Im Modell der Varianzanalyse (mit festen Effekten) ist das. aus dem Durchschnittsmesswert für y plus dem Effekt des.

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1 Einfatorielle Varianzanalyse Varianzanalyse untersucht den Einfluss verschiedener Bedingungen ( = nominalsalierte(r) Variable(r)) auf eine metrische Variable. Die Bedingungen heißen auch atoren und ihre Ausprägungen (ator-)stufen. Die abhängige metrische Variable sollte normalverteilt sein und die atorstufen homogene Varianzen haben. Varianzzerlegung Im Modell der Varianzanalyse (mit festen Effeten) ist das Messergebnis y (all i in der atorstufe ) gleich der Summe aus dem Durchschnittsmesswert für y plus dem Effet des treatments plus dem Effet des einzelnen alls ε : y = y + (y y) + ε Im lassischen Experiment werden Versuchspersonen zufällig auf gleich große Gruppen (= atorstufen) aufgeteilt, die eweils unter anderen Umständen (sog. treatments) dieselbe Aufgabe lösen müssen. Durch diese Versuchsanordnung ist gesichert, dass die treatments unabhängig voneinander sind und die atorstufen homogene Varianzen haben. Müller-Benedict:Statist II/8 Müller-Benedict:Statist II/8 Modell der VA mit festen Effeten Varianzzerlegung i ε i ( ) Im Modell der Varianzanalyse (mit festen Effeten) ist das Messergebnis y (all i in der atorstufe ) gleich der Summe aus dem Durchschnittsmesswert für y plus dem Effet des treatments plus dem Effet des einzelnen alls ε : y = y + (y y) + ε Das Verfahren der Varianzzerlegung teilt die Gesamtvarianz eines Datensatzes genauso auf: in einen (durch die treatments) erlärten und einen nicht-erlärten Teil (die restliche Varianz innerhalb der Gruppen). Es gilt nämlich für die Abstandsquadrate: 3 atorstufe T = Z + I Müller-Benedict:Statist II/8 3 Müller-Benedict:Statist II/8 4

2 Stufenmittelwerte und -streuungen erlärte + nicht erlärte Varianz T = i Z + I i3 3 i 3 atorstufe Müller-Benedict:Statist II/8 5 der Varianzanalyse Die Abstandsquadrate vom Gesamtmittelwert sind Die Abstandsquadrate der atorstufenmittelwerte vom Gesamtmittelwert ( Zwischen den atorstufen ) sind T = (y ) = i= n Z = (y ) = n (y ) = i= = n n I = (y y ) = i= engl. SS T ( Total ) SS b ( between ) Die Abstandsquadrate der Daten zu den einzelnen atorstufenmittelwerten ( Innerhalb der atorstufen ) sind engl. SS w ( within ) Müller-Benedict:Statist II/8 6 reiheitsgrade Bestimmung der reiheitsgrade ( df = degrees of freedom) für die s ( N = n + n n ) : df ( T ) = N ( Gesamtmittelwert) df ( Z ) = ( Stufenmittelwerte, Gesamtmittelwert) df ( I ) = N ( Stufenmittelwerte) Die drei verschiedenen Varianzen (total, zwischen und innerhalb der Gruppen) ergeben sich aus den geteilt durch die eweiligen reiheitsgrade. Test der Varianzanalyse Die Prüfgröße der Varianzanalyse ist das Verhältnis der Varianz, die durch die atorstufenmittelwerte verursacht wird, zu der Varianz, die durch die Streuung der Daten innerhalb der atorstufen hervorgerufen wird. (" zwischen den atorstufen")/ df(z ) = ("innerhalb der atorstufen")/ df( ) Die Prüfgröße der Varianzanalyse ist -,N- verteilt mit (-) und (N-) reiheitsgraden. I Wenn > -,N-;α, dann besteht ein Unterschied zwischen den atorstufen. Müller-Benedict:Statist II/8 7 Müller-Benedict:Statist II/8 8

3 Beispiel Beispiel Industrial 4,30,80 Murder rates Trade 5,0 6,0 Political,50 3,0 Total Quelle: Blaloc, Social Statistics, S. 337 ür eine Studie wurden die untersuchten Personen eweils einer von vier Gruppen A, B, C oder D mit unterschiedlichem reizeitverhalten zugeordnet. Zudem wurde die Einstellung zum Konsum auf einer 5-stufigen Sala (von 0 bis 4) erfasst. Ist die so gemessene Konsumeinstellung signifiant unabhängig von der Gruppenzugehörigeit, d.h. vom reizeitverhalten? olgende Kennzahlen wurden schon aus den erhobenen Daten berechnet:,30,80,60 Desriptive Statisti für reizeitverhalten 6,30 9,50 6,0 Gruppe Konsumeinstellung N x s nx (n-)s 5,90 7,70 9,0 0,0 4,0 3,60,0 3,30 3,80 7,0,40,90 A B C D ,67,83,0,7,35,3,5,58 49,00 305,0 63,00 43,00 6,55 9, 60,97 65,5 Quelle: AVUD 005 Sums 68,60 44,80 47,60 Means 8,58 5,60 5,95 6,7 Nr. cases 8, Df Varianz Zwischen Innerhalb 4,3 33,4 df Varianz,5 5,77,34 Zwischen Innerhalb 30,5 96, ,5 / 3 = 0,08 96,78 / 75 =,7 0,08 /,7 = 5,93 Müller-Benedict:Statist II/8 9 Müller-Benedict:Statist II/8 0 Beispiel: Selbstmanagement und Schulabschluss Grafi zur Varianzanalyse Selbstmanagement : = : Wie wichtig findest Du folgende Eigenschaften (Sala von bis 5): -diszipliniert sein -sich im Griff haben, Selbstbeherrschung zeigen -sich in eine Ordnung einfügen, sich anpassen önnen -bescheiden sein -gründlich sein in allen Dingen -regelmäßig feste Summen sparen (Shell Jugend-Studie 000) angestrebter Schulabschluss: HS, RS, HS, ABI ONEWA ANOVA r. 9/3: Selbstmanagement - Disziplin und Einordnungsvermögen Zwischen den Gruppen Innerhalb der Gruppen Gesamt Quadrats Mittel der umme df Quadrate 405, ,6 7,76, , , , % CI Selbstmanagement 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 9,8 9,6 9,4 N = (m Hochschul angestrebter In sog. Post-hoc-Tests wird bei multiplen Mittelwertvergleichen festgestellt, welche atorstufen für den Gesamtunterschied verantwortlich sind. Müller-Benedict:Statist II/8 Müller-Benedict:Statist II/8

4 Multiples Testen Wenn mehr als Stichproben verglichen werden, spricht man von multiplem Testen. Durch multiples Testen erhöht sich die Wahrscheinlicheit eines α-ehlers. Man geht deshalb in Schritten vor:. Es wird für alle Stichproben gemeinsam getestet, ob Unterschiede bestehen.. Dann werden eweils Paare von Stichproben daraufhin getestet, ob Unterschiede bestehen, um herauszubeommen, welche Stichprobe(n) den Gesamtunterschied verursachen. r. 9/3: Selbstmanagement - Disziplin und Einordnungsvermögen Varianzen sind gleich Varianzen sind nicht gleich Levene-Test der Varianzgleichheit Test bei unabhängigen Stichproben T df Sig. (-seitig) T-Test für die Mittelwertgleichheit 3,43,076 3,494 47,000,60,7,64,940 3, ,483,00,60,75,59,945 Müller-Benedict:Statist II/8 3 Mittlere Differenz 95% Konfidenzintervall Standardfehle r der Differenz der Untere Differenz Obere Post hoc - Tests Abhängige Variable: r. 9/3: Selbstmanagement - Disziplin und Einordnungsvermögen LSD (I) rage 59a: Erreichter/ angestrebter (J) rage 59a: Erreichter/ angestrebter Mittlere Standardf Differenz (I-J) -,06 ehler,70,706 Untergrenze -,40 Obergrenze,7,,74,4 -,3,76,60*,73,00,6,94,06,70,706 -,7,40,8,58,7 -,,79,67*,47,000,38,95 -,,74,4 -,76,3 -,8,58,7 -,79,,38,60,4 -,3,89 -,60*,73,00 -,94 -,6 -,67*,47,000 -,95 -,38 -,38,60,4 -,89,3 *. Die mittlere Differenz ist auf der Stufe.05 signifiant. Weitere Möglicheiten von n: Bonferroni-, Scheffé-, Duncan-, Tuey-,... Tests Müller-Benedict:Statist II/8 4 Post hoc - Tests Beispiel: Sicherung eig. Lebensbereiche und Schulabschluss Abhängige Variable: r. 9/3: Selbstmanagement - Disziplin und Einordnungsvermögen Bonferroni (I) rage 59a: Erreichter/ angestrebter (J) rage 59a: Erreichter/ angestrebter Mittlere Standardf Differenz (I-J) -,06 ehler,70,000 Untergrenze -,5 Obergrenze,38,,74,000 -,50,94,60*,73,003,4,06,06,70,000 -,38,5,8,58,000 -,40,96,67*,47,000,8,05 -,,74,000 -,94,50 -,8,58,000 -,96,40,38,60,848 -,30,07 -,60*,73,003 -,06 -,4 -,67*,47,000 -,05 -,8 -,38,60,848 -,07,30 *. Die mittlere Differenz ist auf der Stufe.05 signifiant. Sicherung eigener Lebensbereiche = Mag geschehen was will, meine Interessen und mein Privatleben werde ich nicht aufgeben Egal, wie sich die Welt in der Zuunft verändert, ich bin sicher, dass ich immer mein eigenes Leben führen... Gerade, wenn alles unübersichtlich ist, braucht man einen überschaubaren Lebensbereich... Irgendwo muss man seinen Punt haben, an den man immer wieder zurücehren ann 95% CI Sicherung eig. Lebensber. 6,0 5,9 5,8 5,7 5,6 5,5 5,4 N = (m Hochschul angestrebter Müller-Benedict:Statist II/8 5 Müller-Benedict:Statist II/8 6

5 Kontraste Hausaufgabe Von Kontrasten spricht man, wenn die atorstufen zu Gruppen zusammengefasst werden, deren Mittelwerte sich aus gewichteten Summen der in den ew. Gruppen befindlichen atorstufen ergeben. Die Gesamtsumme der Gewichte sollte dabei 0 sein. Der Test ist der t-test für Differenzen von unabhängigen Stichproben. Beispiel: Man testet achhochschule und Abitur gegen Realschule und Hauptschule. Dann sind die Gewichte eweils 0.5 und 0.5, und man testet als Prüfgröße D = 0.5 Mittelw.(Abi) Mittelw.(HS) 0.5 Mittelw.(RS) 0.5 Mittelw (HS) r. 9/3: Selbstmanagement - Disziplin und Einordnungsvermögen Varianzen sind gleich Varianzen sind nicht gleich Kontrast Kontrast-Tests Kontrastwert Standardf ehler T df (-seitig) -,44,55 -, ,004 -,44,58 -,80 846,558,005 Müller-Benedict:Statist II/8 7. Es wurden 5 verschieden Verfahren der Entscheidungsfindung bzgl. ihrer Entscheidungssicherheit, die von 0 = völlig unsicher bis 00 = völlig sicher gemessen wurde, in 5 Versuchgruppen a 5 Personen getestet. Es ergaben sich folgende s: T = 9,6, I = 964,667. a) Berechnen Sie die Prüfgröße b) Der entsprechende ritische -Wert aus einer -Werte-Tabelle ist 3,6. Was entscheiden Sie bzgl. der Modelle?. In der Shell- Jugendstudie 00 wurde der Index Erlebter Gegensatz der Generationen erhoben. Mit diesem Index soll getestet werden, ob die Generations-Gegensätze in Stadt oder Land (Code: = Orte bis Ew, 6 = , 7 über Ew) unterschiedlich star erlebt werden. SPSS gibt als Ergebnis einer Varianzanalyse folgende Resultate aus: Was schließen Sie? ONEWA ANOVA r. 4/8: Erlebter Gegensatz der Generationen Quadrats umme df Mittel der Quadrate Zwischen den Gruppen 56,8 8,4 5,369,000 Innerhalb der Gruppen 37869, ,336 Gesamt 385, Abhängige Variable: r. 4/8: Erlebter Gegensatz der Generationen Bonferroni (I) V63N,00 (J) V63N,00,00 Mittlere Standardf Differenz (I-J) ehler Untergrenze Obergrenze -,,5,934 -,39,6 -,66*,9,000 -,95 -,38,,5,934 -,6,39 -,54*,48,00 -,90 -,9,66*,9,000,38,95,54*,48,00,9,90 *. Die mittlere Differenz ist auf der Stufe.05 signifiant. Müller-Benedict:Statist II/8 8

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