Biostatistik 7. Zweistichproben-t-Test, F-Test

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1 Biostatistik 7. Zweistichproben-t-Test, F-Test

2 Zweistichproben-t-Test Vergleich von zwei unabhängigen Stichproben Versuchssituation: dieselbe Variable wird bei zwei unabhängigen Stichproben geprüft Kontrollgruppe, behandelte Gruppe Männer, Frauen krank, gesund jung, alt usw. Bedingungen des klassischen (Student) t-tests: Die zwei Stichproben sind unabhängig: x x,..., x, und y, y,..., Sie stammen aus zwei normalverteilten Populationen mit gleicher Varianz: aus Populationen mit der Verteilung N(µ 1, σ ) und N(µ, σ ) H 0 : μ 1 = μ, H a : μ 1 μ. 1, n 1 y m Biostatistik-7

3 Zweistichproben-t-Test: Gliederung der Datentabelle Die zwei Stichproben im Test sind zwei Teilstichproben oder Gruppen einer Stichprobe (Variable) Die Gruppen sind durch eine binäre Variable (Gruppenvariable) identifiziert. 1. Stichprobe. Stichprobe Datentabelle muss nicht nach Gruppen geordnet sein Gruppenvariable Biostatistik-7 3

4 Zweistichproben t-test: gleiche Varianzen Vergleich von zwei unabhängigen Stichproben Bedingungen: Die Stichproben stammen aus einer Population mit Normalverteilung Im Fall von gleichen Varianzen (original Student t-test) die Berechnung des t-wertes (Freiheitsgrad= n+m-): t s p x - y x - y nm ( n -1) sx ( m -1) s wo sp 1 1 sp n m. n m - n m y und s x und s y bezeichnen die zwei Standardabweichungen Entscheidung: Wenn t >t α, ist die Differenz signifikant auf dem Niveau α, und wir lehnen H 0 ab Biostatistik-7 4

5 Zweistichproben-t-Test: ungleiche Varianzen Vergleich von zwei unabhängigen Stichproben Bedingungen: Die Stichproben stammen aus einer Population mit Normalverteilung Im Fall von ungleichen Varianzen (modifizierter t-test, oder d-test): ( n -. 1) ( m -1) Freiheitsg rad g ( m -1) (1 - g ) ( n -1) Entscheidung: Wenn d >t α, ist die Differenz signifikant auf dem Niveau α, und wir lehnen H 0 ab d wo g x sx n - y s y sx n sx n m s y m Biostatistik-7 5

6 F-test für die Prüfung der Gleichheit von Varianzen H 0 : 1 1 H a : (einseitiger Test) Teststatistik (F): wir teilen das Quadrat der größeren Standardabweichung durch das Quadrat der kleineren: F max( s min( s x x, s, s y y ) ) s s 1 Die F-Statistik hat zwei Freiheitsgrade: n 1-1, n -1, wo n 1 = Elementzahl der zur größeren SD gehörigen Stichprobe n = Elementzahl der zur kleineren SD gehörigen Stichprobe Entscheidung: aufgrund der F-Tabelle Wenn F > F α, unterscheiden sich die zwei Varianzen voneinander signifikant auf dem α Niveau Biostatistik-7 6

7 Freiheits grade: Tabelle der F-Verteilung (Auszug) für α=0.05 számláló-> Zähler Nenner nevező Biostatistik-7 7

8 Rechnungsbeispiel: Zweistichproben-t-Test Kontrollgrupe Behandelte Gruppe n=8 m=10 x =16,5 y=18 s x =10,351 s y =11,35 s x =107,14 s y =18,88 s p t Vergleichung der Varianzen mit F-Test: F 1. 09, Freiheitsgrade: des Zählers: 10-1=9, des Nenners: 8-1=7, der zu α=0,05 und Freiheitsgrade 9, 7 gehörige kritische Wert ist F α =3,68. Weil 1,09<3,68, akzeptieren wir die Nullhypothese des F-Tests, dass die zwei Varianzen gleich sind Der gerechnete t-wert ist t = 6,6569, der kritische Wert für α=0,05 ist t α =,1 (Freiheitsgrad=16). Weil 6,6569>,1, verwerfen wir die Nullhypothese und sagen, dass die Differenz zwischen den beiden Populationsmittelwerten auf Niveau 5% signifikant ist. Biostatistik-7 8

9 Ergebnis mit SPSS SPSS-Verfahren: T-Test bei unabhängigen Stichproben Vergleichung der Varianzen (mit dem Levene-F-Test): p=0,930>0,05 wir nehmen an, dass die Varianzen gleich sind Vergleichung der Mittelwerte mit t-test für gleiche Varianzen: p=0,000006<0,05 die Differenz der Mittelwerte ist signifikant zum Signifikanzniveau α=0,05. Biostatistik-7 9

10 Beispiel von der medizinischen Literatur Circulation, 004;109: Biostatistik-7 10

11 Achtung! Merkmal ist kategoriell, kann nicht normalverteilt sein. Vergleichung (d.h. p-wert) kommt nicht aus t-test (sondern aus -Test) Diese Tabelle enthält Mittelwert ± SE für die stetigen Merkmale, und auch den Stichprobenumfang n in beiden Gruppen. Aus diesen Daten kann man den zum Zweistichproben-t-Test gehörigen p-wert überprüfen. Biostatistik-7 11

12 Lass uns den das Lebensalter betreffenden p-wert überprüfen, das heißt, vergleichen wir die Mittelwerte der zwei Gruppen mit dem Zweistichproben-t-Test. Biostatistik-7 1

13 Stufe 1. H 0 : μ 1 = μ, H a : μ 1 μ Stufe. Sei α=0.05 Stufe 3. Der Entscheidungsregel: Zweistichproben-t-Test. Stufe 4a. Entscheidung aufgrund der Teststatistik: Berechnen wir erst die SD-Werte aus der SE-Werte, dann die t-teststatistik: t=-1,059; der Freiheitsgrad ist =5 t α =,060 t =1,059<,060, die Differenz ist nicht signifikant auf 5% Niveau. Stufe 4b. Entscheidung aufgrund des p-wertes: Mit Computer kann man den zu dem t-wert t=-1,059 gehörigen p-wert ausrechnen lassen, es ergibt sich p=0,30 Entscheidung: p>0.05, die Differenz ist nicht signifikant auf Niveau 5%. Die kleine Abweichung von dem p-wert des Artikels (0,8) kann man mit der nicht pünktlich genugen Spezifikation der Mittelwerte und der Standardfehler in dem Artikel erklären Biostatistik-7 13

14 Zunahme des Fehlers 1. Art Wenn wir im Fall einer bestimmten Menge von Daten mehrere statistische Teste für eine bestimmte Variable oder Variablen durchführen, und jede bei einem bestimmten α, kann die das ganze Experiment betreffende Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art viel größer sein, als α. Wir stellen diese überraschend scheinende Tatsache mit dem Zweistichproben-t-Test dar: Das Niveau α=0,05 bedeutet, dass wenn die Nullhypothese wahr ist (z.b. es gibt keine Differenz zwischen den zu vergleichenden Populationen), ist die Wahrscheinlichkeit der Begehung des Fehlers 1. Art 0,05, das heißt wir können diesen Fehler von hundert Fällen in 5 Fällen, also in jedem zwanzigsten Fall begehen. So oft verursacht der Zufall zwischen den sonst gleichen, aus denselben Populationen entnommenen Stichproben eine zu große, von uns für signifikant qualifizierte Differenz. Vergleichen wir mehrere, von denselben Populationen entnommenen Stichproben in Paaren, wird durchschnittlich 1 von 0 Vergleichen zu einem signifikanten Ergebnis führen! Im allgemeinen ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Fall von k unabhängigen Vergleichen wenigstens ein Vergleich falsch ist (dass wir wenigstens einmal den Fehler 1. Art begehen), ist: 1-(1-α) k ( kα, wenn kα klein ist). Biostatistik-7 14

15 Irrtumwahrscheinlichkeit Zunahme der Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art per Experiment (α=0,05) Zahl der Vergleichungen Deshalb ist es falsch, im Fall von mehreren Gruppen Zweistichproben-t-Teste für den Paarvergleich der Mittelwerte zu verwenden oder im Fall von zwei Gruppen auch Zweistichproben-t- Teste für den Vergleich von mehreren zusammenhängenden Variablen zu verwenden. Wir können nämlich nicht wissen, welche von den signifikanten Ergebnissen dem Zufall angeschrieben werden können und welche eine wahre Differenz verraten. Biostatistik-7 15

16 Von vielen kleinen Stücken zusammengeknüpftes Bergsteigerseil: die einzelnen Seilknoten halten mit einer 95% Wahrscheinlichkeit gut fest (α=0,05) Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Knoten fehlerfrei sind: =0,95*0.95= % Die Wahrscheinlichkeit, dass 0 Knoten fehlerfrei sind=0,95 0 =0,358 36% P=0,95 0? Wahnsinn!! Die Wahrscheinlichkeit eines Sturzes im Fall von 0 Knoten 64% Die letzte Aufname von Dr. Kümmernicht Biostatistik-7 16

17 Lösung: Anstatt vieler t-teste eine Varianzanalyse (ANOVA: ANalysis Of VAriance), kombiniert mit multiplen Vergleichen Die Korrektur der einzelnen p-werte Bonferroni Holm FDR (False Discovery Rate) Biostatistik-7 17

18 Biostatistik 8. Einfaktorielle Varianzanalyse

19 ANalysis Of VAriance (ANOVA) Vergleicht mehrerer (>) Mittelwerte normalverteilter Stichproben Typen: Einfaktorielle (one-way): Kontrollgruppe, behandelte Gruppe A, behandelte Gruppe B. Zweifaktorielle (Behandlung + Geschlecht) Mehrfaktorielle ANOVA mit mehr als zwei Faktoren ANOVA für wiederholte Messungen ( repeated measures ) Biostatistik-7 19

20 Einfaktorielle Varianzanalyse Im einfachsten Fall geht man vom einzigen Faktor (mit h verschiedenen Ausprägungen = h Faktorstufe) aus, dessen Einfluss auf Variabilität des gemessenen Merkmals man bestimmen möchte. Diese Faktorstufen können verschiedene Gruppen, Behandlungen usw. sein. Biostatistik-7 0

21 Voraussetzungen bei enfaktorieller Varianzanalyse Die Stichproben der h Stufen stammen aus h normalverteilten Grundgesamtheiten N(μ1,σ1 ), N(μ,σ ),..., N(μh,σh ). Die h Varianzen σi seien für alle Grundgesamtheiten gleich, d.h. σ1 = σ = σ3... σh = σ, wobei σ unbekannt ist (Man spricht dann von homogenen Varianzen) Die h Stichproben seien unabhängig Biostatistik-7 1

22 Homogenität der Varianzen Biostatistik-7

23 Hypothesen Hypothese H 0 : µ 1 =µ =.. =µ h Alle Mittelwerte sind gleich Alternative H a : µ i µ j (i j; i,j=1,,..,h) mindestens zwei Mittelwerte sind signifikant verschieden Äquivalenzhypothesen: H 0 ': zwischen = innerhalb H a ': zwischen > innerhalb Biostatistik-7 3

24 Anordnung der Messdaten Faktor- Stufen i=1 i=... i=h j=1 x 1,1 x,1... x h,1 j= x 1, x,... x h, j=3 x 1,3 x,3... x h,3 : : : : : j=n : x,n : : : : : : j=n k : : x h,nk : : : j=n 1 x 1, n1 : Stischprobenumfang n 1 n... n h Mittelwerte x 1 x x h Biostatistik-7 4

25 Numerische Auswertung Das arithmetische Mittel aus den n i Messungen der i-ten Stufe bezeichnet man als Stufen-Mittelwert: xi Es wird durch x i 1 n i n i j1 x ij berechnet h Die Anzahl N aller Messwerte berechnet man N j1 durch Den Gesamtmittelwert ( x ) berechnet man als das arithmetische Mittel aller Messdaten aller h Stufen. Mann kann auch x als gewogenes arithmetisches Mittel h ni aus den h Stufenmittelwerten berechnen x Biostatistik-7 5 x i, j i1 j1 1 N N h i1 n i n i x i

26 Die Summe der Abweichungsquadrate SQT (die Summe der Abweichungsquadrate) : repräsentiert die Gesamtvariabilität SQZ (feste Effekte) : repräsentiert die Variabilität zwischen den h ni h Faktorstufen SQI (Restfehler) SQZ i1 j1 repräsentiert die Variabilität innerhalb der h ni Faktorstufen SQI ( x i - x) i1 j1 ( x ij i1 - n ( x x i i ) i - x) Biostatistik-7 6

27 Tafel der Varianzanalyse SQT=SQZ+SQI SQI=SQT-SQZ Bemerkung: h n i i1 j1 ( x ij - x) h n i i1 j1 ( x i - x) h n i i1 j1 ( x ij - xi) Biostatistik-7 7

28 Neue (gleichwertige) Hypothesen Wenn die Nullhypothese wahr ist, dann sind die Grundgesamtheiten gleich und normalverteilt. Sie haben den gleichen Mittelwert und die gleiche Varianz. Diese gemeinsame Varianz ist auf zwei verschiedene Komponenten geschätzt: H0': zwischen = innerhalb Hypothese H 0 : µ 1 =µ =.. =µ h Ha': zwischen > innerhalb Alternative H a : µ i µ j (i j) Ihre Gleichheit kann durch einen F Test getestet werden. Wir berechnen die F Statistik. Das p-wert dieses Tests: F wenn p> 0,05, dann akzeptieren wir H 0. Die Analyse ist abgeschlossen wenn p <0,05, dann lehnen wir H 0 bei 0,05 Niveau ab. Es gibt unter den Mittelwerten µ 1 =µ =.. =µ h mindestens zwei, die voneinander signifikant verschieden sind. Multiple Mittelvergleiche MQZ MQI Biostatistik-7 8

29 Multiple Mittelwertvergleichung: Der t Test nach Varianzanalyse Der Grenzdifferenztest (LSD) Bonferroni Scheffé Tukey Dunnett t Test berücksichtigt eine Gruppe als Kontrollgruppe und vergleichen alle Gruppen mit dieser Gruppe Biostatistik-7 9

30 Der t Test nach Varianzanalyse x i und x j sind zwei von h Stuffenmittelwerten eines Faktors, dessen Einfluss in der Varianzanalyse abgesichert wurde. MQI: aus der Varianzanalyse entnommen. t x i MQI - x i j 1 n 1 n j Biostatistik-7 30

31 Bemerkung Einfaktorielle ANOVA ist eine Verallgemeinerung des Zweistichproben-t-Tests. Vergleicht man mit der Varianzanalyse nur zwei Gruppen, dann führen t-test und Varianzanalyse zum gleichen Ergebnis (t²=f). Biostatistik-7 31

32 Voraussetzungen Die entnommenen Stichproben seien unabhängig. Die h Grundgesamtheiten seien normalverteilt mit homogenen Varianzen. Bemerkungen: Normalität (Kolmogorov-Smirnow-Test) Eine Abweichung von der Normalität kann auch über Schiefe und Exzeß geprüft werden. Wenn die Stichproben nicht aus normalverteilten Grundgesamtheiten stammen und die Faktorstufenanzahl>10, kann man Varianzanalyse durchführen (die Robustheit der Varianzanalyse) Nichtparametrisches Verfahren: Kruskal Wallis Test Homogenität der Varianzen: Bartlett-Test. Wurde festgestellt, dass diese Voraussetzung nicht erfüllt ist, so kann man Brown Forsythe oder Welch Varianzanalyse durchführen. Biostatistik-7 3

33 Beispiel Der Hämatokrit war bei männlichen Patienten nach Behandlungen gemessen. Es soll untersucht werden, ob die unterschiedliche Behandlung einen signifikanten Einfluss auf das Hämatokritniveau hat. Biostatistik-7 33

34 Messdaten in SPSS Gruppe Faktorstufe Hämatokrit Kontroll 0 40,8 Kontroll 0 40,5 Kontroll 0 41,48 Kontroll 0 41,01 Kontroll 0 41,47 Kontroll 0 40,10 Kontroll 0 41,45 Kontroll 0 40,69 Kontroll 0 41,3 Kontroll 0 40,5 Kontroll 0 41,08 Kontroll 0 39,85 Kontroll 0 40,53 Kontroll 0 41,67 Kontroll 0 40,87 Kontroll 0 41,07 Kontroll 0 41,01 Behandlung A 1 4,59 Behandlung A 1 4,70 Behandlung A 1 41,78 Behandlung A 1 41,73 Behandlung A 1 4,45 Behandlung A 1 41,47 Behandlung B 41,04 Behandlung B 40,65 Behandlung B 39,88 Behandlung B 40,03 Behandlung B 40,37 Behandlung B 40,51 Biostatistik-7 34

35 Hypothesen Hypothese H 0 : µ 1 =µ = µ 3 Alternative H a : µ i µ j (i j, i,j=1,,3) Biostatistik-7 35

36 Deskriptive Statistik 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert N Mittelwert Standardabweichung Standard -fehler Untergrenze Obergrenze Minimum Maximum Kontroll 17 40,9094,509,118 40,651 41, ,85 41,67 Behandlung A 6 4,100,5085,163 41,5734 4, ,47 4,70 Behandlung B 6 40,4133,4, ,970 40, ,88 41,04 Gesamt 9 41,057,75405, , , ,85 4,70 Biostatistik-7 36

37 Test der Homogenität der Varianzen Levene-Statistik df1 df Signifikanz,447 6,644 Biostatistik-7 37

38 Einfaktorielle ANOVA Zwischen den Gruppen Innerhalb der Gruppen Quadratsumme df Mittel der Quadrate F Signifikanz 9,636 4,818 19,9,000 6,84 6,4 Gesamt 15,90 8 Biostatistik-7 38

39 Resultat und Entscheidung P-Wert < 0,05, Die Differenz ist signifikant und wir behalten die Alternativhypothese. Biostatistik-7 39

40 Mehrfachvergleiche (Post Hoc Test) (I) Faktorstufe (J) Faktorstufe Mittlere Differenz (I-J) Standardfehler Signifikanz 95%-Konfidenzintervall Untergrenze Obergrenze LSD Kontroll Behandlung A -1,1059 *,3346,000-1,6905 -,7307 Behandlung B,49608 *,3346,043,016,9760 Behandlung A Kontroll 1,1059 *,3346,000,7307 1,6905 Behandlung B 1,70667 *,8385,000 1,13,901 Behandlung B Kontroll -,49608 *,3346,043 -,9760 -,016 Behandlung A -1,70667 *,8385,000 -,901-1,13 Dunnett-T (-seitig) a Behandlung A Kontroll 1,1059 *,3346,000,6594 1,7618 Behandlung B Kontroll -,49608,3346,08-1,0473,0551 *. Die Differenz der Mittelwerte ist auf dem Niveau 0.05 signifikant. a. Dunnett-T-Tests behandeln eine Gruppe als Kontrollgruppe und vergleichen alle Gruppen mit dieser Gruppe. Biostatistik-7 40