Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

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1 Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014

2 Organisatorisches

3

4 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang ungewiss ist. (2) Das (Versuchs-)Ergebnis ist das Resultat bzw. der Ausgang eines Zufallsexperimentes. (3) Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ergebnisraum Ω bezeichnet.

5 0. Begriffe in der Stochastik (4) Jedem Ergebnis wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die als Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird, wobei alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben. Symbolisch: P(E) = a, 0 a 1 (5) Ein (Versuchs-)Ereignis ist eine Zusammenfassung von (mehreren) möglichen Ergebnisse zu einem Ganzen. Damit sind Ereignisse also auch ein Teil des Ergebnisraumes.

6 0. Begriffe in der Stochastik (6) Bernoulli-Experiment Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment, bei dem sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden. (7) Bernoulli-Kette Wiederholte Durchführung eines Bernoulli-Experimentes, die Wahrscheinlichkeiten bleiben unverändert. Benannt nach Jakob Bernoulli ( ), schweizer Mathematiker.

7 (1) Eine Funktion X, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuches eine reelle Zahl zuordnet, heißt Zufallsgröße. Eine Zufallsgröße heißt: stetig, wenn sie alle möglichen reellen Zahlen als Wert annehmen kann (z.b. auf ein Intervall abbildet). diskret, wenn sie nur endlich viele (meist runde ) Werte annehmen kann.

8 (2) (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung Die Verteilung ist eine Funktion, die jedem Wert einer Zufallsgröße ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet. Die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten ist 1. Sie heißt: Symbolisch: P(X = k) = a, 0 a 1 - Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Zufallsgrößen - Dichtefunktion bei stetigen Zufallsgrößen

9 Abitur M-V 2010

10 Zum Beispiel: Augensumme beim zweimaligen Würfeln W2 W

11 Zum Beispiel: Augensumme beim zweimaligen Würfeln k P(X=k) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Wertetabelle (oben) Histogramm (links) Balkendiagramm (rechts) Beides sind Wahrscheinlichkeitsfunktionen

12 (3) Erwartungswert einer Zufallsgröße Eine Zufallsgröße X nehme die Werte k 1, k 2,, k n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = k 1 ),, P(X = k n ) an. Dann wird der zu erwartende Mittelwert der Verteilung als Erwartungswert der Zufallsgröße bezeichnet. Symbolisch: E(X), μ (lies: mü ), x n Es gilt: μ = E X = ki P(X = ki) i=1 Bemerkungen: i. Der Erwartungswert wird fast genauso berechnet, wie das arithmetische Mittel (der Durchschnitt). ii. Ein Spiel (um Geld) wird als fair bezeichnet, wenn der Erwartungswert des Gewinns 0 ist.

13 D. h. beim zweimaligen Würfeln: E X 1 = = 7

14

15 (4) Varianz einer Zufallsgröße Die Varianz misst, wie sehr die Zufallsgröße von ihrem Erwartungswert abweicht. Symbolisch: V(X), Var(X), σ² x oder σ² n i=1 Es gilt: Var X = σ² x = (ki μ)² P(X = ki) D.h. beim Würfeln: V X = ² (9 7)² (10 7)² (11 7)² (12 7)²

16 V X = 35 = 8, 3 Die Zufallsgrößen liegen im 6 Bereich 7 ± 8,3

17 (5) Standardabweichung einer Zufallsgröße Die Standardabweichung gibt den Bereich der häufigsten Werte um den Erwartungswert an. Symbolisch: σ x oder σ Es gilt: σ = Var(X)

18 D.h. beim Würfeln: σ = 35 6 Werte ist 7±2,42 = 2,42 Der Bereich der häufigsten

19

20 (6) Normalverteilung von Zufallsgrößen Eine Normalverteilung (Gauss-Verteilung) einer stetigen Zufallsgröße X liegt vor, wenn für deren Dichtefunktion f(x) gilt: f x = 1 2πσ² e 1 2 x μ σ ² Für μ = 0 und σ = 1 heißt sie Standardnormalverteilung. Benannt nach dem Mathematiker, Geodät, Physiker und Astronom Carl Friedrich Gauß ( ), der sie im Zusammenhang mit der Fehlerrechnung entdeckte.

21 zuletzt abgerufen am um 19:24.

22 Eigenschaften der Dichtefunktion/Normalverteilung: Maximum bei x = μ Symmetrieachse bei x = μ f x dx = 1 0 f x 1, für alle x R

23 Aus: Vorlesung Wahrscheinlichkeitslehre und Statistik von Prof. Dr. Thomas Adamek, Universität Stuttgart

24 zuletzt abgerufen am um 18:51

25 2. Binomialverteilung (1) Eine Zufallsgröße X mit der Wertemenge {k k = 1,2,, n} heißt binomialverteilt genau dann, wenn für die Wahrscheinlichkeit gilt: P X = k = n k pk 1 p n k Wobei p die Wahrscheinlichkeit eines Treffers ist. Symbolisch: B n;p (k) oder P(X=k)

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