Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen. Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung

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1 Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung Typisierung der stetigen theoretischen Verteilungen Bibliografie: Prof. Dr. Kück Universität Rostock Statistik, Vorlesungsskript, Abschnitt 5.3 Bleymüller / Gehlert Verlag Vahlen 3 Statistische Formeln, Tabellen und Programme Bleymüller / Gehlert / Gülicher Verlag Vahlen 4 Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Hartung Oldenbourg Verlag Statistik

2 Chi-Quadrat-Verteilung Sind Z, Z,..., Z unabhängig standardnormalverteilte Zufallsvariable, d.h. E(Z i ) und Var(Z i ), so ist die Quadratsumme UZ ²+Z ²+...+Z ² Chi-Quadratverteilt (χ²-verteilt) mit Freiheitsgraden. Es lässt sich zeigen, dass E(U) und Var(U) sind. Für die Dichte und Verteilungsfunktion ist die Gamma- Funktion von Bedeutung: F Ch (u) für u < u ( / ) ( / ) Γ( ) e d für u / Bestimmte Werte der Verteilungsfunktion sind in Abhängigkeit von der Anzahl der Freiheitsgrade in Tabellen zu finden. 3 Chi-Quadrat-Verteilung f(),6,4,,,8,6,4, fch( 5) fch( 9) fch( 3) fch( 7) Die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist unsymmetrisch und nähert sich mit wachsendem der Glockenform der Normalverteilung. 4

3 Chi-Quadrat-Verteilung Für große ist die Zufallsvariable Z U näherungsweise standardnormalverteilt. Die Verteilung von U passt sich noch besser der Normalverteilung mit µ und ² an. Die Zufallsvariable Z U ist somit annähernd standardnormalverteilt. Für 3 liefert diese näherungsweise Berechnung gute Resultate. 5 Chi-Quadrat-Verteilung In der folgenden Tabelle sind für 4 einige Quantile und ihre Approimationen angegeben:,5,95 χ²-quantil 6,5 55,76 Approimation durch Z * 5,9 54,7 Approimation durch Z ** 6,3 55,47 An der Bildungsvorschrift für U ist schon erkennbar, dass diese Verteilung für die Charakterisierung der Stichprobenvarianzen wichtig ist. Wir werden im Abschnitt 7. darauf zurückkommen. 6 3

4 Chi-Quadrat-Verteilung Sind die X i unabhängig und identisch normalverteilt mit den Parametern µ und ², so ist ( X µ ) n n i Zi i i eine χ²-verteilte Zufallsgröße mit n Freiheitsgraden. Es lässt sich sogar zeigen, dass n U i ( X X) ( n ) i χ²-verteilt ist mit n Freiheitsgraden. S 7 Chi-Quadrat-Verteilung Grafische Darstellungen: Dichtefunktion (Ny5 Freiheitsgrade) Verteilungsfunktion (Ny5 Freiheitsgrade) f(),6,4,,,8,6,4, F(),8,6,4,

5 Chi-Quadrat-Verteilung Beispiel: Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekannten Parametern µ und ² wird eine Stichprobe im Umfang von n4 gezogen. Daraus wird eine Stichprobenvarianz von s² ermittelt. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet die Varianz der Grundgesamtheit die der Stichprobe um mehr als Prozent? b) Wo liegen die Grenzen eines Intervalls, das mit einer Wahrscheinlichkeit von,9 die Varianz der Grundgesamtheit überdeckt? (Man halbiere die Restwahrscheinlichkeit am unteren und oberen Intervallende.) 9 Chi-Quadrat-Verteilung Lösung: Es ist U (n ) S²/². a) W(²>, S²) W((n )/,>(n ) S²/²) W(3,5>U) U ist χ²-verteilt mit n 39 Freiheitsgraden. Tabelliert: F Chi (3,737 39),5 F Chi (3,5 39) W(3,5>U),5 Mit einer Wahrscheinlichkeit von,5 überschreitet die Varianz der Grundgesamtheit die Varianz der Stichprobe um mehr als Prozent. Anmerkung: Eine um % höhere Varianz ² entspricht einer um 9,5% höheren Standardabweichung : ²>, S² > ²>,95² S² > >,95 S 5

6 Chi-Quadrat-Verteilung Lösung (Fortsetzung): b) Zunächst bestimmen wir das,5- und das,95-quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit 39 Freiheitsgraden: W(U<u ),5 > U 5,695 und W(U<u ),95 > U 54,57,5W(U<u )W((n ) S²/²<u )W((n ) S²/u <²) (n ) S²/u 39 /5,695 5,8,95W(U<u )W((n ) S²/²<u )W((n ) S²/u <²) (n ) S²/u 39 /54,57 7,5 Das gesuchte Intervall ist [7,5; 5,8]. Student-Verteilung Die Student- oder t-verteilung wurde 98 vom englischen Statistiker W.S. Gosset, der unter dem Pseudonym Student publizierte, im Zusammenhang mit Untersuchungen zur Verteilungsfunktion des arithmetischen Mittelwertes im Falle kleiner Stichproben (n<3) und unbekannter Varianz einer normalverteilten Grundgesamtheit abgeleitet. Bei bekannter Varianz der normalverteilten Grundgesamtheit mit E(X)µ und Var(X)² gilt, dass die Zufallsgröße X normalverteilt ist mit E(X)µ. 6

7 Student-Verteilung Die Varianz von X ist abhängig von der Stichprobenentnahmetechnik: Ziehen mit Zurücklegen: Var(X) Ziehen ohne Zurücklegen: N n Var(X) n N Das Bilden einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist somit beim Ziehen mit Zurücklegen leicht möglich: X µ Z n n 3 Student-Verteilung Ist hingegen die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt, so kann dafür die Stichprobenvarianz als Schätzwert benutzt werden. Die Qualität der Schätzung hängt vom Stichprobenumfang ab und führt zur Berücksichtigung von Freiheitsgraden. Die Verteilung der Stichprobenvarianz steht in enger Beziehung zur χ²-verteilung. Es sei Z eine standardnormalverteilte und U eine χ²-verteilte Zufallsvariable mit Freiheitsgraden (Z und U seien voneinander unabhängig). Dann gehorcht die Zufallsgröße T T einer Studentverteilung mit Freiheitsgraden. Z U 4 7

8 Student-Verteilung In der Dichte- und der Verteilungsfunktion der Studentverteilung taucht wieder die Gammafunktion auf: + Γ π Γ t + fs(t) + ( ) mit : < t < / F S (t) t f S ( ) d 5 Student-Verteilung Aufgrund der symmetrischen Form der Dichtefunktion gilt: F S (-t) F S (t) Erwartungswert und Varianz: E (T) und Var(T) für > Für eistiert kein Erwartungswert und für keine Varianz. 6 8

9 Student-Verteilung f(),4,35,3,5,,5 fs( ) fs( 5) fs( 3) fn( ),, Die Dichtefunktion ist symmetrisch und glockenförmig (flacher als die Gaußkurve). Mit wachsendem (genaugenommen für ) geht die t- Verteilung in die Standardnormalverteilung über. In der Prais wird für 3 bereits mit der Standardnormalverteilung gerechnet. 7 Student-Verteilung Wir betrachten jetzt Zufallsvariablen X,..., X n, die unabhängig und identisch normalverteilt sind mit den Parametern µ und ². Dann ist die Zufallsgröße X µ Z n U ( n ) S standardnormalverteilt und ist χ²-verteilt mit n Freiheitsgraden, so dass die nach obiger Vorschrift gebildete Zufallsvariable T X S µ n t-verteilt ist mit n Freiheitsgraden. 8 9

10 Student-Verteilung Grafische Darstellungen:,5 f(),4,3,, Dichtefunktion (Ny Freiheitsgrade) , F(),8,6,4, Verteilungsfunktion (Ny Freiheitsgrade) Student-Verteilung Beispiel: Das Gewicht von Kaffeepäckchen wird als normalverteilt bei unbekannter Varianz ² angesehen. Der Grundgesamtheit werden zufällig 3 Kaffeepakete entnommen. Als mittleres Gewicht werden 495 g bestimmt. Die mittlere quadratische Abweichung vom Stichprobenmittelwert ergibt die Stichprobenvarianz von g². a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das mittlere Gewicht der Grundgesamtheit unter 49 g? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das mittlere Gewicht über 5 g? c) Geben Sie ein symmetrisch zum Stichprobenmittelwert gelegenes Intervall an, in dem der Mittelwert der Grundgesamtheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 9 % liegt.

11 Student-Verteilung Lösung: 495 µ 495 a) W(µ<49) W(-µ>-49) W > 3 W(T>,49) W(T,49) F S (,49),99, [W(T,46),99 für n-9] b) W(µ>5) W(-µ<-5) W W(T<-7,47) FS(-7,47) FS(7,47) 3 3 [W(T 3,396),999 für n-9] µ < Student-Verteilung Lösung (Fortsetzung): c) W(495-<µ<495+) W(-<µ-495<) W(-<495-µ<), µ 3 / 3 3 W < < W,9 W(T> (/3) -,5 ) W(T<- (/3) -,5 ),5 W(T< (/3) -,5 ) F S ( (/3) -,5 ),95 (/3) -,5,699 [für n-9 Freiheitsgrade],699,8 3, ,4 49, ,4 498,4 < T < 3 Die gesuchten Intervallgrenzen sind 49,59 (untere) und 498,4 (obere). Daraus folgt, dass sich das vom Kunden erhoffte mittlere Gewicht von mindestens 5 g nicht im berechneten Intervall befindet.

12 Fisher-Verteilung Die nach dem Amerikaner R.A. Fisher benannte Verteilung spielt eine Rolle, wenn der Quotient von Varianzen untersucht werden soll. Ausgehend von der Tatsache, dass die für eine normalverteilte Grundgesamtheit mit der Varianz ² gebildete Zufallsvariable (n ) S U einer χ²-verteilung mit n- Freiheitsgraden gehorcht, sollen nun zwei normalverteilte Grundgesamtheiten mit den Varianzen ² und ² betrachtet werden. Die χ²-verteilten Zufallsvariablen ( ) ( ) n S n S U und U mit den Freiheitsgraden n bzw. n sollen unabhängig voneinander sein. 3 Fisher-Verteilung Dann ist der Quotient F U U S S eine F-verteilte Zufallsgröße mit den Freiheitsgraden n für den Zähler und n für den Nenner. Für > ist der Erwartungswert: E(F) Für eistiert kein Erwartungswert. E(F) hängt also nur von ab und nähert sich mit wachsendem dem Wert. 4

13 Fisher-Verteilung Für >4 ist die Varianz: Var(F) ( + ) ( ) ( 4) Für 4 eistiert keine Varianz. Die Varianz nimmt mit wachsenden und ab. Die Argumente der Verteilungsfunktionen der F-Verteilung sind in der Formelsammlung für die kritischen Werte (Quantile) F C,95 und F C,99 zu ausgewählten Freiheitsgraden und tabelliert (Bleymüller/Gehlert, Formelsammlung). Wegen F α;; /F -α;; erhöht sich die Anzahl der Werte, die aus den Tabellen gewonnen werden können. 5 Grafische Darstellungen: Fisher-Verteilung Dichtefunktion ( und ) Verteilungsfunktion ( und ) f() F(),8,8,6,6,4,4, 3 4,

14 Typisierung der stetigen theoretischen Verteilungen Verteilung Parameter Erwartungswert [Varianz] Grundmodell Gleichverteilung - <a<b< (a+b)/ [(b a)²/] Jeder Wert aus dem endlichen Intervall von a bis b ist gleichmöglich. Normalverteilung Eponentialverteilung Chi-Quadrat- Verteilung λ> - <µ< >,,... / λ [ λ ] µ [²] [ ] Eponentiell abklingende Dichtefunktion für Werte aus dem Intervall von o bis +. Glockenförmige symmetrische Dichtefunktion mit Maimum bei µ und Wendepunkten bei µ±. Verteilung für Quadratsummen von standardnormalverteilten Variablen, SP-Verteilung für Aussagen über Varianz der GG, unsymmetrische Dichte. 7 Typisierung der stetigen theoretischen Verteilungen Verteilung Parameter Erwartungswert [Varianz] Grundmodell Studentverteilung,,... für > [/(-) für >] Verteilung für Quotienten aus standardnormal- und χ²verteilten Größen, SP- Verteilung für Aussagen über das arithmetische Mittel, symmetrische Dichte. Fisherverteilung,,...,,... /( -) für > ( ) ( )( ) + 4 Verteilung für Quotienten aus χ²-verteilten Größen mit bzw. Freiheitsgraden im Zähler bzw. Nenner, unsymmetrische Dichte. für >4 8 4

15 Optimale Prüfungsvorbereitung Sommerpause!!! Freudiges Ergebnis Fort von der Uni Mit Fahrrad Bahn Auto Ab in die Sonne! Schiff 9 5

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