15.5 Stetige Zufallsvariablen

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1 5.5 Stetige Zufallsvariablen Es gibt auch Zufallsvariable, bei denen jedes Elementarereignis die Wahrscheinlich keit hat. Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms Die Lebensdauer eines radioaktiven Atoms kann als Zufallsexperiment mit Ergebnis > menge R aufgefasst werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Atom nach exakt ( also auf unendlich viele Dezimale genau ) 3, Tagen zerfällt, ist offenbar. Wahrscheinlichkeiten größer als gibt es in diesem Beispiel also nicht bei Elementar ereignissen, sondern erst bei Intervallen: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Atom am 4. Tag zerfällt ( also eine Lebensdauer zwischen exakt 3 und exakt 4 Tagen hat ), ist beispielsweise nicht, sondern positiv. Eine solche Zufallsvariable heißt stetige Zufallsvariable. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie

2 Definition.) Eine Funktion f ( x ) heißt Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen über dem Intervall a ; b, wenn sie die beiden folgenden Eigenschaften hat: b a.) f ( x ) > für alle x ε a ; b b.) f ( x ) d x = a.) Durch jede Dichtefunktion wird eine stetige Zufallsvariable festgelegt: Die Ergebnismenge dieser Zufallsvariable ist das Intervall M = a ; b Die Wahrscheinlichkeit eines Teilintervalls α ; β von M wird mit Hilfe der Dichtefunktion berechnet: β p ( α ; β ) = f ( x ) d x α Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie

3 Bemerkungen.).) Durch die Eigenschaften einer Dichtefunktion ist gewährleistet, dass es sich bei einer stetigen Zufallsvariablen tatsächlich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt: Wegen der Eigenschaft a) treten keine negativen Wahrscheinlich keiten auf. Wegen der Eigenschaft b) treten keine Wahr scheinlichkeiten auf, die größer als sind. a.) f ( x ) > für alle x ε a ; b b.) a b f ( x ) d x = Aufgrund der Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten hat jedes Elemen tarereignis x e die Wahrscheinlichkeit : x e β p ( x e ) = f ( x ) d x = = p ( x e ; x e ) x e p ( α ; β ) = α f ( x ) d x Bei stetigen Zufallsvariablen ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion also sinnlos. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 3

4 Bemerkungen 3.) Bei stetigen Zufallsvariablen benutzt man also Dichtefunktion an Stelle von Wahr scheinlichkeitsfunktionen, um Wahrscheinlichkeiten anzugeben. Dabei ist aber stets auf die unterschiedliche Bedeutung und die unterschiedlichen Eigenschaften dieser beiden Funktionsarten zu achten: Die betrachteten Wahrscheinlichkeiten werden bei Wahrscheinlichkeitsfunktionen durch die Funktionswerte selbst ausgedrückt, bei den Dichtefunktionen durch die Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion. Die Funktionswerte einer Wahrscheinlichkeitsfunktion sind stets kleiner als, während sie bei Dichtefunktionen auch größer als sein können. 4.) Die Grenzen a und b der Ergebnismenge einer stetigen Zufallsvariablen können auch und / oder sein. Die Ergebnismenge ist dann unendlich breit. 5.) Es gibt auch diskrete Zufallsvariablen mit unendlicher Ergebnismenge. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 4

5 Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms > Ergebnismenge: M = R Eine mögliche Dichtefunktion zu dieser Ergebnismenge ist f ( x ) = e x, denn: a.) e x > für alle x ε M b.) e x d x = e x = ( ) = Die Wahrscheinlichkeit, dass das Atom am 4. Tag zerfällt, beträgt dann p = 3 4 e x d x = e x 4 3 = e 4 + e 3 =,35 = 3,5 % Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 5

6 Graphische Darstellung: f ( x ) f ( x ) = e x p = p =, x Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 6

7 Definition 9 ( Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen ZV ) Für eine diskrete Zufallsvariable mit Ergebnismenge M = a ; b und Dichtefunktion f ( x ) definiert man den Erwartungswert µ, die Varianz σ sowie die Standardabweichung σ als Quadratwurzel aus der Varianz wie folgt:.).) b µ = x. f ( x ) dx a b σ = ( x µ ). f ( x ) dx a Erwartungswert µ einer stetigen Zufallsvariablen Varianz σ einer stetigen Zufallsvariablen 3.) σ = ( x µ ). f ( x ) dx a b Standardabeichung σ einer stetigen Zufallsvariablen Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 7

8 Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms > Ergebnismenge: M = R Dichtefunktion: f ( x ) = e x b Erwartungswert: µ = x. f ( x ) dx = x. e x dx a b = Übg. Varianz: σ = ( x µ ). f ( x ) dx = ( x ). e x dx a Standardabweichung: σ = = = Übg. Bemerkung Ist die Ergebnismenge ein unendliches Intervall, so muss bei der Bestimmung des Erwartungswerts ein uneigentliches Integral berechnet werden. Dabei ist zu beachten: Falls dies nicht möglich ist, kann der Erwartungswert nicht bestimmt werden. Falls das Integral nicht existiert, hat die Zufallsvariable keinen Erwartungswert. Gleiches gilt auch für die Varianz und damit auch für die Standardabweichung. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie

9 Normalverteilung Die stetige Zufallsvariable mit Ergebnismenge M = R und Dichtefunktion. x µ σ f ( x ) =. e mit µ ε R und σ ε R + π. σ heißt Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σ. Die Normalverteilung ist die wichtigste ( stetige ) Zufallsvariable. y f ( x ) = π. σ. e. x µ σ Gauß sche Glockenkurve µ x Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 9

10 y f ( x ) = π. σ. e. x µ σ,63 Gauß sche Glockenkurve µ σ µ µ + σ x Für die Normalverteilung gilt: p ( µ σ ; µ + σ ) =,63 p ( µ σ ; µ + σ ) =,955 p ( µ 3σ ; µ + 3σ ) =,997 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie

11 Normalverteilungen mit verschiedener Standardabweichung y Gauß sche Glockenkurve,63 σ < σ Gauß sche Glockenkurve,63 µ σ µ σ µ µ + σ µ + σ x Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie

12 Bemerkung x µ. σ Die Funktion f ( x ) =. e ist tatsächlich die Dichte π. σ funktion einer stetigen Zufallsvariablen über R, denn: a.) f ( x ) > ε b.) π. σ x µ. σ. e d x t = dt = x µ. σ. σ. d x π. e ( t ) d t b = π? a.) f ( x ) > für alle x ε a ; b b.) f ( x ) d x = Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie a

13 e ( t ) d t Dieses Integral ist nicht in der üblichen Weise lösbar, da man keine Stammfunktion angeben kann. Mit den folgenden Umformungen lässt es sich aber doch bestimmen: e ( x ) d x. e ( y ) d y = e ( y ) d y. e ( x ) d x konstanter Faktor konstanter Faktor = e ( x ). e ( y ) d y d x = e ( x + y ) d y d x Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 3

14 π = e ( x + y ) d y d x = e ( r ) r d r d φ t = r dt = r d r π e t.. d t d φ π = e t. d φ = π + d φ = π. = π, also e ( t ) d t = π Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 4

15 Übergang von einer stetigen ZV zu einer diskreten ZV durch Klassenbildung Da es durch die Integrale recht aufwändig ist, mit stetigen Zufallsvariablen zu rechnen, geht man häufig von stetigen zu diskreten Zufallsvariablen über, indem man die Ergebnismenge in Intervalle unterteilt. Diese Intervalle heißen Klassen und werden mit einer reellen Zahl bezeichnet ( sonst erhält man keine Zufallsvariable ). Dabei wählt man meist die Mitte oder einen der beiden Randpunkte des Intervalls als Namen für die Klasse. Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms Die Ergebnismenge R > kann z.b. in Intervalle der Breite unterteilt werden. Benennt man diese Intervalle jeweils mit ihren rechten Randpunkten, so erhält man eine diskrete Zufallsvariable mit der Ergebnismenge N +. Das Elementarereignis 7 bedeutet dann beispielsweise, dass das Atom am 7. Tag zerfällt, also eine Lebensdauer zwischen exakt 6 und exakt 7 Tage hat. Die exakte Lebenszeit des Atoms spielt für diese neue diskrete Zufallsvariable keine Rolle. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 5

16 Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms Die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser neuen diskreten Zufallsvariablen lautet dann Klassen ; ; ; 3 3 ; 4 4 ; 5... Name der Klassen Wahrschein e x d x lichkeit der Klassen e x d x e x d x 3 e x d x 4 e x d x =,63 =,33 =,6 =,3 =, Der Erwartungswert dieser neuen diskreten Zufallsvariablen beträgt damit µ =.,63 +., ,6 + 4.,3 + 5., +... =,5. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 6

17 Bemerkungen.) Die Breite der Klassen kann beliebig gewählt werden. In vielen Beispielen wird sie auch durch die Genauigkeit der Datenerhebung schon vorab festgelegt..) Durch die Bildung der Klassen und auch durch ihre Benennung wird die Rech nung ungenau, wie die folgende Tabelle zu den Erwartungswerten in obigem Beispiel zeigt ( exakter Wert: µ =, siehe Beispiel als stetige Zufallsvariable ) : µ Breite der Klassen,5 Ähnliche Ungenauig Name der Klasse keiten ergeben sich rechter Intervallrand,5,33,7 bei der Varianz und linker Intervallrand Intervallmitte,5,,33,33,,77 der Standardabweichung. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 7

18 Bemerkung zu Übung 96 e) Würfeln mit Sechser Regel Bemerkung zu Übung 96 g) Definieren Sie eine diskrete Zufallsvariable durch Klassenbildung ( Klassen ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.4 Folie

19 Herzlichen Glückwunsch!! Sie haben es geschafft!! Alles Gute und weiterhin viel Erfolg!! Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.5 Folie 9