Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen

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1 Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie und Mathematische Finanzwirtschaft, Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, SS 2008

2 Funktionen von Zufallsvariablen Zufallsvariablen sind häufig Argument einer Funktion. Sei also g : R R eine Funktion. z.b. g(x) = e x, g(x) = x 2 + 3x + 2 Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung von der Grundgesamtheit eines Wahrscheinlichkeitsraumes in die Menge der reellen Zahlen: X : Ω R Zu ω Ω ist X (ω) Wert der Zufallsvariablen. Wird dieser Wert eingesetzt in g, so erhalten wir: g(x (w)) Dies entspricht dem Hintereinanderausführen der beiden Funktionen: g X : Ω R mit g X (ω) = g(x (ω)) für ω Ω Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 2

3 Funktionen von Zufallsvariablen Konsequenz: g X ist Zufallsvariable, wenn g X messbar ist (für die Borelsche Menge A ist Urbild von A bei g X ein Ereignis in Ω). Schreibweise: meist g(x ) statt g X Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 3

4 Beispiel: Petersburg-Paradoxon Beispiel: Münzwurf (Petersburg - Paradoxon) ω Wurfserie bis zum ersten Wurf mit Ergebnis Zahl, X (ω) Anzahl der Würfe bei der Wurfserie ω. Gewinn: G = 2 Anzahl der Würfe = 2 X (ω), also mit g(x) = 2 x ist der Gewinn bei Wurfserie ω: G(ω) = g(x (ω)) Bemerkung: Nimmt X nur Werte in einem Teilbereich D von R an, so muß g auch nur für die Argumente aus D definiert sein. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 4

5 Beispiel Beispiel: Kontrolle einer Warenpartie Die Entscheidung über Annahme oder Ablehnung einer Warenpartie hänge ab von der Anzahl der schlechten Teile, die in der Stichprobe gefunden wurden. Z.B.: Bei einer Stichprobe vom Umfang 200 wird die Warenpartie abgelehnt, wenn mehr als 4 schlechte Teile gefunden wurden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Annahme einer Warenpartie mit einem Ausschußteil von 0.0? Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 5

6 Beispiel Zur Vereinfachung: Ziehen mit Zurücklegen Die Anzahl X schlechter Teile in der Stichprobe ist binomialverteilt mit Parameter p, dem Ausschußanteil der Partie: ( n P(X = k) = k ) p k ( p) n k Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 6

7 Beispiel Mit bedeutet g(x) = { für x = 0,, 2, 3, 4 0 für x 5 g(x ) =, dass die Partie angenommen wird und g(x ) = 0, dass die Warenpartie abgelehnt wird. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 7

8 Beispiel Wahrscheinlichkeit für die Annahme der Warenpartie: 4 P(g(X ) = ) = P(X 4) = P(X = i) = 4 ( n i i=0 i=0 ) p i ( p) n i Mit n = 200, p = 0.0 ist 4 ( ) n P(g(X ) = ) = p i ( p) n i i i=0 4 ( ) 200 = 0, 0 i ( 0.0) 200 i = i i=0 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 8

9 Beispiel Mit der Näherung durch die Poissonverteilung erhalten wir mit np = = 2 P(g(X ) = ) = 4 i=0 2 i i e 2 = aus einer Tabelle. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 9

10 Beispiel Wahrscheinlichkeitsverteilung von g(x ) : X diskret mit Werten (α i ) i I, α i α j für i j P(g(X ) = y) = P({ω Ω g(x(ω)) = y}) = P(X = α j ) i I für g(α i ) = y 0 falls g(α i ) y für alle i. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 0

11 Beispiel 2. X stetig mit Dichte f x : Verteilungsfunktion von g(x ) ist F g(x ) (α) = P(g(X ) α) = P(X {x R g(x) α}) = f X (x)dx {x g(x) α} Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen

12 Beispiel Bemerkung: Falls X stetig ist, dann ist g(x ) dennoch nicht notwendig stetig Beispiel: X Qualitätsmerkmal eines Produktes normalverteilt, mit Sollwert a als Mittelwert und Varianz σ 2. Toleranzbereich: [a 3σ, a + 3σ] gut x [a 3σ, a + 3σ] g(x) = 0 schlecht x / [a 3σ, a + 3σ] Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 2

13 Beispiel g(x ) nimmt nur die Werte 0 und an, ist also diskret. Wahrscheinlichkeit für ein korrekt produziertes Teil: P(g(X ) = ) = a) E(g(X )) b) P(X [a 3σ, a + 3σ]) = F µ,σ 2(a + 3σ) F µ,σ 2(a 3σ) = Φ(3) Φ( 3) = = Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 3

14 Beispiel Beispiel: g(x) = x 2 α 0 : Daher gilt: x 2 α α x α F g(x ) (α) = α f X (x)dx = α α f X (x)dx α = F X ( α) F X ( α) f X (x)dx und für die Dichte (an den Stellen, an denen F g(x ) differenzierbar ist)... Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 4

15 Transformation von Zufallsvariablen... f g(x ) (α) = d dα (F X ( α) F X ( α))) = F X ( α) F 2 α X ( α)( ) 2 α = 2 α (f x( α) + f x ( α)) Für α < 0 ist {x R g(x) < α} = und damit F g(x ) (α) = 0 und f g(x ) (α) = 0 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 5

16 Beispiel. X dreiecksverteilt über dem Intervall [ a, a] (vgl. Beispiel 5.7.2) Dichte von X : f X (x) = 0 x < a a 2 (x + a) a x 0 a 2 (a x) 0 x a 0 a < x Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 6

17 Beispiel Verteilungsfunktion von X : F X (x) = 0 x < a 2a 2 (x + a) 2 a x 0 2a 2 (a x) x a a < x Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 7

18 Transformation von Zufallsvariablen Daraus ergibt sich für 0 α a 2 : F g(x ) (α) = F X ( α) F X ( α) = 2a 2 (a α) 2 2a 2 ( α + a) 2 Daraus folgt: = a 2 (a α) 2 = (a α)f X ( α) d dα F d g(x )(α) = dα ( a 2 (a α) 2 ) = 2 a 2 (a ( α) ) 2 α = a 2 α (a α) Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 8

19 Transformation von Zufallsvariablen oder aus der Gleichung für die Dichte f g(x ) (α) = = = 2 α (f X ( α) + f X ( α)) ( 2 α a 2 (a α) + a 2 (a ) α) a 2 α (a α) Für α > a 2 gilt: F g(x ) (α) = F X ( α) F X ( α) = 0 = f g(x ) (α) = 2 α (f X ( α) + f X ( α)) = 0 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 9

20 Transformation von Zufallsvariablen 2. X gleichverteilt über [ a, +a] Dichte von X { 2a a x a f X (x) = 0 sonst Verteilungsfunktion von X F X (α) = 0 α a 2a (x + a) a a α < α < a Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 20

21 Transformation von Zufallsvariablen Daraus ergibt sich für 0 < α < a 2 : F g(x ) (α) = F X ( α) F X ( α) und = 2a (( α + a) ( α + a)) = α a f g(x ) (α) = 2 α (f X ( α) f X ( α)) = 2 α ( 2a + 2a ) = 2a α Für α a 2 ist F g(x ) α = und f g(x ) (α) = 0. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 2

22 Transformation von Zufallsvariablen Transformation: Die Funktion g ist invertierbar. Es gibt eine Umkehrfunktion g. Beispiel: Währungsumrechnung, Dimensionsänderung, Logarithmieren Bemerkung: Nimmt X nur Werte im D an, so muss g auch nur auf D invertierbar sein.. X diskret mit Werten {α i } i I ; α i α j für i j. g ist Transformation, falls g(α i ) g(α j ) für i j ist. Dann gilt P(g(X ) = g(α i )) = P(X = α i ) Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 22

23 Transformation von Zufallsvariablen 2. X stetig mit Dichte f X : F g(x ) (α) = P(G(X ) α) = f X (x)dx g(x ) α Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 23

24 Transformation von Zufallsvariablen Mit der Substitution g(x) = y dx dy x = g (y) und damit = d dy (g (y)) = g (g (y)) folgt: F g(x ) (α) = f X (g (y)) g (g (y)) dy. y α Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 24

25 Transformation von Zufallsvariablen Damit gilt für die Dichte von g(x ) f X (g (y)) g (g (y)) für y mit g (g (y)) existiert f g(x ) (y) = und g (g (y)) 0. 0 sonst Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 25

26 Transformation von Zufallsvariablen Zusammenfassung: g ist bijektiv, d.h. es gibt zu g eine inverse Funktion g. X diskret mit Werten (α i ) i I, α i α j für i j. (P(g(X ) = y) = (P({ω Ω g(x (ω)) = y}). Gibt es P(g(X ein α) i = mit y) g(α = P(X i ) = = y, αso ist α i = g i ) = P(X = g (y) (y)) eindeutig bestimmt und es gilt P(X = α i ) = P(g(X ) = g(α i )) P(g(X ) = y) = P( ) = 0 2. Gibt es kein α i mit g(α i ) = y, so ist Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 26

27 Beispiel: Münzwurf (Petersburg Paradoxon) ω Wurfserie bis zum ersten Wurf mit Ergebnis Zahl, X (ω) Anzahl der Würfe bei der Wurfserie ω Gewinn: G = 2 Anzahl der Würfe = 2 X (ω), also g(x) = 2 x P(g(X ) = 2 k ) = P(X = k) = 2 k y = 6 : P(g(X ) = 6) = P(X = 4) = 6 y = 24 : y 2 k, k = 0,, 2, 3, P(G(X ) = 24) = 0. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 27

28 Transformation von Zufallsvariablen Zusammenfassung: g bijektiv, d.h. es gibt zu g eine inverse Funktion g. X stetig mit Dichte f x Ist g differenzierbar mit g (g (y)) 0 bis auf endlich viele Stellen y, so gilt: F g(x ) (α) = P(g(X ) α) F g(x ) (α) = f X (x)dx = y=g(x) α f X (g (y)) (g ) (y) dy = y=g(g (y)) α α f X (g (y)) g (g (y)) dy Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 28

29 Damit gilt für alle y mit g (g (y)) 0 die Transformationsregel für Dichtefunktionen f g(x ) (y) = f X (g (y)) g (g (y)) Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 29

30 Beispiel - stetig g(x) = x 3 und damit g (y) = 3 y, g (x) = 3x 2, g (g (y)) = 3( 3 y) 2 = 3 3 y 2 X exponentialverteilt mit Parameter λ: { λe λx x 0 f (x) = 0 x < 0 Dichte von g(x) mit Transformationsregel { λe λ 3 y f g(x) (x) = 3 3 y > 0 y 2 0 y 0 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 30

31 oder (über Verteilungsfunktion für α > 0) F X 3(α) = und damit g(x) α f (x)dx = 0 x 3 α = e λx 3 α 0 = e λ 3 α f X 3(α) = d dα ( e λ 3 α ) λe λx dx = 3 α = λe λ 3 α 3 3 α 2 für α > 0. 0 λe λx dx Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 3

32 Bemerkung: Nimmt X nur Werte in einem Teilbereich D der reellen Zahlen an, so muß g auch nur in diesem Teilbereich invertierbar sein. Beispiel: X gleichverteilt auf [0, ]. Dann haben nur Teilbereiche von [0, ] positive Wahrscheinlichkeiten (X nimmt nur Werte in [0, ] an). g(x) = x 4 ist insgesamt nicht invertierbar, aber für y [0, ] gibt es genau ein x [0, ] mit g(x) = y, nämlich x = g (y) = 4 y. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 32

33 Mit { für x [0, ] und g f X (x) = (g (y)) = 4( 4 y) 3 0 sonst ist die Dichte von g(x ) = X 4 nach der Transformationsregel f g(x ) (y) = = { fx (g (y)) g (g (y)) für y (0, ] 0 sonst { 4 4 für y (0, ] y 3 0 sonst Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 33

34 Anwendungsbeispiel zur Transformation: Wechselkursrisiko Zeitpunkt: Ein Vertrag garantiere eine Auszahlung von,25 Million $ zum Dabei entstehen Kosten in Höhe von Euro Der Gewinn ist abhängig vom Wechselkurs Annahme: Der Wechselkurs zum sei normalverteilt mit Mittelwert,25 $ pro Euro (bzw. 0,80 Euro pro $) und Varianz 0.0 Wie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gewinns? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust? Wie groß ist der Gewinn mit 95% Wahrscheinlichkeit mindestens? Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 34

35 Anwendungsbeispiel zur Transformation: Wechselkursrisiko Bei einem $/Euro - Wechselkurs von x (x Euro für einen $) ist der Gewinn y = G(x) = x in Euro. Damit ist G (y) = (y ) und G (x) = , G (G (y)) = Dichtefunktion von X ist f X (x) = e (x 0.8) π 0. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 35

36 Anwendungsbeispiel zur Transformation: Wechselkursrisiko Dichtefunktion des Gewinns G(X ) ist damit f (G (y)) G (G (y)) f G(X ) (y) = = e ( (y ) 0.8) π (y )2 e N (00 000, ) 2π Der Gewinn ist demnach normalverteilt mit Mittelwert µ = Euro und einer Varianz von σ 2 = Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 36

37 Anwendungsbeispiel zur Transformation: Wechselkursrisiko Die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust ist P(G(X ) < 0) = 0 (y )2 e dy 2π = F µ,σ 2(0) mit µ = , σ 2 = Diesen Wert können wir mit Hilfe einer Tabelle für die Standardnormalverteilung bestimmen. (siehe unten) In diesem Beispiel liegt eine lineare Transformation g(x) = mx + b mit m 0 vor. Die transformierte Zufallsvariable ist ebenso wie die Ausgangsvariable normalverteilt. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 37

38 Lineare Transformation Dann ist g(x) = mx + b, m 0 g (y) = m (y b), g (x) = m und g (g (y)) = m Sei X eine Zufallsvariable mit Dichtefunktion f X, dann gilt: f mx +b (y) = f X ( m (y b) ) m Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 38

39 Lineare Transformation - Beispiel X normalverteilt mit Mittelwert µ und Varianz σ 2 : ( ) f mx +b (y) = f X m (y b) m = e ( (y b) µ) 2 m 2π σ = 2σ 2 m e (y (mµ+b))2 2m 2 σ 2 2π m σ mx + b ist also normalverteilt mit Mittelwert mµ + b und Varianz m 2 σ 2. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 39

40 Für m = σ und b = µ σ ist der Mittelwert 0 und die Varianz, mx + b also standardnormalverteilt. Damit gilt: Ist X normalverteilt mit Mittelwert µ und Varianz σ 2, so ist standardnormalverteilt. X µ σ Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 40

41 Damit ist ( X µ F X (x) = P(X x) = P σ x µ ) = Φ σ ( ) x µ wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Anwendung: Aus einer Tabelle für Φ können die Werte der Verteilungsfunktion von X ermittelt werden. Übungsaufgabe: Gilt auch für eine exponentialverteilte Zufallsvariable, dass nach einer linearen Transformation wieder eine exponentialverteilte Zufallsvariable vorliegt? σ Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 4

42 zu Beispiel: Wechselkursrisiko G(X ) normalverteilt mit µ = und σ = Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit für Verlust? ( ) G(X ) P(G(X ) < 0) = P ( ) = Φ = Φ( 0.8) = Φ(0.8) = = 0.29 (Φ(.8) = Φ(.8)) Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 42

43 Wie hoch ist der Gewinn mit 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens? Gesucht: x mit P(G(X ) x) = 0.95 P(G(X ) x) = P(G(X ) x) = 0.95 P(G(X ) x) = 0.05 Gesucht: 0.05-Quantil von G(X ) G(X ) ist N (00 000, )-verteilt Gesucht: q 0.05 mit Φ(q 0.05 ) = 0.05 (Tabelle) oder q 0.95 mit Φ(q 0.95 ) = 0.95 (Φ(q α ) = α Φ( q α ) = Φ(q α ) = α: q α α-quantil q α ( α)-quantil) Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 43

44 Damit q 0.95 =.645 Symmetrie = q 0.05 =.645 ( ) G(X ) P.645 = P(G(X ) 05625) = P(G(X ) 05625) = 0.95 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 44

45 Beispiel Die Zufallsvariable X habe die Dichte { 2x 0 < x < f X (x) = 0 sonst Verteilungsfunktion ist damit 0 α 0 F X (α) = α 2 0 < α < α Gesucht ist die Dichte, die Verteilungsfunktion und der Erwartungswert von X. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 45

46 Beispiel A. Dichte und Verteilungsfunktion:. Möglichkeit F g(x ) (α) = f X (x)dx g(x ) α α > : F (α) = f X X (x)dx = X α = α 2x dx = x 2 α α f X (x)dx = α 2 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 46

47 Beispiel Bemerkung: X X F X nimmt nur Werte zwischen 0 und an f X nimmt nur Werte > an (α) = 0 für α (y) = 0 für y F X (α) = { 0 α α 2 < α f { 0 y (y) = 2 X < y y 3 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 47

48 Beispiel 2. Möglichkeit F X (α) = P ( X α ) ( = P X < α ) ( ) = P α X ) ( = P X ) α = F X ( α = α 2 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 48

49 Beispiel 3. Möglichkeit Transformationsregel für Dichten f g(x ) (y) = f X (g (y)) g (g (y)) y = g(x) = x ; x (0, ); g (y) = y für y > g (x) = x 2 g (g (y)) = ( y )2 = y 2 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 49

50 Beispiel y > : f (y) = 2 X y y 2 = 2 y 3 f { 0 y (y) = 2 X y y > 3 α > : α F (α) = f (y) dy = 2 X X α y 3 dy = y 2 { 0 α F (α) = X α α > 2 α = α 2 + Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 50

51 Beispiel B. Erwartungswert. Möglichkeit: Bemerkung: E( X ) = y f (y) dy = y 2 X y 3 dy 2 = y 2 dy = 2 y = 0 ( 2) = 2 E(X ) = x f X (x) dx = Also E( X ) E(X ) 0 x 2x dx = 2 3 x 3 0 = 2 3 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 5

52 2. Möglichkeit: ( ) E = X = = y f (y) dy = y f (y) dy X X y = x, dy = x 2 dx ( ) x f X x x 2 dx 0 x 2 x 3 x 2 dx = 0 x 2x dx E(g(X )) = g(x)f X (x) dx Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 52

53 Allgemein für stetiges X : E(g(X )) = = = E(g(X )) = y = g(x), y f g(x) (y) dy dy = g (x) dx g(x) f g(x) (g(x)) g (x) dx g(x) f X (x) g (x) g (x) dx g(x)f X (x) dx (Dies gilt auch, falls g keine Transformation ist.) Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 53

54 Analog für diskretes X : X habe die Werte α i, i =, 2, 3,... α i α j für i j g(x ) hat die Werte g(α i ), i =, 2, 3,..., aber es gilt jetzt nicht notwendig g(α i ) g(α j ), i j y j, j =, 2, 3,... Werte von g(x ), dann ist möglicherweise y j = g(α i ) für mehrere α i und damit P(g(X ) = y j ) = P(X = α i ) α i : g(α i )=y j Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 54

55 E(g(X )) = y j y j P(g(X ) = y j ) = y j y j α i : g(α i )=y j P(X = α i ) = y j α i : g(α i )=y j g(α i ) P(X = α i ) = α i g(α i ) P(X = α i ) Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 55

56 Zusamenfassung Sei X eine Zufallsvariable, g : R R eine Funktion, dann gilt X diskret mit Werten α i : E(g(X )) = α i g(α i ) P(X = α i ) X stetig mit Dichte f X : E(g(X )) = g(x)f X (x) dx Bemerkung: E(g(X )) muss nicht existieren. Aus der Existenz von E(X ) folgt nicht die Existenz von g(x ) und umgekehrt. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 56

57 Zusammenfassung: Erwartungswert von g(x ) X diskret mit Werten (α i ) i I, α i α j für i j: E(g(X )) = i I g(α i )p(x = α i ) Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 57

58 zu: Erwartungswert von g(x ) Beispiel: X Anzahl der Fehler bei einem Produkt. X Poisson-verteilt mit Parameter λ. Bei bis 9 Fehlern ist eine Nacharbeit erforderlich, die Kosten in Höhe von 20 unabhängig von der Anzahl der Fehler verursacht, bei mehr als 9 Fehlern muss das Teil verschrottet werden mit Kosten in Höhe von 300. Wie hoch sind die erwarteten Kosten? g(k) = 0 k = 0 20 k =, 2,..., k 0 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 58

59 zu Erwartungswert von g(x ) E(g(X )) = 0 P(g(X ) = 0) + 20 P(g(X ) = 20) P(g(X ) = 300) = 0 P(g(X ) = 0) + 20 P(X {, 2,..., 9}) P(X 0) 9 = 0 e λ λ k λ k + 20 k! e λ k! e λ = k=0 k= g(k) λk k! e λ k=0 Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 59

60 zu Erwartungswert von g(x ) X stetig mit Dichte f X. Dann gilt: E(g(X )) = g(x) f X (x)dx. Folgerungen:. Mit g(x) = mx + b gilt E(mX + b) = = m (mx + b) f X (x)dx x f X (x)dx + b f X (x)dx = m E(X ) + b (Analog im diskreten Fall.) Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 60

61 zu Erwartungswert von g(x ) 2. Mit g(x) = (x E(X )) 2 gilt E(g(X )) = E((X E(X )) 2 ) = i I g(α i ) P(X = α i ) = (α i E(X )) 2 P(X = α i ) i I = Var (X ) (Analog im stetigen Fall.) Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 6

62 zu Erwartungswert von g(x ) 3. Varianz von g(x): Var (mx + b) = E((mX + b E(mX + b)) 2 ) = E((mX + b m E(X ) b) 2 ) = E((m(X E(X ))) 2 ) = E(m 2 (X E(X )) 2 ) = m 2 E((X E(X )) 2 ) = m 2 Var (X ) Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 62

63 4. Standardisierung von X : Damit kann jede Zufallsvariable X durch lineare Transformation in eine Zufallsvariable Y transformiert werden mit Erwartungswert 0 und Varianz : g(x) = x E(X ) = x E(X ) Var(X ) Var(X ) Var(X ) Bemerkung: Der Typ der Verteilung bleibt bei der Transformation im Allgemeinen nicht(!) erhalten. Ausnahme: Normalverteilung. Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen 63