Statistische Auswertung der Daten von Blatt 13

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1 Statistische Auswertung der Daten von Blatt 13 Problemstellung 1 Graphische Darstellung der Daten 1 Diskussion der Normalverteilung 3 Mittelwerte und deren Konfidenzbereiche 3 Signifikanz der Behandlung 3 Benötigter Stichprobenumfang 4 Anhang: Umsetzung der Analyse in R 5 Problemstellung Die Gewichtszunahme von männlichen Ratten (in Gramm) nach einem zweimonatigen Toxizitätsversuch wurde für Tiere unter Placebo (Gruppe 1) und unter der Testsubstanz (Gruppe 2) gemessen: Gruppe 1: 325, 375, 356, 374, 412, 418, 445, 379, 403, 431, 410, 391, 475 Gruppe 2: 307, 268, 275, 291, 314, 340, 305, 279, 323, 342, 341, 320, 329, 376, 322, 378, 334, 345, 302, 309, 311, 310, 360, 361 Graphische Darstellung der Daten Um einen Eindruck von den Verteilungen der Daten zu bekommen, kann man auf mehrere Weisen vorgegangen werden. Methode 1: Die gute, alte Methode ist die Darstellung der Boxplots auf einer Skala zum Vergleich der Mittelwerte und Varianzen, und das anschliessende Ausgeben der beiden Histogramme, um auf einen ersten Hinweis auf die Verteilungen zu bekommen. Falls ein Histogramm sehr deutlich bimodal ("zweigipflig") ist, kann eine Normalverteilung zum Beispiel sofort ausgeschlossen werden. Ähnlich ist es, wenn die Daten sehr unsymmetrisch sind (dann sollte man versuchen, z.b. mit einer Gamma-Verteilung zu argumentieren). Diese Methode setzt zum Beispiel nicht den Zugang zu einem Statistik-Programm voraus. Falls die Histogramme auf einer Skala angezeigt werden, ist es zwingend erforderlich, nicht die absolute Häufigkeit als Bezugspunkte zu wählen - die Histogramme müssen so normalisiert werden, dass das Integral 1 ergibt.

2 Boxplots der beiden Stichproben: Histogramme der beiden Stichproben: Histogramme der beiden Stichproben auf einer Skala:

3 Methode 2: Die deutlich modernere Methode (die nicht nur vorzuziehen ist, sondern sich auch besser verkaufen lässt), ist die Darstellung der Dichteschätzer auf einer Skala. Die oben erwähnten Effekte lassen sich so noch viel deutlicher ablesen. Diskussion der Normalverteilung Methode 1: Wendet man den Shapiro-Wilk-Test auf die Daten an, so ergeben sich die p-werte 1 (Gruppe 1) und (Gruppe 2). Es kann also von einer Normalverteilung der Daten ausgegangen werden. Methode 2: Die statistisch etwas unsaubere Methode via Schätzen der Parameter und Anwenden des Kolmogoroff-Smirnoff-Tests ergibt ein ähnliches Bild. Die p-werte der Tests sind und , auch mit Hilfe dieser Methode kann davon ausgegangen werden, dass eine Normalverteilung der Gruppen vorliegt. Mittelwerte und deren Konfidenzbereiche Für die Mittelwerte und 95%-Konfidenzbereiche des Erwartungswertes der Gruppen ergibt sich: Für die erste Stichprobe ist der Mittelwert , der Erwartungswert liegt zum Niveau 95% im Intervall [375.77, ]. Für die zweite Stichprobe ist der Mittelwert ist, der Erwartungswert liegt zum Niveau 95% im Intervall [310.08, ]. Signifikanz der Behandlung Bereits die graphische Darstellung weist darauf hin, dass die Stichproben heteroskedastisch verteilt sind (i.e. ungleiche Varianzen haben). Folglich liegt hier ein Behrens-Fisher-Problem vor. Mit der Approximation von Welch erhält man, dass die Hypothese zum Niveau 10% verworfen werden kann. Zudem könnte man mit Hilfe des F-Tests auf den Unterschied der Varianzen testen - dies ist jedoch nicht erforderlich, da die Annahme unterschiedlicher Varianzen zu einem konservativeren Test

4 führt. Zudem gibt es Untersuchungen, die belegen, dass man allgemein immer den Test für das Behrens-Fisher-Problem anwenden sollte (im Sinne der Vollständigkeit ist der F-test im Anhang zu finden - jedoch ist nicht klar, was man aus dem Ergebnis schließen sollte). Benötigter Stichprobenumfang In Folgenden wird die nötige Anzahl der Versuche, um einen Unterschied von 20g bei einem Testniveau von 5% mit Wahrscheinlichkeit 90% aufzudecken, ungefähr ermittelt. Dies geschieht wie folgt: Man schätzt die Varianzen in den Gruppen, und verwendet danach die Abschätzung für die Macht des Gauss-Tests für unverbundene Stichproben. Die Wahl des Verhältnisses der Mächtigkeit sollte eigentlich mit dem Versuchsleiter abgesprochen werden - im folgenden gehen wir einfach von 1 aus. Unter diesen Annahmen ergibt sich, dass etwa 64 Versuche in beiden Gruppen benötigt. Nun kann noch die Güte der Approximation im gewählten Modell mit Hilfe der Faustregel aus der Vorlesung überprüft werden. Es ergibt sich ein Wert von , die Approximation ist also gut. Es könnte natürlich passieren, dass die Approximation mit Hilfe des Gauß-Tests eine zu große Abweichung von der wahren Macht mit sich bringt. Da die Parameter geschätzt wurden, ist davon auszugehen, dass in Wahrheit mehr Versuche notwendig sind, um die vorgegebene Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art zu erreichen. Um hier ganz sicher zu gehen, kann die Macht mit Hilfe einer Monte-Carlo-Simulation bestimmt werden. Jedoch ist zunächst unklar, wie man mit das für unbekannten Erwartungswert und Varianzen durchführen kann. Die Lösung liegt hier darin, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu betrachten: Bedingt auf die beobachteten Werte Mittelwerte und Varianzschätzer erhält man mit Hilfe der Formeln für die entsprechenden Konfidenzintervalle die Umkehrfunktionen der Verteilungsfunktionen für μ und σi 2. Transformiert man nun auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable mit der entsprechenden Umkehrfunktion, so erhält man Zufallsvariable, die nach der jeweiligen Verteilung verteilt sind. In Abhängigkeit dieser zufälligen Werte kann nun eine Monte-Carlo-Simulation gestartet werden. Man erhält so einen höheren Wert für die benötigte Stichprobenmenge: Für 78 Stichproben wird die vorgegebene Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art angenommen. Für den zu Beginn angegebenen Wert ergibt sich eine Macht von ca

5 Anhang: Umsetzung der Analyse in R Einlesen der Daten x<- c(325, 375, 356, 374, 412, 418, 445, 379, 403, 431, 410, 391, 475) y<- c(307, 268, 275, 291, 314, 340, 305, 279, 323, 342, 341, 320, 329, 376, 322, 378, 334, 345, 302, 309, 311, 310, 360, 361) Teil 1: Graphische Darstellung der Daten, Methode 1 ## Dieser Befehl bewirkt, dass die Return-Taste vor der Ausgabe des nächsten Plots gedrückt werden muss opar <- par(ask = interactive() && (.Device %in% c("x11", "GTK", "gnome", "windows", "quartz"))) boxplot(x,y) h_x<- hist(x) h_y<-hist(y) ##Ausgeben der Histogramme auf einer Skala plot(c(260,500),c(0,0.02),type="n",xlab="",ylab="") plot(h_x,add=true,col="lightgrey",freq=false) plot(h_y,add=true,freq=false)hist(x) Teil 1: Graphische Darstellung der Daten, Methode 2 plot(c(220,550),c(0,0.014),main="graphische Darstellung der Daten", xlab="dichteschätzer der Gruppen mit Gauß-Kern",ylab="",type="n") lines(density(x,kernel="g"),col="red") lines(density(y,kernel="g"), col="blue") Teil 2: Diskussion der Normalverteilung ## Methode 1 print(shapiro.test(x));print(shapiro.test(y)) : Shapiro-Wilk normality test data: x W = , p-value = 1 Shapiro-Wilk normality test data: y W = , p-value = ## Methode 2 x_norm <- (x - mean(x))/sqrt(var(x)) y_norm <- (y - mean(y))/sqrt(var(y)) print(ks.test(x_norm,pnorm));print(ks.test(y_norm,pnorm))

6 One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: x_norm D = , p-value = alternative hypothesis: two-sided One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: y_norm D = , p-value = alternative hypothesis: two-sided Teil 3: Mittelwerte und Konfidenzintervalle print(t.test(x));print(t.test(y)) One Sample t-test data: x t = , df = 12, p-value = 1.102e-13 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x One Sample t-test data: y t = , df = 23, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x Teil 4: Signifikanz der Behandlung print(t.test(x,y)) Welch Two Sample t-test data: x and y t = , df = , p-value = 5.544e-06 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y

7 Teil 4: Unterschied der Varianzen print(var.test(x,y)) F test to compare two variances data: x and y F = , num df = 12, denom df = 23, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: sample estimates: ratio of variances Teil 5: Benötigter Stichprobenumfang print("es ergibt sich fuer n_1 und n_2 in etwa:") n_max<-ceiling((var(x)+var(y))*(qnorm(0.975)+qnorm(0.9))^2/20^2) print(n_max) print("überprüft man nun noch die Genauigkeit der Approximation mit analogen Überlegungen wie im Fall einer Stichprobe, so erhält man") print(sqrt(n_max)*20/(sqrt(var(x)+var(y)))) ##Monte-Carlo-Methode x1<- real(n_max);y1<- real(n_max) max_obs<-7000 count<-0 for(i in 1:max_obs) { ## randomisiertes Bestimmen des E-Wertes mittels bedingter W-keit z<- mean(y) + sqrt(var(y))*qt(runif(1),length(x)-1)/sqrt(length(x)); ## Randomisiertes Bestimmen der Varianzen mittel bedingter W-keit: rvar_x <- var(x)*(length(x)-1)/(qchisq(1-runif(1),length(x)-1)) rvar_y <- var(y)*(length(y)-1)/(qchisq(1-runif(1),length(y)-1)) ## Generieren der Zufallszahlen x1<- rnorm(n_max,mean=z+20, sd=sqrt(rvar_x)); y1<- rnorm(n_max,mean=z,sd=sqrt(rvar_y)) ## Durchführen des Tests if(t.test(x1,y1)$p.value <0.05) count<-count+1 } print("approximation der Macht mittels Monte-Carlo für den berechneten Stichprobenumfang") print(count/max_obs)

8 n_max=78 count<-0 for(i in 1:max_obs) { ## randomisiertes Bestimmen des E-Wertes mittels bedingter W-keit z<- mean(y) + sqrt(var(y))*qt(runif(1),length(x)-1)/sqrt(length(x)); ## Randomisiertes Bestimmen der Varianzen mittel bedingter W-keit: rvar_x <- var(x)*(length(x)-1)/(qchisq(1-runif(1),length(x)-1)) rvar_y <- var(y)*(length(y)-1)/(qchisq(1-runif(1),length(y)-1)) ## Generieren der Zufallszahlen x1<- rnorm(n_max,mean=z+20, sd=sqrt(rvar_x)); y1<- rnorm(n_max,mean=z,sd=sqrt(rvar_y)) ## Durchführen des Tests if(t.test(x1,y1)$p.value <0.05) count<-count+1 } print("approximation der Macht mittels Monte-Carlo für einen Stichprobenumfang von 78") print(count/max_obs) [1] "Es ergibt sich fuer n_1 und n_2 in etwa:" [1] 64 [1] "Überprüft man nun noch die Genauigkeit der Approximation mit analogen Überlegungen wie im Fall einer Stichprobe, so erhält man" [1] [1] "Approximation der Macht mittels Monte-Carlo für den berechneten Stichprobenumfang" [1] [1] "Approximation der Macht mittels Monte-Carlo für den berechneten Stichprobenumfang" [1]

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