Statistik Zusätzliche Beispiele WS 2018/19

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1 Statistik Zusätzliche Beispiele WS 208/9 Blatt 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Erstellen Sie zur Zufallsgröße Augensumme von drei fairen Würfeln eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion und vergleichen Sie deren Stabdiagramm mit jenem der Augenzahl eines fairen Würfels, der diskreten Gleichverteilung auf {, 2, 3, 4,, }, sowie mit einer geeigneten Glockenkurve. 2. Bei einem Brettspiel darf man, wenn man eine Glückskarte zieht, mit einem Würfel einmal Würfeln und dreimal so viele Felder vorziehen wie die Augensumme anzeigt. Erstellen Sie eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion und bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz. 3. Der Chevalier de Méré (07-84), ein französischer Edelmann im Zeitalter des Barocks, behauptete, dass die Augensummen und 2 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich seien. Er argumentierte, dass es für die Augensumme sechs verschiedene Möglichkeiten gebe, nämlich {,4,}, {,,}, {2,3,}, {2,4,}, {3,3,}, {3,4,4} und für die Augensumme 2 ebenso sechs verschiedene Möglichkeiten, nämlich {,,}, {2,4,}, {2,,}, {3,3,}, {3,4,}, {4,4,4} In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme häufiger als die Augensumme 2. Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein. Worin lag sein Irrtum? Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme, sowie die Augensumme Gegeben sei die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion: X\Y 0 2 0, 0,2 0,3 2 0,2 0 0,2 a) Geben Sie die Randverteilungen sowie deren Erwartungswerte und Varianzen an. b) Bestimmen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten. c) Man bestimme für die Zufallsgrößen Z = X + Y und Z 2 = X + 2Y die Wahrscheinlichkeitsfunktion sowie Erwartungswert und Varianz. d) Welche Zusammenhänge gelten zwischen den Erwartungswerten und Varianzen von Z und Z 2 einerseits und X und Y andererseits? Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 2 WS 208/8

2 . Wenn Sie nun mit dem Begriff Wahrscheinlichkeit vertraut sind, sollten die folgenden Fragen für Sie zumindest prinzipiell ganz einfach sein: Sie werfen einen Würfel sechsmal. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der sechste Wurf eine Sechs? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie bei diesen sechs Würfen genau eine? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten sie beim ersten und beim sechsten Wurf jeweils eine? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie beim sechsten Wurf zum ersten Mal eine Sechs? e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie nur beim ersten und beim letzten Wurf jeweils eine Sechs? f) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie beim sechsten Wurf schon das sechste Mal die Sechs? g) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens seine Sechs dabei? h) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme aller Würfe größer als sechs? i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Produkt aller erzielten Zahlen kleiner als? j) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben Sie sechs Mal gewürfelt?. Das Finanzamt überprüft auf 2 Baustellen die Arbeitsgenehmigungen der Beschäftigten. Es werden jeweils drei Arbeiter zufällig ausgewählt. Unabhängig von der Baustelle betrage der Anteil der illegal Beschäftigten (Schwarzarbeiter) zwanzig Prozent. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, auf einer Baustelle keinen (genau zwei) Schwarzarbeiter zu finden? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden insgesamt höchstens drei illegal Beschäftigte gefunden? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden genau zwei von den 2 Baustellen beanstandet (d. h. dort wird mindestens ein Illegaler entdeckt)? Hinweis: Immer die Verteilung und die Parameter der Zufallsgröße ermitteln. 7. Der Gourmethändler Exquisit prüft die Angebote von zwei Kartoffelbauern: Beide Kartoffelbauern liefern Trüffelkartoffel, aber mit unterschiedlichem Ausschussanteil: Bauer X: 4 % Ausschuss, Bauer Y: 0 % Ausschuss Um zu einer Entscheidung über einen möglichen Liefervertrag zu kommen, wird jeweils eine Stichprobe von n = 40 Stück Trüffelkartoffel verkostet. Da dem Gourmethändler ein Ausschussanteil von % gerade noch akzeptabel erscheint, wird die Lieferung akzeptiert, wenn bei der Verkostung höchstens 2 Kartoffeln ungenießbar sind. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Lieferung vom Bauern X nicht angenommen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Lieferung vom Bauern Y doch angenommen? 8. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Lotto aus 4 a) einen Sechser (Fünfer) b) mindestens eine richtige Zahl zu tippen. 9. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto aus 4 einen Fünfer mit Zusatzzahl zu erhalten. Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 2 2 WS 208/8

3 0. Um teure Rückrufaktionen von produzierten Mobiltelefonen zu vermeiden, werden von einem Hersteller Akkus, die von einem Zulieferer hergestellt werden, einer Abnahmekontrolle unterzogen. Dabei werden zehn Akkus aus einer eingegangenen Lieferung entnommen und auf Funktionsfähigkeit geprüft. Sind alle zehn Akkus in Ordnung, wird die Lieferung angenommen. Sind jedoch zwei oder mehr defekt, wird die gesamte Lieferung zurück geschickt. Ist jedoch nur ein Stück fehlerhaft, wird eine weitere Stichprobe von vier Stück entnommen. Nur dann, wenn in dieser zweiten Stichprobe alle Akkus einwandfrei sind, wird die Lieferung angenommen, andernfalls zurückgeschickt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lieferung angenommen wird, wenn 2 % der Akkus fehlerhaft sind?. Eine Prüfung wird als Multiple-Choice-Test abgehalten. Es werden fünf Multiple-Choice- Fragen mit jeweils sechs möglichen Antworten vorgelegt, von denen jeweils genau eine Antwort richtig ist. a) Ein schlecht vorbereiteter Student hat keine Ahnung von dem abgefragten Stoff und kreuzt bei jeder Frage jeweils eine Antwort rein zufällig an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er danach mindestens zwei Fragen richtig beantwortet? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantwortet eine besser vorbereitete Kollegin mindestens drei Fragen richtig, wenn sie ganz sicher bei jeder Frage vier Antwortmöglichkeiten ausschließen kann und zwischen den verbleibenden beiden Antwortmöglichkeiten zufällig wählt? 2. Darf man die Binomialverteilungen B(40; 0,8) bzw. B(40; 0,4) durch eine Normalverteilung approximieren? Führen Sie, falls erlaubt, diese Approximation durch und berechnen Sie sowohl exakt als auch unter Verwendung der Approximation die Wahrscheinlichkeit P (X {4,, }). Argumentieren Sie die Notwendigkeit der Stetigkeitskorrektur! 3. Eine Zufallsgröße X ist stetig gleichverteilt über dem Intervall [a,b]. Man weiß: P (X < 4) = 0,4 und P (X > 0) = 0,3. Bestimmen Sie a und b! 4. a) Bestimmen Sie µ und σ jener Normalverteilung, für die gilt: P (X < 30) = 0,4 und P (X > 0) = 0,. b) Wie ist die Summe S von zehn derartigen unabhängigen Zufallsgrößen verteilt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt diese Summe über 00? c) Wie ist der Mittelwert X von zehn derartigen unabhängigen Zufallsgrößen verteilt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt dieser Mittelwert über 40?. Das Einkommen der Bürger einer Stadt sei logarithmisch normalverteilt mit µ = 8 und σ = 2. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der ein zufällig ausgewählter Bürger ein Einkommen i. unter ii. über bezieht. b) Wie hoch ist das Einkommen im Durchschnitt? Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 2 3 WS 208/8

4 . Man vergleiche die Wahrscheinlichkeit P (X [9,; 2,]) folgender Verteilungen: a) B(40; 0,3) b) H(900; 7; 40) c) Poisson-Verteilung mit Parameter 2,2 d) N(2,2; 3,04). Warum sind nun einige Ergebnisse untereinander so ähnlich? Vergleichen Sie dazu Erwartungswerte und Varianzen. 7. Noch zwei Fragen zum Verständnis: a) Wie groß sind: Φ(z 0,7 ) Φ(z 0,2 ) z Φ(,3) Φ(0) z b) Für welche Verteilung ist F (4) am größten: für die B(0; 0,8)-, die Poisson(,4)- oder für die B(0; 0,)-Verteilung? Skizzen sind überaus hilfreich! Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 2 4 WS 208/8

5 Lösungen. X + X + X p i Augensumme nach Wurf Augensumme nach 3 Würfen X p i E(3X) = 0,; V ar(3x) = 2, unterschiedliche Augenzahlen im Triple: (,4,), (,,4), (4,,), (4,,), (,,4), (,4,) 2 unterschiedliche Augenzahlen im Triple: (,,), (,,), (,,) Augensumme : Möglichkeiten: {,4,}, {,,}, {2,3,}, {2,4,}, {3,3,}, {3,4,4} Anzahl: = 27 Augensumme 2: Möglichkeiten: {,,}, {2,4,}, {2,,}, {3,3,}, {3,4,}, {4,4,4} Anzahl: = 2 P (Augensumme ) = 27 2 = 8 = 0,2 P (Augensumme 2) = 2 2 = 0, Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 2 WS 208/8

6 4. a) X 2 p i. 0, 0,4 Y 0 2 p.j 0,3 0,2 0, E(X) =,4, V ar(x) = 0,24 E(Y ) =,2, V ar(y ) = 0,7 b) Cov(X, Y ) = 0,08, ρ(x, Y ) = 0,87 Z c) E(Z p i 0, 0,4 0,3 0,2 ) = 2,, V ar(z ) = 0,84 Z p i 0, 0,2 0,2 0 0,3 0,2 d) E(Z ) = E(X) + E(Y ) E(Z 2 ) = E(X) + 2E(Y ) V ar(z ) = V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ) V ar(z 2 ) = V ar(x) + 4V ar(y ) + 4Cov(X, Y ). a) ( ) b) ( ) ( = ) c) 3 ( ) d) ( ) 2 ( 4 e) ) E(Z 2 ) = 3,8, V ar(z 2 ) = 2,9 f) ( ) ( g) ) ( h) ) i) 40. X B(3; 0,0) a) 0,2 (0,09) b) 0,022 c) P (X ) = 0,488; Z B(2; 0,488); P (Z = 2) 0, a) 0,24 b) 0,2228 Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 2 WS 208/8

7 8. a) X H(4; ; ) ) ( ) ( P (X = ) = P (X = ) = b) P (X = 0) = ( ( 4 ( ) ( ) 39 ( 4 ( ) ( ) 0 39 ( 4 ) = 8400 = 0.0 ) = = 0.0 ) = P (X 0) = 0.40 = 0.99 ) ( ) ( ) 38 0 ( ) 4 = p = 0,2 n = 0 X B(0; 0,2) P (X = 0) = = 0.03 P (X = ) = 0 0, = 0.88 Y B(4; 0,2) P (Y = 0) = = 0.3 = 0.40 P (X = 0) + P (X = ) P (Y = 0) = 0,03 + 0,88 0,3 = 0,. a) X B(; 0.7) P (X 2) = P (X {0,}) = 0.9 oder P (X {2,3,4,}) P (X = 0) = ( ) = P (X = ) = ( ) = P (X = 2) = ( ) = 0. P (X = 3) = ( ) = P (X = 4) = ( ) = P (X = ) = ( ) = 0.0 b) Y B(; 0.) P (Y 3) = P (Y {0,,2}) = 0. oder P (Y 3) = P (Y {3,4,}) P (Y = 0) = ( ) = 0.03 P (Y = ) = ( ) = 0. P (Y = 2) = ( ) = 0.32 P (Y = 3) = ( ) = 0.32 P (Y = 4) = ( ) = 0. P (Y = ) = ( ) = 0.03 Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 2 7 WS 208/8

8 2. np( p) > 9 B(40 : 0,8) 40 0,8 0.2 =,4 < 9 keine Approximation B(40 : 0,4) 40 0,4 0. = 9, > 9 Approximation möglich µ = np = 40 0,4 = σ 2 = np( p) = 9. X N(; 9.) exakt: P (X = 4) = ( ) ,4 4 0, 2 = 0,03 P (X = ) = ( ) 40 0,4 0, 2 = 0,228 P (X = ) = ( ) 40 0,4 0, 24 = 0,279 P (X {4,,}) = 0,37 approximiert: P (X [3,;,]) = F (,) F (3,) = ( ) ( ), 3, = Φ Φ = 9, 9, = Φ(0,) Φ( 0,8) = 0,3 ( 0,79) = 0,34 3. P (X < 4) = 0,4 P (X > 0) = 0,3 (4 a) b a = 0,4 (b 0) b a = 0,3 4 a = 0,4b 0,4a b 0 = 0,3b 0,3a 0,a + 0,4b = 4 0,3a + 0,7b = 0 b = 7 0,a = 4 0,4 7 a = = 3 3 = 2 4. a) µ = 33,300; σ = 3,0302 b) S N(333,00; 4,20); P (S > 00) = 0 c) X N(33,300; 4,20); P (X > 40) = 0,0 Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 2 8 WS 208/8

9 . X LN(8; 2) ( ) ln(2.000) 8 a) i. P (X < 2.000) = Φ = Φ(0,9) = 0,78 2 ( ) ln(20.000) 8 ii. P (X > ) = Φ = Φ(0,92) = 0,8289 = 0,7 2 b) E(X) = e 8+0, 22 = e 0 = 22.02,47. a) 0,0 b) 0,0 c) 0,42 d) 0,08 E(X) V ar(x) B 2,2 9,324 H 2,2 8,920 P 2,2 2,2 N 2,2 9, a) 0,7 0,2,3 0, b) P(,4) Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 2 9 WS 208/8