n 1 +n 2 2 /(n 1 + n 2 2), Zähler und Nenner sind unabhängig. Die Verteilung von t 2 heißt F-Verteilung mit 1 und n 1 + n 2 2 Freiheitsgraden.

23 ANOVA für Geburtsgewichte > summary(aov(sirds Gruppe)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Gruppe Residuals ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-test: F value... ist identisch zu t 2 = Pr(>F)... ist identisch zum p-wert des t-tests Erkläre als nächstes Mean Sq und Sum Sq!

24 Definition von Mean Sq t 2 = = (ȳ 1 ȳ 2 ) 2 /( 1 n n 2 ) {(n 1 1) s (n 2 1) s 2 2 }/(n 1 + n 2 2) Mean Sq Gruppe Mean Sq Residuals = = 13.5

25 Defintion von Sum Sq Residual Sum Sq Residuals Sum Sq Residuals = (n 1 1) s (n 2 1) s 2 2 = n 1 n 2 (y 1j ȳ 1 ) 2 + (y 2j ȳ 2 ) 2 j=1 j=1... ist Summe der Abweichungsquadrate der individuellen Beobachtungen vom jeweiligen Gruppenmittelwert;... wird auch Quadratsumme innerhalb der Gruppen (sum of squares within groups) genannt.

26 Sum Sq Gruppe bei zwei Gruppen Betrachten den Gesamtmittelwert: ȳ = n1 j=1 y 1j + n 2 j=1 y 2j n 1 + n 2 = n 1 n 1 + n 2 ȳ 1j + n 2 n 1 + n 2 ȳ 2j Man kann ausrechnen, dass Sum Sq Gruppe = (ȳ 1 ȳ 2 ) 2 /( 1 n n 2 ) = n 1 (ȳ 1 ȳ) 2 + n 2 (ȳ 2 ȳ) 2

27 Definition Sum Sq Gruppe Sum Sq Gruppe Sum Sq Gruppe = n 1 (ȳ 1 ȳ) 2 + n 2 (ȳ 2 ȳ) 2... ist Summe der Abweichungsquadrate der zwei Gruppenmittelwerte zum Gesamtmittelwert;... wird Quadratsumme zwischen den Gruppen (sum of squares between groups) genannt.

28 Beziehung zwischen Sum Sq und Mean Sq Mean Sq Gruppe = Sum Sq Gruppe 1 Mean Sq Residuals = Sum Sq Residuals (n 1 + n 2 2) F Statistic = Mean Sq Gruppe Mean Sq Residual

29 Verteilungen unter H 0 : µ 1 = µ 2 Mean Sq Gruppe χ 2 1 /1 Mean Sq Residuals χ 2 n 1 +n 2 2 /(n 1 + n 2 2) F Statistic χ2 n 1 +n 2 2 /(n 1 + n 2 2) χ 2 1 /1 = F 1,n1 +n 2 2

30 Vergleich von drei Gruppen - Beispiel 22 Patienten mit künstlicher Beatmung wurden drei Beatmungsgruppen per Zufall zugeteilt (randomisiert) Gruppe A: 50% Stickoxid und 50% Sauerstoffgemisch für 24 Stunden. Gruppe B: 50% Stickoxid und 50% Sauerstoffgemisch nur wärend der Operation. Gruppe C: kein Stickoxid, 35-50% Sauerstoff für 24 Stunden. Endpunkt: Die Wirkung der Beatmung wird durch die Blutplättchenzahl nach 24 stündiger Beatmung beurteilt.

31 Beispiel: Fragestellung Unterscheiden sich die drei Methoden in ihrer Wirkung auf die Bluttplättchenzahl?

32 Beispiel: Blutplättchenzahl Gruppe A Gruppe B Gruppe B n = 8 n = 9 n = arithm. Mittel Standardabw

33 Beispiel: Boxplots der Blutblättchenzahl Blutplättchenzahl A B C Gruppe

34 Beispiel: Vergleich der Mittelwerte Sind die Unterschiede in der mittleren Blutplättchenzahl durch reinen Zufall erklärbar, d.h. gilt... H 0 : Die drei Beatmungsmethoden wirken (in Wirklichkeit) gleich auf die durchschnittliche Blutplättchenzahl. oder sind die Unterschiede nicht alleine durch Zufall erklärbar, d.h. gilt... H 1 : Die Beatmungsmethoden unterscheiden sich in ihrer Wirkung auf die durchschnittliche Blutplättchenzahl.

35 ANOVA für Blutplättchenzahl > summary(aov(foliate Group,data=redcell)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Group Residuals Im folgenden betrachten wir: Sum Sq Group und Sum Sq Group Mean Sq Group und Mean Sq Group F value und seine Verteilung.

36 Defintion der Qudratsummen Quadratsumme zwischen den Gruppen Sum Sq Gruppe = n 1 (ȳ 1 ȳ) 2 + n 2 (ȳ 2 ȳ) 2 + n 3 (ȳ 3 ȳ) 2 Quadratsumme innerhalb der Gruppen Sum Sq Residuals = = (n 1 1) s (n 2 1) s (n 3 1) s 2 3 n 1 n 2 = (y 1j ȳ 1 ) 2 + (y 2j ȳ 2 ) 2 + (y 3j ȳ 3 ) 2 j=1 j=1 j=1 n 3

37 Mittlere Qudratsummen Mean Sq Gruppe = Sum Sq Gruppe 2 Mean Sq Residuals = Sum Sq Residuals (n 1 + n 2 + n 3 3) F Statistic = Mean Sq Gruppe Mean Sq Residual

38 Verteilungen unter H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 Mean Sq Gruppe χ 2 2 /2 Mean Sq Residuals χ 2 n 1 +n 2 +n 3 3 /(n 1 + n 2 + n 3 3) F Statistic F 2,n1 +n 2 +n 3 3

39 ANOVA mit k Gruppen k... Gruppen n i... Stichprobengrösse der Gruppe i (i = 1,..., k) N = k i=1 n i... Gesamtzahl der Beobachtungseinheiten µ i... Mittelwert der Grundegesamtheit in Gruppe i σ 2... gemeinsame Varianz in der Grundgesamtheit Modell y ij = µ i + ε ij, ε ij N(0, σ 2 ) unabhängig Hypothesen H 0 : µ 1 = = µ k, H 1 : µ i µ j für mind. eine i und j

40 Defintion der Qudratsummen bei k Gruppen Quadratsumme zwischen Gruppen (between groups) Sum Sq Gruppe = k n i (ȳ i ȳ) 2 i=1 Quadratsumme innerhalb der Gruppen (within groups) Sum Sq Residuals = k i 1 (n i 1) s 2 i = k n i (y ij ȳ i ) 2 i=1 j=1

41 Mittlere Qudratsummen Mean Sq Gruppe = Sum Sq Gruppe k 1 Mean Sq Residuals = Sum Sq Residuals (N k) F Statistic = Mean Sq Gruppe Mean Sq Residual

42 Verteilungen unter H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ k Mean Sq Gruppe χ 2 k 1 /k 1 Mean Sq Residuals χ 2 N k /(N k) F Statistic F k 1,N k