Statistik für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Statistik für Wirtschaftswissenschaftler von Prof. Dr. Josef Bleymüller, Prof. Dr. Rafael Weißbach, Dr. Günther Gehlert, Prof. Dr. Herbert Gülicher 7., überarbeitete Auflage Verlag Franz Vahlen München 05 Verlag Franz Vahlen im Internet: ISBN Zu Inhalts- und Sachverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

2 Kapitel 7 beck-shop.de Testverfahren II (Parametertests) (3) fn(z) Bei der vorliegenden zweiseitigen Fragestellung und einem Signifikanzniveau von α = 0,05 erhält man den kritischen Wert z c =,96. Gilt für den aus den Stichproben berechneten Wert z der Prüfgröße z >,96, dann wird H 0 abgelehnt; ist dagegen z,96, dann kann H 0 nicht abgelehnt werden. 0 =0,05 =0, z u x x c =,96 z= z o c =,96 H 0 ablehnen s n + s n H 0 nicht ablehnen Abb. 7.4: Testverteilung und kritischer =0,05 H 0 ablehnen Aus den Ergebnissen der beiden Stichproben findet man z = x x s n + s n = =,49. Da wir hier z > z c erhalten, wird H 0 auf dem vorgegebenen Signifikanzniveau abgelehnt. Es muss also von einem signifikanten Unterschied der Ergebnisse der beiden Gruppen ausgegangen werden. Fall () Modellvoraussetzungen: a) Die beiden Stichproben sind voneinander unabhängig. b) Beide Stichproben stammen aus normalverteilten Grundgesamtheiten. c) Die Umfänge der Grundgesamtheiten N und N sind so groß, dass die Korrekturfaktoren für endliche Gesamtheiten vernachlässigt werden können. d) Es besteht Varianzhomogenität, d. h., es gilt σ = σ = σ. Die standardnormalverteilte Prüfgröße beträgt dann Z = (X X ) (µ µ ) σ + σ n n = (X X ) (µ µ ) σ + n n = (X X ) (µ µ ). n + n σ n n Zur Schätzung der unbekannten Varianz σ wird man wieder die beiden Stichprobenvarianzen S und S heranziehen: Nach Abschnitt 3. gehorcht die Zufallsvariable U = (n )S σ einer Chi-Quadrat-Verteilung mit ν = n Freiheitsgraden. Die Zufallsvariable U = (n )S σ gehorcht in analoger Weise einer Chi-Quadrat-Verteilung mit ν = n Freiheitsgraden. Da U und U voneinander unabhängige Zufallsvariable sind und die Chi-Quadrat-Verteilung zur Klasse der reproduktiven Verteilungen gehört (vgl. Abschnitt.6), ist die Zufallsvariable U = U + U = (n )S + (n )S σ ebenfalls chi-quadrat-verteilt, und zwar mit ν = ν + ν = n + n Freiheitsgraden. Nach Abschnitt 0.5 ist dann die Zufallsvariable T = Z U ν studentverteilt mit ν = n + n Freiheitsgraden. Setzt man für Z, U und ν die entsprechenden Ausdrücke ein, dann erhält man (X X ) (µ µ ) T = n + n (n )S σ + (n )S n n σ (n + n ) 38

3 beck-shop.de 7.3 Zweistichprobentests für die Differenz zweier arithmetischer Mittel Kapitel 7 und nach einigen Umformungen T = (X X ) (µ µ ) n + n S n n mit (n )S S = + (n )S. n + n S ist also die Schätzfunktion, die zur Schätzung von σ Anwendung findet; sie wird im Englischen als pooled variance bezeichnet. Aus den beiden Stichprobenvarianzen ermittelt man den Schätzwert ˆσ = s = (n )s + (n )s. n + n T ist studentverteilt mit ν = n + n Freiheitsgraden und kann als Prüfgröße des Tests verwendet werden. Dieser Test gehört also ebenfalls zur Gruppe der sogenannten t-tests (vgl. Abschnitt 7., ()). Beispiel: Auf zwei Maschinen Nr. und Nr. wird Tee abgepackt. Auf Stichprobenbasis soll geprüft werden, ob die Maschine Nr. mit einem größeren durchschnittlichen Füllgewicht arbeitet als die Maschine Nr.. Eine Stichprobe des Umfangs n = aus der laufenden Produktion der Maschine Nr. liefert ein durchschnittliches Füllgewicht von x = 30 g bei einer Standardabweichung von s =, g. Eine Stichprobe aus der Produktion der Maschine Nr. vom Umfang n = 0 ergibt ein durchschnittliches Füllgewicht von x = 7 g bei einer Standardabweichung von s =,8 g. Aus der Vergangenheit sei bekannt, dass die Füllgewichte der beiden Maschinen annähernd normalverteilt sind und die Varianzen der Füllgewichte als gleich angenommen werden können (Signifikanzniveau α = 0,0). () Null- und Alternativhypothese sowie Signifikanzniveau H 0 : µ = µ H A : µ >µ α = 0,0. () Prüfgröße und Testverteilung Die Prüfgröße lautet bei Gültigkeit der Nullhypothese T = (X X ) n + n S n n mit (n )S S = + (n )S n + n und ist studentverteilt mit ν = n + n = 0 Freiheitsgraden. (3) fs(t / 0) Es liegt hier eine einseitige Fragestellung vor. Aus der Tabelle der Studentverteilung findet man zu dem Signifikanzniveau von α = 0,0 und ν = n + n = 0 Freiheitsgraden den kritischen Wert t c =,58. Für alle Werte t der Prüfgröße, für die t,58 gilt, wird H 0 angenommen, für t >,58 wird H 0 abgelehnt. 0 =0, x t = x t c =,58 s n +n n n Abb. 7.5: Testverteilung und kritischer Man erhält s = (n )s + (n )s n + n =, + 9,8 = 4, 0 t = x x n + n s n n 30 7 = = 3,45. 4, 0 H 0 nicht ablehnen =0,0 H 0 ablehnen Es ist hier t > t c ; damit wird H 0 abgelehnt. Das durchschnittliche Füllgewicht der Maschine Nr. ist also signifikant höher als das der Maschine Nr.. 39

4 Kapitel 7 beck-shop.de Testverfahren II (Parametertests) 7.4 Zweistichprobentests für die Differenz zweier Anteilswerte Wie bei den vorangegangenen Testverfahren lässt sich bei der Beurteilung des Unterschiedes von Anteilswerten ein Test aus der entsprechenden Stichprobenverteilung herleiten. Bezeichnet man mit P und P wieder die Stichprobenanteilswerte zweier Stichproben, die den Umfang n bzw. n aufweisen und aus zwei Grundgesamtheiten mit den Anteilswerten θ bzw. θ stammen, dann ist nach Abschnitt 3.4 unter den dort gemachten Voraussetzungen die Zufallsvariable Z = (P P ) (θ θ ) θ ( θ ) + θ ( θ ) n n standardnormalverteilt. Beschränkt man sich auf den bei weitem wichtigsten Fall Nullhypothese: Anteilswerte der beiden Grundgesamtheiten sind gleich, also H 0 : θ = θ = θ, dann ergibt sich für Z und damit als Prüfgröße des Tests (P P ) Z =. n + n θ( θ) n n Zur Schätzung des unbekannten Parameters θ nimmt man an, dass beide Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit entnommen wurden, und erhält somit die Schätzfunktion P = n P + n P n + n. Beispiel: Eine Stichprobe im Umfang von n = 400 Haushalten im Vorort A einer Großstadt ergab x = 39 Haushalte mit einem Jahreseinkommen von mehr als Eine zweite Stichprobe im Umfang von n = 300 Haushalten im Vorort B der gleichen Großstadt x = 45 Haushalte mit einem Jahreseinkommen von mehr als Steht dieses Ergebnis mit der Hypothese in Widerspruch, dass der Anteil der Haushalte mit einem Jahreseinkommen von mehr als in den beiden Vororten gleich ist (Signifikanzniveau α = 0,05)? () Null- und Alternativhypothese sowie Signifikanzniveau H 0 : θ = θ gehorcht bei Gültigkeit der Nullhypothese einer Standardnormalverteilung. (3) Der kritische Wert beträgt hier z c =,96. Für z >,96 wird H 0 abgelehnt, für z,96 kann H 0 nicht abgelehnt werden. Man erhält p = x = 39 n 400 = 0,0975 p = x = 45 n 300 = 0,500 ˆθ = p = n p + n p n + n 400 0, ,500 = = 0, und damit (p p ) z = n + n p( p) n n 0,0975 0,500 = =, , 0, Es ist hier z > z c ; damit muss H 0 verworfen werden, d. h. der Anteil der Haushalte mit einem Jahreseinkommen von mehr als muss in den beiden Vororten als unterschiedlich angenommen werden. 7.5 Zweistichprobentests für den Quotienten zweier Varianzen In Abschnitt 3.5 war festgestellt worden, dass die Zufallsvariable H A : θ = θ α = 0,05. () Prüfgröße und Testverteilung Die Prüfgröße (P P ) Z = n + n P( P) n n 40 mit P = n P + n P n + n F = S /σ S /σ einer F-Verteilung gehorcht mit ν = n und ν = n Freiheitsgraden. S und S sind hier die Stichprobenvarianzen zweier unabhängiger Stichproben aus zwei normalverteilten Grundgesamtheiten mit den Varianzen σ und σ ;n und n bezeichnen wieder die entsprechenden Stichprobenumfänge. Die Zufallsvariable F kann als Prüfgröße für den Test des Quo-

5 beck-shop.de 7.5 Zweistichprobentests für den Quotienten zweier Varianzen Kapitel 7 tienten zweier Varianzen verwendet werden. In den allermeisten Fällen wird sicher die Gleichheit zweier Varianzen zu überprüfen sein, so dass die Prüfgröße des Tests bei Vorliegen der Nullhypothese H 0 : σ = σ folgende Gestalt annimmt: F = S S. Da die Prüfgröße F einer F-Verteilung folgt, wird dieser Test oft als F-Test bezeichnet. Beispiel: Es soll untersucht werden, ob die Streuung der Angestelltengehälter in einem Unternehmen A größer ist als in einem Unternehmen B. Es möge davon ausgegangen werden können, dass die Gehälter in beiden Unternehmen normalverteilt sind. Eine Stichprobe von n = Angestellten des Unternehmens A liefert eine Standardabweichung der Gehälter von s = 3, eine zweite Stichprobe von n = 6 Angestellten des Unternehmens B liefert eine Standardabweichung von s = 88 (Signifikanzniveau α = 0,05). ff (f/ 0; 5) 0 =0,95 3 f = s F c =,33 s H 0 nicht ablehnen Abb. 7.6: Testverteilung und kritischer =0,05 H 0 ablehnen () Null- und Alternativhypothese sowie Signifikanzniveau H 0 : σ = σ H A : σ >σ α = 0,05. () Prüfgröße und Testverteilung Die Prüfgröße F = S S gehorcht einer F-Verteilung mit ν = n = 0 und ν = n = 5 Freiheitsgraden. (3) Die Tabelle der F-Verteilung liefert für ein Signifikanzniveau von α = 0,05 und ν = 0, ν = 5 Freiheitsgrade den kritischen Wert F c =,33. Für f = s s >,33 wird H 0 abgelehnt, für f,33 kann H 0 nicht abgelehnt werden (die Realisation der Zufallsvariablen F soll mit f bezeichnet werden, um eine Verwechslung mit dem allgemeinen Funktionssymbol f zu vermeiden). Man findet f = s s = 3 88 =,5. Es ist hier f F c ; damit kann die Nullhypothese also nicht abgelehnt werden, d. h. der beobachtete Unterschied der beiden Standardabweichungen ist nicht signifikant. Der F-Test kann selbstverständlich auch als zweiseitiger Test aufgebaut werden. In diesem Fall wird der Nullhypothese H 0 : σ = σ die Alternativhypothese H A : σ = σ gegenübergestellt. Es ergeben sich dann zwei kritische e, denen jeweils die Irrtumswahrscheinlichkeit α/ zugeordnet ist (vgl. Abbildung 7.7). Die Nullhypothese wird dann nicht abgelehnt, wenn die Prüfgröße F einen Wert f zwischen F u c und F o c annimmt. Der rechtsseitige kritische Wert Fc o ist so zu bestimmen, dass die Überschreitungswahrscheinlichkeit α beträgt, d. h., dass die Verteilungsfunktion der F-Verteilung bei Fc o genau den Wert α annimmt. Es gilt also: F o c = F α ;ν ;ν. Für den linksseitigen kritischen Wert Fc u gilt die Beziehung: F u c = F α ;ν ;ν. Fc u kann man wie folgt aus den tabellierten rechtsseitigen kritischen Werten erhalten: Aus: W ( ) α F F α ;ν ;ν = 4

6 Kapitel 7 beck-shop.de Testverfahren II (Parametertests) folgt W ( F F α ;ν ;ν ) = α und damit ( ) W F = α F α ;ν ;ν Wenn nun F = S S F-verteilt ist mit ν Freiheitsgraden im Zähler und ν Freiheitsgraden im Nenner, dann ist F = S S ebenfalls F-verteilt, aber mit ν Freiheitsgraden im Zähler und ν Freiheitsgraden im Nenner. Es gilt also ( ) W F F α ;ν ;ν = α (II). Ein Vergleich der beiden Formeln (I) und (II) zeigt, dass folgende Beziehung besteht: bzw. F α ;ν ;ν = F α ;ν ;ν F α ;ν ;ν = F α ;ν ;ν Da in den Tabellensammlungen die kritischen Werte der F- Verteilung meist nur für die einseitige Fragestellung und für Signifikanzniveaus von % bzw. 5 % tabelliert sind, ergibt sich bei Verwendung dieser kritischen Werte bei zweiseitiger Fragestellung ein Signifikanzniveau von % bzw. 0 %. Beispiel: Zwei Gruppen I und II von Studenten mit n = 5 und n = 3 Teilnehmern werden nach zwei unterschiedlichen Lehrmethoden ausgebildet. In einem abschließenden Test erreichen die Teilnehmer der Gruppe I eine durchschnittliche Punktzahl von x = 50,7 Punkten bei einer Standardabweichung von s = 4,3 Punkten. Die Teilnehmer der Gruppe II erreichen eine durchschnittliche Punktzahl von ebenfalls x = 50,7 Punkten bei einer Standardabweichung von s = 9, Punkten. Es soll nun auf einem Signifikanzniveau von α = 0,0 geprüft werden, ob der beobachtete Unterschied der beiden Stichprobenstandardabweichungen signifikant ist. (I). ff (f/ 4; ) =0,0 0 F u c =0,6 abl =0, f = s s H 0 nicht ablehnen Abb. 7.7: Testverteilung und kritischer F o c =4,05 =0,0 H 0 ablehnen () Null- und Alternativhypothese sowie Signifikanzniveau H 0 : σ = σ H A : σ = σ α = 0,0 () Prüfgröße und Testverteilung F = S S gehorcht einer F-Verteilung mit ν = n = 4 und ν = n = Freiheitsgraden. (3) Aus der Tabelle der F-Verteilung ergibt sich der rechtsseitige kritische Wert F o c zu F o c = F 0,99;4; = 4,05. Der linksseitige kritische Wert F u c beträgt F u c = F 0,0;4; = = F 0,99;;4 3,80 = 0,6. Es ist wieder f = s s der Wert der Prüfgröße. Für Fc u f Fc o, also 0,6 f 4,05, wird die Nullhypothese beibehalten, für f < F u c bzw. f > F o c wird H 0 abgelehnt. 4

7 beck-shop.de 7.6 Zweistichprobentests für die Differenz arithmetischer Mittel bei verbundenen Stichproben Kapitel 7 Es ist f = s s = 4,3 9, = 0,. Da f < Fc u ist, wird die Nullhypothese abgelehnt. Es kann also auf einen signifikanten Unterschied der beiden Varianzen und damit der beiden Standardabweichungen geschlossen werden. 7.6 Zweistichprobentests für die Differenz arithmetischer Mittel bei verbundenen Stichproben Bei den in den vorangegangenen Abschnitten 7.3 bis 7.5 behandelten Zweistichprobentests waren die Beobachtungen der einen Stichprobe stets unabhängig von denen der anderen Stichprobe, d. h. es lagen unabhängige (unverbundene) Stichproben vor. Im Gegensatz dazu spricht man von verbundenen Stichproben (abhängigen oder paarigen Stichproben, paired samples), wenn die Beobachtungen der einen Stichprobe von denen der anderen Stichprobe nicht unabhängig also abhängig sind. Eine verbundene Stichprobe liegt beispielsweise dann vor, wenn die Merkmalsausprägungen der ersten Stichprobe und die der zweiten Stichprobe jeweils an demselben Merkmalsträger erhoben werden. So könnte man beispielsweise zur Beantwortung der Frage, ob zwischen den Fächern Volkswirtschaftslehre und Betriebswirtschaftslehre ein signifikanter Leistungsunterschied besteht, bei Studenten die Zwischenprüfungsnoten der beiden Fächer erfassen. Der Vorteil der Erhebung beider Ausprägungen jeweils am gleichen Merkmalsträger liegt darin, dass individuelle Leistungsunterschiede, wie sie beim Vergleich von zwei aus verschiedenen Studenten bestehenden Stichproben möglicherweise auftreten, ausgeschaltet werden. Ein Zweistichprobentest auf der Basis verbundener Stichproben dürfte so meist effizienter sein als ein solcher auf der Basis unverbundener Stichproben. Im Folgenden sollen mit x i (i =,...,n) die Merkmalsausprägungen des ersten Merkmals und mit x i (i =,...,n) die Merkmalsausprägungen des zweiten Merkmals am Merkmalsträger i bezeichnet werden. Bei der Ableitung der Testverteilung geht man davon aus, dass die Beobachtungswerte x i und x i Realisationen von normalverteilten Zufallsvariablen X i und X i mit den Erwartungswerten E(X i ) = µ i und E(X i ) = µ i (i =,...,n) sind. Unabhängig von i soll nun für die Wertepaare µ i = µ i + δ (i =,...,n) gelten, wobei δ ein konstanter Betrag ist. Betrachtet man die n Zufallsvariablen D i = X i X i (i =,...,n), dann ist E(D i ) = µ i µ i = δ (i =,...,n). Es wird weiterhin angenommen, dass die Varianzen der Differenzen D i unabhängig von i, also konstant sind, d. h. dass Var(D i ) = σd (i =,...,n) gilt. Die n Differenzen D i können als eine Stichprobe von n unabhängigen Werten angesehen werden, die, da die X i und X i normalverteilt sind, ebenfalls einer Normalverteilung gehorchen; dabei können die Differenzen D i selbst dann noch in guter Näherung normalverteilt sein, wenn die Normalverteilungsannahme bezüglich X i und X i verletzt ist. Die Signifikanz der Differenzen kann nun analog der Vorgehensweise beim Einstichprobentest für das arithmetische Mittel bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit (Abschnitt 7. ()) geprüft werden. Da die Differenzen D i normalverteilt sind, ist die durchschnittliche Differenz der n Paare D = n D i n i= ebenfalls normalverteilt mit dem Erwartungswert E(D) = δ und der Varianz Var(D) = σ D = σ D n. Als Schätzfunktion für die unbekannte Varianz der Differenzen σd verwendet man S D = n Die Prüfgröße T = D δ S D n n (D i D). i= ist dann studentverteilt mit ν = n Freiheitsgraden. 43

8 Kapitel 7 beck-shop.de Testverfahren II (Parametertests) Die typische Vorgehensweise bei dem Zweistichprobentest für abhängige Stichproben soll an folgendem Beispiel erläutert werden. Beispiel: Ein Automobilhersteller interessiert sich für die Frage, ob ein bestimmtes von ihm produziertes PKW-Modell bei Verwendung von unverbleitem Superbenzin einen höheren Verbrauch aufweist als bei der Verwendung von verbleitem Superbenzin. An zufällig ausgewählten Exemplaren dieses Modells wurden in einem Test folgende Werte erhoben: Verbrauch von Verbrauch von PKW verbleitem Superbenzin unverbleitem Superbenzin (l/00 km) (l/00 km) i x li x i 7,4 7,8 9,0 8,8 3 7,9 9,0 4 9,8 0,5 5 8,6 9,3 6 0,, 7 7,8 8, 8 9,5 9,3 9 9, 0,4 0 8,4 0,0 8,9 9, 8,8 8,7 Tabelle 7.: Verbrauch von verbleitem und unverbleitem Superbenzin Die einzelnen Schritte des Tests sind dann: () Null- und Alternativhypothese sowie Signifikanzniveau Die Nullhypothese lautet hier: Der Verbrauch ist bei Verwendung von verbleitem und unverbleitem Benzin gleich. (δ = 0) und die Alternativhypothese: Der Verbrauch ist bei Verwendung von unverbleitem Superbenzin höher als bei Verwendung von verbleitem (δ > 0) ; als Signifikanzniveau soll α = 0,05 zugrundegelegt werden. Es gilt also H 0 : δ = 0 H A : δ>0 α = 0,05 () Prüfgröße und Testverteilung T = D S D n ist studentverteilt mit ν = n = Freiheitsgraden. (3) Bei einseitiger Fragestellung und einem Signfikanzniveau von α = 0,05 liefert die Tabelle der Studentverteilung für ν = Freiheitsgrade den kritischen Wert t c =,796. Für t >,796 wird H 0 abgelehnt, für t,796 kann H 0 nicht abgelehnt werden. Die Berechnung des Wertes der Prüfgröße t = d s D n erfolgt am besten anhand folgender Arbeitstabelle 7.: i x i x i d i = x i x i d i 7,4 7,8 0,4 0,6 9,0 8,8 0, 0,04 3 7,9 9,0,, 4 9,8 0,5 0,7 0,49 5 8,6 9,3 0,7 0,49 6 0,, 0,9 0,8 7 7,8 8, 0,3 0,09 8 9,5 9,3 0, 0,04 9 9, 0,4,3,69 0 8,4 0,0,6,56 8,9 9, 0, 0,04 8,8 8,7 0, 0,0 6,7 7,63 Tabelle 7.: Arbeitstabelle Damit ergibt sich das arithmetische Mittel der Differenzen zu d = n di = 6,7 = 0,558. Für die Varianz der Differenzen erhält man s D = (di d) n [ ] = n d i d n n [ = n d ( ) ] i di n n n [ = ( ) ] 7,63 6,7 = 0,3536 und für 44

9 beck-shop.de Aufgaben zu Kapitel 7 Kapitel 7 die Standardabweichung der Differenzen s D = 0,595. Damit beträgt der Wert der Prüfgröße t = d s = 0,558 = 3,5. D 0,595 n Da hier t > t c ist, wird H 0 abgelehnt. Es muss also auf einen signifikanten Mehrverbrauch von unverbleitem Superbenzin geschlossen werden. 7.7 Ausgewählte Literatur Graf, Ulrich, Hans-Joachim Henning, Kurt Stange, Peter-Theodor Wilrich, Formeln und Tabellen der angewandten mathematischen Statistik (3., völl. neu bearb. Aufl.,., korr. Nachdruck). Berlin, Heidelberg, New York usw Sachs, Lothar, Angewandte Statistik (3., akt. u. erw. Aufl.). Berlin, Heidelberg, New York usw Stange, Kurt, Angewandte Statistik, Teil (. Aufl.) Berlin, Heidelberg, New York 00. Walpole, Ronald E., Introduction to Statistics (3rd. ed.). New York, London 98. Aufgaben zu Kapitel 7 7. Ein Schiffsmotorhersteller behauptet, dass seine Maschinen im Durchschnitt höchstens 9,5 l Brennstoff pro Betriebsstunde verbrauchen. Eine Stichprobe im Umfang n = 0 Motoren liefert einen durchschnittlichen Verbrauch von x = 3 l bei einer Standardabweichung von s = 3, 6 l. Kann damit die Behauptung des Herstellers als widerlegt angesehen werden, wenn man voraussetzt, dass der Brennstoffverbrauch pro Betriebsstunde normalverteilt ist (Signifikanzniveau α = 0,05)? 7. Ein Taxiunternehmen rüstete seine Pkw mit zwei verschiedenen Reifensorten A und B aus. Reifen der Sorte A erreichten eine durchschnittliche Laufleistung von x = km bei einer Standardabweichung von s = km; eine gleich große Stichprobe der Reifensorte B erreichte eine durchschnittliche Laufleistung von x = km bei einer Standardabweichung von s = 5 50 km. Wie beurteilen Sie die Hypothese, dass beide Reifensorten die gleiche durchschnittliche Laufleistung besitzen und somit der beobachtete Unterschied nur zufälliger Natur ist, wenn vorausgesetzt wird, dass die Laufleistungen normalverteilt sind, und zwar mit gleicher Varianz σ = σ (Signifikanzniveau α = 0,05)? 7.3 In einem Farbfernsehgerätewerk wird die Qualität zweier besonders günstig angebotener größerer Lieferungen von Transistoren auf Stichprobenbasis überprüft. Die Stichprobe aus Lieferung im Umfang n = 300 liefert einen Ausschussanteil von p = 0, und die aus Lieferung im Umfang n = 00 einen solchen von p = 0,5. Kann aus diesen Ergebnissen geschlossen werden, dass die Transistoren aus Lieferung einen größeren Ausschussanteil aufweisen als die aus Lieferung (Signifikanzniveau α = 0,0)? 7.4 Testen Sie die in Aufgabe 7. aufgestellte Nullhypothese H 0 : σ = σ gegen die Alternativhypothese H A : σ > σ (Signifikanzniveau α = 0,05). 45

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