5.Unsicherheit. 5.1WahrscheinlichkeitundRisiko

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1 1 5.Unsicherheit Bisher sind wir von vollständiger Planungssicherheit seitens der Entscheidungsträger ausgegangen. Dies trifft in vielen Fällen natürlich nicht den Kern eines Entscheidungsproblems.Wennz.B.eineEntscheidungfürdenKaufvonAktiengetroffen wird,dannistdiekünfigeentwicklungderaktionkurseunddamitauchderrenditenicht mitsicherheitbekannt.selbstinunserersteinzeitgesellschaftstelltsichdiesesproblem.in allerregelwirdbeiderentscheidung,einebestimmtefruchtzusammeln,nicht100%ig klarsein,wiedersammelerfolgaussieht.eskannz.b.sehtkaltundfeuchtgewesensein. DannsindrelativwenigFrüchtereifgeworden.DasSammelergebnis hängt dann vom Zufallab,mitdemmangeradeandenrichtigenStellensucht.IndiesemKapitelwerden wir besprechen, wie die mikroökonomische Modellbildung mit diesem Aspekt der Entscheidungsfindung-derUnsicherheit-umgeht.Wirwerdenfeststellen,daßesnicht schwer ist, Unsicherheit zu berücksichtigen. Wir werden auch feststellen, welche Institutionen sich wegen der Unsicherheit herausbilden - nämlich die Institution der "Versicherung"-undwelcheökonomischenAnreizedazuführen. 5.1WahrscheinlichkeitundRisiko Zunächst brauchen wir ein Beschreibungsmittel für unsichere Situationen. Ein solches Beschreibungsmittel ist die Wahrscheinlichkeit. Wir können z.b. nicht mit Sicherheit sagen,obwirimnächstenjahrbestohlenwerden.aberdurchstatistikendarüber,wieoft z.b. bestimmte KFZ gestohlen werden, können wir diese Unsicherheit mit einer bestimmtenwahrscheinlichkeitverbinden.wennwirnunwissenwollen,wiesichdiese Unsicherheit auf das Wohlbefinden des Entscheidungsträgers auswirkt, müssen wir die AuswirkungenderjeweiligenEreignisse(hier:Diebstahl,keinDiebstahl)beschreiben. KonzentrierenwirunszunächstaufdieAuswirkungenaufdasVermögen.Nehmenwiran, daßdaskfzfürdiebetrachteteperson20.000dmwertist.wennesgestohlenwirdund nacheinigerzeitwiedergefundenwird,nehmenwiran,daßderwertdeskfznurnoch DM ist. In seinen Konsequenzen auf den Wert kann man die Unsicherheit nun durchdaspaar (15.000,20.000) beschreiben. Wenn wir nun erwarten, daß das Ereignis "Diebstahl" mit der Wahrscheinlichkeitπ 1 =5%auftrittundentsprechenddasEreignis"keinDiebstahl"mitder Restwahrscheinlichkeitπ 2 =95%auftritt,dannkannmandiegesamteSituationdurch

2 2 (15.000,20.000;0.05,0.95) beschreiben. Man sieht schon an dieser Stelle, daß diese Beschreibung viele andere Interpretationenzuläßt.JedeSituation,indermiteinerWahrscheinlichkeitvon5%ein Vermögensverlust von DM eintritt, wenn die Vermögenssituation vor diesem Ereignis20.000DMwar,läßtsichsobeschreiben.DieGeschichteüberdenKFZ-Diebstahl istsekundär.indertatbeschreibendieobigen4zahlenauchdieergebnisseeinerlotterie, diemitderwahrscheinlichkeit5%zueinemgewinnvon15.000dmführtundmitder Wahrscheinlichkeit 95 % zu einem Gewinn von DM. Ursprünglich wurde die Theorie der Entscheidung unter Unsicherheit stark an Entscheidungen in Glücksspielen orientiert.siewerdenalsooftfinden,daßmandieobigebeschreibungsformdereingangs zitiertenunsicherensituationalslotteriebezeichnet.allgemeinbezeichnetmanalsoeine Liste L=(x 1,x 2,...,x S ;π 1,π 2,...,π S ) Lotterie. Dabei liegen S mögliche Elementarereignisse oder Naturzustände zugrunde. Kurz:dieLotteriekanneinesderSErgebnissehaben,dieindemerstenTeilderListe stehen. Die einzige Forderung ist, daß sich diese Elementarereignisse gegenseitig ausschließen. In unserem Beispiel hatten wird die Elementarereignisse (Diebstahl, kein Diebstahl), die sich natürlich gegenseitig ausschließen. In dem zweiten Teil der Liste stehen dann die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die einzelnen Elementarereignisse auftreten.damithabenwirnuneinziemlichallgemeinesbeschreibungsmittelfürunsichere Situationen. DiesalleinenütztunsinallerRegelnochnichtviel.EinigeCharakteristikavonsolchen LotterienhelfenunsbeiihrerEinschätzung.Ein solches Hilfsmittel ist der sogenannte Erwartungswert.AllgemeingibtderErwartungswerteinerLotteriedas"mittlere"Ergebnis an: S E(L)= xiπ i= 1 FürunserBeispiel: E(L)= , = = "ImSchnitt"werdenwirindieserSituationalsoeineVermögenspositionvon19.750DM haben.umgekehrtausgedrückt:durchdieunsicherheit,diemitdempotentiellendiebstahl i

3 3 verbundenist,sind"durchschnittliche"(erwartete)verlustebeidemvermögenvon250 DMzubeklagen. Bis jetzt haben wir immer noch beschrieben. Ziel dieser Beschreibungselemente ist es natürlich, herauszufinden, wie ein Entscheidungsträger mit einer solchen Situation umgehensoll.bisherhabenwirabernochgarnichtüberentscheidungensprechenkönnen, weil wir noch gar keine Entscheidungsobjekte eingeführt haben. In unserem Beispiel könntediesdieentscheidungzueinerwegfahrsperresein,wobeiwirvereinfachenddavon ausgehen,daßsieeinendiebstahlmitsicherheitverhindert.stellenwirunsalsovor,der Entscheidungsträger könnte eine solche Wegfahrsperre für 300 DM erwerben. Sollte er diestunodernicht?jetztistalsoeineentscheidungzutreffen. Wennernichtstut,hateralsodaserwarteteVermögen19.750DM(esistalsomitUnsicherheitbehaftet,wennerPechhatsindesnurnoch15.000DM,wennerGlückhat,sind es20.000dm).wennerdiewegfahrsperrekauft,haterdassicherevermögen20.000dm -300DM=19.700DM.ImSchnitthatermitderWegfahrsperre50DMweniger.Lohnt sichdieanschaffungalsonicht? Nunfälltauf,daßdas"Risiko"derSituationbisherkeineRollespielt.Folglichkannauch die Einstellung des Entscheidungsträgers bgzl. des Risikos keine Rolle spielen. Intuitiv würdenwirobenvermuten,daßein"ängstlicher"entscheidungsträgerdiewegfahrsperre kauft. Er kauft sozusagen mit 50 DM vollständige Sicherheit. Umgekehrt wurden wir vermuten, daß ein Entscheidungsträger, den Risiko nicht sonderlich beeindruckt, nicht bereitist,imschnitt50dmfürdiesicherheitmehrzuzahlen.imschnittstehtersich dadurchschlechter.damithabenwireinewichtigedeterminantefürdasverhaltenvon EntscheidungsträgernineinemunsicherenUmfeldgefunden:seineEinstellunggegenüber demrisiko. DaherwerdenwirnunersteineBeschreibungsmöglichkeitvon"Risiko"besprechen.Das hier besprochene Maß ist in erster Linie ein "objektives" Maß. Um es zu motivieren, betrachtenwirfolgendedreilotterien: L 1 =(20.000,20.000;0,5,0,5) L 2 =(30.000,10.000;0,5,0,5) L 2 =(50.000, ;0,5,0,5)

4 4 Die erste Lotterie ist eine "sichere" Lotterie. In beiden Elementarereignissen ist das Ergebnis20.000DM.InderzweitenLotterieistdasErgebnisunsicher.Manhatzwareine ChanceaufeinhöheresErgebnis,aberauchdieaufeinniedrigeresErgebnisals DM.OffenbarwürdenallediezweiteLotteriealsriskantereinschätzen.DieletzteLotterie istnochriskanter:sieermöglichtzwardengewinneinernochhöherensumme,diesaber nuraufkosteneinesmöglichenabsolutenverlustes.trotzdemistdererwartungswertaller dreilotterienderselbe!dieserreflektiertoffenbardierisikostrukturderlotteriennicht. VergleichtmandieobigenLotterienmiteinander,sofälltauf,daßdieriskanterenLotterien dadurch gekennzeichnet sind, daß die Ergebnisse weiter vom Erwartungswert (20.000) entferntsind.wennmandieseentfernungenfürdie3lotterienhinschreibt,soergibtsich: allgemeinfürl ( x 1 -E(L), x 2 -E(L) ) fürl 1 : (0,0) fürl 2 : (10.000,10.000) fürl 3 : (30.000,30.000) DiesliefertdieIdeefüreinMaßdesRisikos,dasmiteinerLotteriebehaftetist:Lotterien sind riskanter, wenn die Entfernung der Ergebnisse zum Erwartungswert steigen. Die EntfernungwirddabeiinderRegelnichtwieobendurchdenBetragderDifferenz,sondern durchdasquadratderdifferenzgemessen.dieentfernungdesergebinisses,beidemi-ten ElementarereigniszumErwartungswertwirdalsodurch (x i -E(L)) 2 gemessen. Das obige Beispiel war der Vereinfachung wegen so gewählt, daß die "positiven"unddie"negativen"entfernungengleichwaren.diesmußnatürlichnichtso sein. Eine weitere vereinfachende Annahme in dem obigen Beispiel war, daß die "positiven"abweichungengenausowahrscheinlichsindwiedie"negativen".auchdiesist i.a.nichtso.intuitivsolltemandiewenigerwahrscheinlichenabweichungenaufweniger ineinem Risikomaß berücksichtigen. All diese Überlegungen führen zu dem folgenden Maß: V(L)= S 2 ( xi E( L)) πi i= 1

5 5 Dieses Maß heißt in der Wahrscheinlichkeitstheorie Varianz der Lotterie. Je höher die Varianzausfällt,destohöheristdasRisikoderLotterie.InunseremobigenBeispielhaben wirfolgendevarianzen: V(L 1 )= 00,5+00,5=0 V(L 2 )= (10.000) 2 0,5+(10.000) 2 0,5=(10.000) 2 V(L 2 )= (30.000) 2 0,5+(30.000) 2 0,5=(30.000) 2 Mansiehtsofort,daßdieriskanterenLotteriendiehöherenVarianzenhaben. In manchen Anwendungsgebieten dieser Entscheidungstheorie unter Unsicherheit, insbesondereindersogenanntenportfolio-theorie,inderesumdieoptimalewahleines Aktienpaketsgeht,werdenEntscheidungsträgerunterstellt,diesichausschließlichaufdie bishereingeführtenmerkmalevonlotterienbeziehen.manbeachte,daßjedeaktieals einelotterieinterpretiertwerdenkann.dierenditeeineraktieistunsicher.verschiedene ElementarereignisseführenzuverschiedenenRenditeneinerAktie.BeiderEntscheidung, eine bestimmt Aktie zu kaufen, wird in dieser Theorie davon ausgegangen, daß die Entscheidungsträger ihre Entscheidung nur an der erwarteten Rendite (Erwartungswert) undandemrisiko(varianz)ausrichten.indiesemzusammenhangwirddemususder StatistikfolgendderErwartungswertmeistmitµunddieVarianzmeistmitσ 2 abgekürzt. Mansprichtdannauchvondem(µ,σ)Kriterium.DadiesabernichtimZentrumdieser Vorlesung steht (siehe Theorie der Finanzierung), werden wir hier nicht weiter darauf eingehen.esistjedocheinspezialfallderentscheidungstheorie,diewirindemnächsten Abschnittvorstellenwerden. AndieserStellesollstattdessendaraufhingewiesenwerden,daßdieobigeEntwicklung vielallgemeinerdargestelltwerdenkann.esistbeispielsweisenichtnötig,sichnuraufdie AuswirkungendesZufallsaufdasVermögenzubeschränken.Daraufwerdenwirnochin diesem Kapitel eingehen. Es ist auch nicht nötig, von objektiven Wahrscheinlichkeiten auszugehen.aufdiesenaspektwerdenwirjedochnichteingehen,weilerweitüberdas hinausgeht,wasineinergrundstudiumsveranstaltungangemessenist.