2. Übung zur Vorlesung Statistik 2

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1 2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 Aufgabe 1 Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen Sie ihre Antwort! Aufgabe 2 Welche der folgenden Funktionen ist keine Dichtefunktion? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen Sie ihre Antwort! 0, falls x 0, 3. f(x) = x f(x) = e x, falls x >

2 Aufgabe 3 Welche der folgenden Funktionen ist keine Verteilungsfunktion? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen Sie ihre Antwort! 0, falls x 0, 4. F (x) = 1 e x 1. F (x) = (1 + e x ), falls x > , falls x < 0, 2. F (x) = (1 e x ), falls x 0 3. Aufgabe 4 In einem Lieferung von 10 Motorteilen befinden sich 3 defekte Teile. Zur Qualitätskontrolle werden nacheinander 4 Teile gezogen, ohne sie nach der Ziehung wieder ins die Lieferung zurück zu legen. Sei X die Anzahl der unter diesen 4 gezogenenen Teilen vorhandenen defekten Teile. 1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X, d.h. p o = P (X = 0), p 1 = P (X = 1), p 2 = P (X = 2) und p 3 = P (X = 3). 2. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X), die Varianz V ar(x) und das obere Quartil x Aufgabe 5 Die zufällige Zeit X, die ein ICE in Saarbrücken verspätet eintrifft, liegt zwischen 0 und 100 Minuten. Die Dichtefunktion ist in folgender Skizze gegeben. 2

3 Berechnen Sie 1. die Dichtefunktion von X. 2. die Verteilungsfunktion von X. 3. den Anteil der Fällen, in denen die Verspätung eine halbe Stunde überschreitet. Stellen Sie diesen Anteil grafisch dar! 4. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der ICE sich mehr als 1 Stunde verspätet, wenn man bereits eine halbe Stunde (Verspätung) auf den ICE gewartet hat. 5. Welche Verspätungszeit wird in 70% aller Fälle überschritten? 6. Wie groß ist die Verspätung im Mittel? Aufgabe 6 Die zufällige Lebensdauer X eines Handyakkus (in Jahren) hat folgende Dichtefunktion: 6 f X (x) = 125 x x, 0 x 5 0, sonst a) Zeigen Sie, dass f X (x) eine Dichtefunktion ist. b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F X (x) von X. c) Wie groß ist die durchschnittliche Lebensdauer der Handyakkus? d) Wieviel Prozent der Akkus leben länger als 2 Jahre? e) Berechnen Sie den Anteil der Handyakkus, die länger als 3 Jahre leben, wenn sie bereits 2 Jahre überlebt haben. Aufgabe 7 Gegeben ist eine stetige Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion: 0, x 1 f(x) = 1 x 2, sonst 1. Berechnen Sie die Dichtefunktion. 2. Berechnen Sie den Erwartungswert. 3. Berechnen Sie P (1, 5 x 2, 25). 4. Berechnen Sie P (x 3, 5 x 1, 5). 5. Berechnen Sie das 0,25-Quantil. 3

4 Aufgabe 8 Die Anzahl der zerfallenen Atomkerne bei radioktiven Zerfall ist poissonverteilt. Im Mittel zerfallen bei einem bestimmten Präparat 150 Atomkerne pro Minute. 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 3 Kerne pro Sekunde zerfallen? 2. Wie groß ist die Zeit zwischen dem Zerfall von 2 Atomkernen im Durchschnitt? 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zeit zwischen dem Zerfall von 2 Kernen mindestens 5 Sekunden beträgt? Aufgabe 9 Die Zeit, die ein elektronisches Bauteil ohne Störung läuft, ist exponentialverteilt mit dem Parameter α = Wieviel % aller Bauteile arbeiten mehr als 40 Tage störungsfre? 2. Welche störungsfreie Zeit überschreiten 80% aller Bauteile nicht? 3. Wie lange arbeiten die Bauteile im Durchschnitt störungsfrei? Aufgabe 10 Bei der Übertragung von elektronischen Signalen wird ein Signal mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0.1 fehlerhaft übertragen. Eine Nachricht besteht aus 8 Signalen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass: a) genau das 2. Signal fehlerhaft übertragen wird. b) genau eines der Signale fehlerhaft übertragen wird. c) genau das zweite und das fünfte Signal fehlerhaft übertragen wird. d) genau zwei Signale fehlerhaft übertragen werden. e) höchstens ein Signal fehlerhaft übertragen wird. Aufgabe 11 Die durchschnittliche Niederschlagsmenge (Regenmenge) pro Monat in Deutschland ist normalverteilt um 58 Liter pro Quadratmeter: X N(58, (20) 2 ). 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Moment mehr als 70 Liter pro Quadratmeter regnet? 2. Berechnen Sie den Toleranzbereich ( [58 ɛ, 58 + ɛ]) um 58 mm herum, d.h. das ɛ, in dem in 99% aller Fälle die Niederschlagsmenge im Monat liegen. 4

5 Aufgabe 12 Die zufällige Übertragungszeit T von Bildsignalen durch einen Kanal K sei normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 50 ms und der Varianz σ 2 = 4ms 2, d.h. es gelte T N(50, 4). Signal K Empfänger a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Übertragungszeit genau 42 ms dauert? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Übertragungszeit zwischen 42 und 53 ms? c) Geben Sie einen symmetrischen Bereich [50 c, 50+c] ms um die mittlere Übertragungszeit an, in dem 90 % aller Zeiten liegen! d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Übertragungszeit eines Bildsignales mehr als 50ms? e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 5 (stochastisch unabhängigen) Übertragungen bei mindestens einer die Übertragungszeit mehr als 50 ms beträgt? f) Wie viele Übertragungen, die länger als 50ms dauern, würden Sie durchschnittlich bei 100 stochastisch unabhängigen Übertragungen erwarten? g) Angenommen, Sie schalten 2 dieser Kanäle in Reihe. Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet die Gesamt-Übertragungszeit dann 100 ms? Signal K1 K2 Empfänger Aufgabe 13 Eine Gerät besteht aus 3 Bauelementen, wie in der Skizze dargestellt. Das Gerät fällt aus, wenn beide Reihen ausfallen. Eine Reihe fällt aus, wenn mindestens eines der in Reihe geschalteten Elemente ausfällt. Die zufällige Zeit T i bis zum Ausfall eines Bauelements B i ist wie folgt gegeben (alle Angaben in Stunden): Bauelement B 1 : T 1 N(100, 1) Bauelement B 2 : Die Verteilung von T 2 ist nicht vollständig bekannt. Bauelement B 3 : T 3 E(0, 01) B 1 fällt unabhängig von B 3 aus, gleichfalls fällt B 2 unabhängig von B 3 aus (d.h. T 1 und T 2 sind stochastisch unabhängig von T 3 ). Die Ausfallwahrscheinlichkeit von B 2 ist von der Lebensdauer von B 1 abhängig; es gilt: P (T 2 < 100/T 1 < 100) = 0, 99 und P (T 2 < 100/T 1 100) = 0, 2. 5

6 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer des Gerätes 100 Stunden nicht überschreitet! Abgabe: Freitag, 31. Juli 2015 vor der Vorlesung 6