Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI

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1 Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Anpassung von Verteilungen Zu Aufgabe ) a) Zeichnen des Histogranmmes: Um das Histogramm zu zeichnen, benötigen wir die Höhe der Balken. Die Höhe der Balken bei einem Histogrammes ergibt sich daraus, dass der Flächeninhalt der Balken gleich dem Anteil aller Beobachtungen ist, die in diese Klasse fallen, also gleich Häufigkeit / n (n=40). Die Höhe der Balken ist folglich Häufigkeit/(n*B) = Häufigkeit/4000. Klassen: Häufigkeiten Höhe der Balken Histogramm: b) Festlegen des Typs der Dichtefunktion: Wie die rote Kurve zeigt, ist hier als Modell für die Dichtefunktion von X eine Exponentialverteilung geeignet: αe f ( x) = 0 x αx 0 sonst

2 Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik c) Schätzung des Parameters α der Dichtefunktion: Es gilt: EX =. Der Erwartungswert ist das arithmetische Mittel aller Werte, die X α annehmen kann, bzw. aller möglichen Beobachtungen, die wir für X machen können. Wir erhalten eine Schätzung für den Erwartungswert folglich durch das arithmetische Mittel der Beobachtungswerte x i, i =,...,40: x = 68, 98. Wir ersetzen nun in der Gleichung EX = EX durch x und erhalten eine Schätzung α für den Parameter α der Exponentialverteilung: EX = α = α ˆ α = = = 0,006 α EX x 68,98 Folgende Abbildung zeigt die über die Balken des Histogramms gelegte Kurve der Dichte der Exponmentialverteilung: 0,006e f ( x) = 0 0,006 x x 0 sonst

3 Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Zu Aufgabe ) Die zufällige Übertragungsszeit X (in Milli-Sekunden) in einem Informationsübermittlungssystem genüge einer stetigen Gleichverteilung. Die Dichte dieser Gleichverteilung ist: f ( x) = b a 0 a x b sonst 000 Messungen der Übertragungszeit ergaben für das arithmetische Mittel und die Streuung der 000 Daten folgende Werte: x = 7ms, s = (8ms). Schätzen Sie die noch unbekannten die Parameter a und b der Dichtefunktion mittels Momentenmethode! Es gilt: () a + b EX = () ( b a) Var( X ) = Daraus folgt durch Umstellung von () und (): (3) a = EX 3 Var( X ) (4) b = EX + 3 Var( X ) Gemäß Momentenmethode ersetzen wir nun in (3) und (4) EX durch durch s = ( 8ms) und erhalten die Schätzungen: x = 7ms und Var(X) () a x 3 s = = 3,4 ms (6) b x + 3 s = = 30,86ms 3

4 Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Die Normalverteilung Zu Aufgabe 3) X ~ N( µ, σ ) µ 3σ µ σ µ σ µ µ + σ µ + σ µ + 3σ -σ-bereich -σ-bereich 3-σ-Bereich Satz: Sei X ~ N(, ).) P( µ σ X µ σ).) P( µ σ X µ σ) 3.) P( µ σ X µ σ) µ σ. Dann gilt: + = 0, 68 + = 0, = 0, 998 Beweis des Satzes: ( µ σ µ + σ) = F( µ + iσ ) F( µ iσ ) P i X i µ = / + iσ / µ / µ / iσ / µ / Φ Φ σ/ σ/ = Φ i Φ i ( ) ( ) = Φ( i ),i =,, 3 Nun gilt:.) ( ) P( µ σ X µ σ ).) ( ) P( µ σ X µ σ ) 3.) ( ) P( µ σ X µ σ ) Φ = 0, = 0, 843 = 0, 68 Φ = 0, = 0, 977 = 0, 9 Φ 3 = 0, = 0, 9987 = 0, 998 q.e.d Bedeutung: Ca. 3 aller beobachtbaren Werte einer normalverteilten Zufallsgröße X liegen im -σ-bereich und fast alle beobachteten Werte von X liegen im 3-σ-Bereich. 4

5 Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Zu Aufgabe 4) Die zufällige Übertragungszeit T durch einen Kanal K sei normalverteilt mit dem Erwartungswert µ=0 ms und der σ = 4ms, d.h. es gelte T~N(0, 4). a) In welchem Bereich liegen nahezu alle Zeiten? D.h. berechnen Sie den 3-σ-Bereich! b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Übertragungszeit zwischen 4 und 3 ms? c) Geben Sie einen symmetrischen Bereich [0-c,0+c] ms um die mittlere Übertragungszeit an, in dem 90 % aller Zeiten liegen! d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von Übertragungen bei mindestens einer die Übertragungszeit mehr als 0 ms beträgt? Hinweis: Verwenden Sie neben der Normalverteilung auch die Binomialverteilung! e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst nach der 4. Übertragung die. Übertragungszeit zum ersten mal weniger als 0 ms beträgt? Hinweis: Verwenden Sie neben der Normalverteilung auch die geometrische Verteilung! Zu a) σ = 4 =, Fast alle Daten liegen im 3-σ-Bereich [0 6, 0 + 6]=[44ms, 6mms]. Zu b) P ( 4 < T < 3) = F(3) F(4) = Φ Φ = Φ(, ) Φ( 4) = 0, = 0,9339 Zu c) Gesucht ist c so dass gilt: P ( 0 c < T < 0 + c) = 0, 9 Wir lösen diese Gleichung einfach nach c auf: P ( 0 c < T < 0 + c) = 0,9

6 Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik F(0 + c) F(0 c) = c 0 0 c 0 Φ Φ = 0.9 c Φ Φ = 0.9 Symmetrie der Normalverteilung Φ φ = Φ = 0.9 Φ =,9 / = 0,9 c =,64 Tabelle c = 3,9ms Antwort: 90% aller Zeiten liegen im Intervall [46.7 ms, 3.9ms] Zu d) Sei X die zufällige Anzahl von Übertragungen, bei denen die Übertragungszeit mehr als 0ms beträgt. Gesucht ist P(X ). Offensichtlich ist X Binomialverteilt : X ~B(n=, p), wobei p = P(T>0) = -F(0) = -Φ(0) = 0, ist. Damit ist 0 3 P( X ) = P( X < ) = P( X = 0) = p ( p) = ( 0,) = 0, = = 0, Zu e) Sei X die Nummer der Übertragung, deren Zeit zum ersten mal weniger als 0ms beträgt. Gesucht ist P(X =). Offensichtlich ist X geometrisch verteilt: X ~Geo( p), wobei p = P(T< 0) = F(0) = Φ(0) = 0, ist. Damit ist P ( X = ) = ( 0,) 4 0, = 0, = 0,03 6

7 Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Zusammenhang zwischen Exponential- und Poissonverteilung Zu Aufgabe ) Die Anzahl X eintreffender Anrufe in einer Telefonzentrale sei Poissonverteilt mit der Intensität λ=0 Anrufe pro Minute. a) Wie ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Anrufen verteilt? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser Abstand größer als Sekunden? c) Wieviele Anrufe treffen innerhalb von 0 Sekunden durchschnittlich ein? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen in dieser Zeit weniger als Anrufe an? Zu a) Der Abstand T zwischen Anrufen ist exponentialverteilt mit Parameter α = λ = 0 / min : T~E( α = 0 / min = / 3 pro Sekunde). Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf die Einheit Sekunde. Deshalb rechnen wir α in Sekunden um! Zu b) 3 P(T>) = -P(T )= e = 0, 89 Zu c) Sei X = Anzahl eintreffender Anrufe pro Sekunde. Es ist X ~ P(λ =/3 pro Sekunde= 0/3 pro 0 Sekunden). Im Durchschnitt treffen pro Sekunde EX= λ =/3 Anrufe ein, d.h. in 0 Sekunden sind es im Durchschnitt 0/3 = 6,67 Anrufe alle 0 Sekunden. Zu d) Es ist X ~ P(λ=/3 pro Sekunde= 0/3 pro 0 Sekunden). 0 λ λ λ λ 3 P(X < ) = P(X=0) + P(X=) = e + e = e 0 / ( + 0 / 3) = 0, !! 7

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