Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm.

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1 Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm Erwartungswert Varianz Standardabweichung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsfunktion lässt sich vollständig beschreiben mit: Verteilfunktion F(x) Wahrscheinlichkeitsfunktion / Dichtefunktion f(x) diskret f(x) = P(X=x) stetig Eine komplette Beschreibung der Verteilung ist oft gar nicht nötig. Um einen Überblick über die Verteilung zu gewinnen sehen wir uns charakteristische Maßzahlen an. Lageparameter Streuungsparameter Erwartungswert E(X) Varianz Var(X) = σ 2 Standardabweichung σ Erwartungswert Bsp.: Glücksrad (Einsatz 3,- ) P(X=x i ) x i f(x) diskrete Dichtefunktion Grün Weiß Rot 4,- Gewinn 3,- Gewinn 1,- Gewinn x stetige Dichtefunktion f(x) Erwartungswert E(X) x 1

2 Nützliche Regeln für die Berechnung bzw. den Vergleich von Erwartungswerten verschiedener Zufallsvariablen 1) Ist die Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion f von X symmetrisch bzgl. eines Punktes x=a (d.h. ist f(a-x) = f(a+x) für alle x) so gilt: E(X) = a ( Anwendung bei besonderen Verteilungen) Bsp.: Normalverteilung Bsp.: Gleichverteilung 2) Häufig ist nicht der Erwartungswert von X gesucht, sondern der Erwartungswert einer Zufallsvariablen Y, die eine Funktion von X darstellt: Y = g(x), z.b. Y = X². Statt für alle Werte von Y die Wahrscheinlichkeit P (Y=y) bzw. die Dichtefunktion f Y (y) herzuleiten, kann mit dem folgenden Satz die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. die Dichtefunktion von X verwendet werden (ohne die Verteilung von Y explizit zu kennen): Transformationsregel für Erwartungswerte: Gegeben ist eine reelle Funktion g(x). Dann gilt für den Erwartungswert der transformierten Zufallsvariablen Y = g(x): Dabei bezeichnet f(x) die Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskreter Fall) bzw. die Dichtefunktion (stetiger Fall). 3) Unmittelbare Folgerung aus Regel 2 mit g(x) = a + bx: 4) Für die Summe von n Zufallsvariablen X 1,, X n gilt stets 5) Sind X und Y unabhängige Zufallsvariablen, so ist E(X Y) = E(X) E(Y). 6) Ist für zwei Zufallsvariablen X und Y das Ereignis X Y sicher, d.h. gilt für jedes Elementarereignis ѡ des zu Grunde liegenden Zufallsvorgangs die Ungleichung X(ѡ) Y(ѡ), so folgt auch E(X) E(Y); in diesem Sinne stellt E(X) eine monotone Operation dar. 2

3 Varianz und Standardabweichung Die Varianz Var(X) dient als Streuungsmaß für die Verteilung einer Zufallsvariablen X. Sie entspricht der mittleren quadratischen Abweichung einer Häufigkeitsverteilung. Anstelle von Var(X) schreibt man oft kürzer σ 2. Idee: Wie weit liegt der erzielte Wert X (also die Zufallsgröße) vom Erwartungswert weg? x a) diskrete Zufallsvariable heißt die Varianz einer diskreten Zufallsvariable X mit den Werten x 1, x 2,, dem Erwartungswert E (X) und der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X=x) b) stetige Zufallsvariable heißt die Varianz einer stetigen Zufallsvariable X mit E(X) = μ und der Dichtefunktion f(x). Die positive Wurzel der Varianz heißt Standardabweichung und ist gegeben durch: 3

4 Weitere Aussagen über Erwartungswert und Varianz Ist X eine Zufallsvariable mit E(X ) = μ und Var(X) = σ 2, so besitzt die standardisierte Zufallsvariable Y = den Erwartungswert 0 und die Varianz 1. Sind X 1,, X n unabhängige Zufallsvariablen mit E(X i ) = μ und Var(X i ) = σ 2 für alle i = 1,,n, so besitzt die Zufallsvariable den Erwartungswert μ und die Varianz Insbesondere gilt dies, wenn die Zufallsvariablen X 1,, X n unabhängige Wiederholungen derselben Zufallsvariablen darstellen; X n wird dann als Stichprobenmittel bezeichnet. Ungleichungvon Tschebyscheff Mithilfe der Varianz die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass eine Zufallsvariable X um mindestens den Wert c von ihrem Erwartungswert abweicht. (Ohne Kenntnis der Verteilung von X.) Analogien zwischen Häufigkeitsverteilungen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4

5 Wichtige Verteilungen im Überblick Wahrschein -lichkeitsverteilunge n Binomialverteilung B (n,p) Normalverteilung N (μ, σ) Gleichverteilung in [a;b] mit a<b Exponentialverteilung mit dem Parameter λ Dichtefunktion Bild Dichtefunktion E(X) Var(X) Beispiel 5

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