ARBEITSUNTERLAGEN ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER UNIVERSITÄT DES SAARLANDES DERIVATIVE FINANZINSTRUMENTE

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1 ARBEITSUNTERLAGEN ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER UNIVERSITÄT DES SAARLANDES DERIVATIVE FINANZINSTRUMENTE im SS 215

2 Aufgabe 1 (Innerer Wert, Zeitwert, Basiskurs, Aufgeld) Am kostete eine Kaufoption der Volkswagen AG 4,2e, wobei die Aktie zum Preis von 63,5 e gehandelt wurde. Bestimmen Sie den inneren Wert sowie den Zeitwert der Option, wenn der Basiskurs 6e beträgt. Berechnen Sie ferner das Aufgeld. Am gleichen Tag steht die Aktie der Deutschen Telekom AG bei 41,7e. Wie groß ist der Ausübungskurs einer Verkaufsoption, die für 4,7 e zu haben ist, wenn ein time value von 1,4 e zugrunde liegt? Aufgabe 2 (Arbitrage) Beweisen Sie folgende Arbitrageaussage: Für zwei Portfolios A und B, die nicht von außen verändert werden können, gelten in einem perfekten Markt folgende Aussagen für den Wert V der Portfolios: V A (t ) V B (t ) t t : V A (t) V B (t) V A (t ) = V B (t ) t t : V A (t) = V B (t) Aufgabe 3 (Ertragsdiagramm) Bauen Sie ein Portfolio mit folgendem Ertragsdiagramm auf: a) Ertrag Bearish Vertical Spread K 1 K 2 S t b) Ertrag Butterfly Spread K 1 K K 2 S t 2

3 c) Ertrag Top Straddle K S t d) Ertrag Top Vertical Combination K 1 K 2 S t Stellen Sie die Positionen aus Teil a) und b) einmal nur mit Puts und einmal nur mit Calls her. Beschreiben Sie das Anlageziel der Positionen a) - d). Aufgabe 4 (Ertragsdiagramme) a) Erzeugen Sie mittels Optionen eine Position, die das gleiche Ertragsdiagramm wie eine Aktie long bzw. short besitzt. Welchen Vorteil bietet der synthetische Kauf der Aktie im Vergleich zum direkten Kauf? b) Veranschaulichen Sie das Drehen der Position des Käufers einer Kauf- bzw. Verkaufsoption anhand geeigneter Ertragsdiagramme. Betrachten Sie den gleichen Sachverhalt aus der Sicht des Stillhalters. Aufgabe 5 (Zinsswap) Ein Swap ist der Austausch von Zahlungsforderungen oder -verbindlichkeiten mit dem Ziel, die relativen (komparativen) Vorteile, die jeweils ein Partei gegenüber der anderen aufgrund ihrer Stellung an einem bestimmten Finanzmarkt genießt, zu arbitrieren. Beispielhaft soll dieser Geschäftstyp anhand eines (direkten) Zinsswap zwischen den Fir- 3

4 men A und B verdeutlicht werden. Folgende Tabelle bringt die unterschiedlichen Kreditkonditionen der beiden Firmen am Markt für variable bzw. fixe Zinsen zum Ausdruck. Festzins Variabel Firma A 12 % Libor + 1,5 % Firma B 1 % Libor +,5 % Demnach besitzt Firma A im Bereich variabler, Firma B im Bereich fixer Zinsen komparative Vorteile. Will Firma B sich nun im variablen, Firma A sich im Festzinsbereich verschulden, so bietet sich folgender Zinstausch an. Jede Firma verschuldet sich im Bereich ihrer komparativen Stärke. Anschließend tauschen beide Firmen gemäß folgendem Diagramm ihre Zinsverpflichtungen aus (Swap): LIBOR + 1.5% Firma A Swap { }} { 1% Firma B 1% LIBOR a) Geben Sie die Nettozahlungen beider Firmen an und berechnen Sie die Summe der Zinsersparnis insgesamt! b) Geben Sie bei folgenden allgemeinen Zinskonditionen eine notwendige und hinreichende Bedingung an, so dass ein Zinsswap möglich ist. Wie hoch ist die Summe der Zinsersparnis beider Firmen in diesem (allgemeinen) Fall? Firma A Firma B Festzins i (fix) A i (fix) B Variabel i (var) A i (var) B Aufgabe 6 (Put-Call-Parität) S C bzw. S P bezeichne den Wert eines (Bullish bzw. Bearish) Vertical Spread mit Ausübungskursen K 1 < K 2 bei Verwendung von Calls bzw. Puts (siehe Aufgabe 3 a)). Berechnen Sie S C S P, a) mittels der Put-Call-Parität b) mittels eines Arbitrageportfolios, wenn ausschließlich europäische Optionen verwendet werden. 4

5 Aufgabe 7 (Arbitrage) B C bzw. B P bezeichne den Wert eines Butterfly-Spread mit Ausübungskursen K 1 <K 2 wie in Aufgabe 3 b) bei Verwendung von (evtl. amerikanischen) Calls bzw. Puts. Die Spitze des Ertragsdiagrammes (bzw. Payoffs) liege in K. Zeigen Sie a) mittels Satz 2.11 b) mittels eines Arbitrageportfolios, dass B C bzw B P einen positiven Wert besitzt, wenn K K 1+K 2 2 bzw. K K 1+K 2 2 Berechnen Sie den Wertunterschied B C B P, wenn ausschließlich europäische Optionen verwendet werden. Aufgabe 8 (Arbitrageportfolio) Beweisen oder widerlegen Sie folgende Sachverhalte: a) Der Wert einer amerikanischen Option ist niemals niedriger als der innere Wert. Wenn darüber hinaus die Möglichkeit von Terminverkäufen oder short selling besteht, ist der Wert einer Kaufoption sogar niemals niedriger als S K q t D für nicht dividendengeschützte Optionen. Dabei steht q für den (stetigen) Zinsfaktor und D für den Barwert aller Dividenden. b) Der Wert einer Kaufoption ist niemals höher als der Aktienkurs bzw. bei Verkaufsoptionen niemals höher als der Ausübungskurs. Gilt dies für jedes underlying? Aufgabe 9 (Arbitrage) Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen mittels Arbitrage: Der Wert eines Bullish Vertical Spread ist nichtnegativ, falls a) ausschließlich Calls b) ausschließlich Puts verwendet werden. Aufgabe 1 (Bild, Urbild) a) Berechnen und skizzieren Sie für die Funktion f : Ê Ê mit f(x) := 1 6 x (x+5) (x 4) die Mengen und f([ 6,4[),f([ 6,[),f([ 5,4[),f([ 5,[) f 1 ([ 3,6[),f 1 ([,6[),f 1 ([, 3[) gilt. 5

6 b) Sei f : M 1 M 2 eine Abbildung und seien A,B bzw. C,D Teilmengen von M 1 bzw. M 2. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen gelten: i) f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D) ii) f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D) iii) f(a B) = f(a) f(b) iv) f(a B) f(a) f(b) Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass in biv) die Gleichheit i.a. nicht gilt. Aufgabe 11 (Messbare Funktionen) a) Seien A und B zwei σ-algebren in Ω mit A B. Zeigen Sie, dass aus der A-Messbarkeit einer Funktion f : Ω Ê die B-Messbarkeit von f folgt. b) Eine Indikatorfunktion M : Ω Ê ist genau dann A-messbar, wenn M A gilt. c) Zeigen Sie, dass f : Ω Ê genau dann A-messbar ist, wenn eine der folgenden vier äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: i) α Ê : {f α} A ii) α Ê : {f α} A iii) α Ê : {f > α} A iv) α Ê : {f < α} A Hinweis: Verwenden Sie die Gleichung {f > α} = k=1 {f α+ 1 k } d) Seien f,g : Ω Ê zwei A-messbare Funktionen. Zeigen Sie, dass die Mengen {f < g},{f g},{f = g} und {f g} in A liegen. Bemerkung: {f < g} ist die Kurzdarstellung der Menge {ω Ω f(ω) < g(ω)}. Die übrigen Mengen sind analog zu verstehen. Hinweis: Verwenden Sie die Gleichung {f < g} = {f<r} {r<g} r É Aufgabe 12 (Messbare Funktionen) f, g : Ω Ê seien A-messbare Funktionen. Beweisen Sie folgende Aussagen: a) Für alle α,β Ê ist auch α+β g messbar. b) f +g ist messbar. Hinweis: Wenden Sie Teil a) und Aufgabe 11 d) an. c) f 2 ist messbar. Hinweis: {f 2 α} = { f α } { f α } für α>. 6

7 d) f g ist messbar. Hinweis: f g = 1 4 (f+g)2 1 4 (f g)2 e) Ist (f k ) k=1 eine Folge messbarer Funktionen, so ist auch supf k messbar. k Æ Hinweis: {supf k α} = {f k α} k=1 Aufgabe 13 (Ereignisse, Wahrscheinlichkeitsmaß) Im Folgenden sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) gegeben (siehe Definition 3.4). a) Beweisen Sie folgende Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes P. 1) P(A B)+P(A B) = P(A)+P(B) 2) A B P(A) P(B) 3) A B P(B\A) = P(B) P(A) b) Für eine aufsteigende Folge von Mengen ( ) A l definiert man lim A l=1 l := A l. l l=1 Zeigen Sie, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß P stetig ist. D.h. für jede monoton wachsende Folge A 1 A 2 A 3... von Ereignissen aus A, gilt lim P(A l) = P(lim A l ). l l Hinweis: Man verwende die Mengen B i mit B 1 := A 1 und B i := A i \A i 1 für i 2 und beachte A l = B l. l=1 l=1 Aufgabe 14 (Stieltjes-Integrale) Die Funktionen f, g : [ 1, 1] Ê seien definiert durch { { für 1 x für 1 x < f(x) := g(x) := 1 für < x 1 1 für x 1. Untersuchen Sie, welche der folgenden Stieltjes-Integrale existieren, und berechnen Sie gegebenenfalls deren Wert: a) 1 f(x) dg(x) b) 1 Aufgabe 15 (Stieltjes-Integrale) f(x) dg(x) c) 1 1 f(x) dg(x) d) Für x Ê seien die Funktionen F, H, G, L wie folgt definiert: { für x<1 F(x) := H(x) := F(2x+5) 1 für x 1 G(x) := { ln(x) für x> 2 i L(x) := sonst {i Æ,i x} 1 g(x) df(x) 7

8 a) Berechnen Sie die folgenden Stieltjes-Integrale. i) xdf(x) ii) xdh(x) iii) xdg(x) Ê Ê Ê b) Existieren die folgenden Integrale? i) 1 xdl(x) ii) x dl(x) iii) L(x)dx iv) iv) 1 e 1 1 x dl(x) L(x) dl(x) Aufgabe 16 (Riemann-Stieltjes-Integrale) Berechnen Sie die folgenden Riemann-Stieltjes-Integrale: a) b) c) d) 2 π 2π 2 2 tdt 2, 2 t 2 dt 2, cos(t)dsin(t), 2 π ( t 8 +2t 6 3t 4 +4t 2 +1 ) dt 2 ( sin 5 (t)+3sin 6 (t) ) dsin(t) { falls t π 2 sin(t) dg(t) mit g(t) = π 1 falls <t 2π 2 t+2 falls 2 t 1 t 2 dg(t) mit g(t) = 2 falls 1 <t< t 2 +3 falls t 2 Hinweis: Man stelle den Integrator g in der Form g(t) = g 1 (t)+g 2 (t) dar, wobei g 1 stetig und g 2 stückweise konstant ist. Aufgabe 17 (Wahrscheinlichkeitsmaße) Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der σ-algebra der Borelmengen in Ê. Wir definieren Ω p := { ω Ê µ({ω}) > } a) Was gibt die Menge Ω p an? b) Zeigen Sie, dassω p höchstens abzählbar unendlich ist. Welche Bedeutung hat dies für die zu µ gehörende Verteilungsfunktion F : Ê [,1] mit F(x) := µ ({ ],x] })? Hinweis: Man zeige zunächst, dass die Mengen A l = { 1 ω Ê < µ({ω}) } 1 l+1 l für jedes l Æ nur endlich viele Elemente enthalten und dass Ω p = A l gilt. Aufgabe 18 (Normalverteilung, Log-Normalverteilung) Sei Z eine N µ,σ 2-verteilte Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ϕ µ,σ 2. l=1 a) Folgern Sie aus + ϕ,1 (t)dt = 1 die Aussage + df Z (t) = 1. 8

9 b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen Z und e Z. c) Zeigen Sie, dass α Z+β eine N αµ+β,α 2 σ2-verteilte Zufallsvariable ist. d) Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable Y := e Z eine Wahrscheinlichkeitsdichte p Y mit folgendem Aussehen besitzt: p Y (x) = 1 x ϕ µ,σ 2 ( ln(x) ) falls x > falls x Aufgabe 19 (Verteilungsfunktionen) a) Sei Z : Ω [, + [ eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter Θ, d.h. es gelte: F Z (x) = P ( {Z x} ) = x i) Zeigen Sie, dass Z ein Dichte besitzt. Θ e Θ t dt = 1 e Θ x ii) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y := 1 e c Z. Welche Verteilung ergibt sich speziell für c = Θ? iii) Berechnen Sie (sofern existent) Erwartungswert und Varianz von Z. iv) Zeigen Sie, dass für alle s,t P(Z s+t Z>s) = P(Z t) gilt. Interpretieren Sie diese Aussage! b) Eine Zufallsvariable Z : Ω Æ heißt Poissonverteilt mit Parameter λ, wenn gilt P ( {Z=k} ) = e λ λk k! i) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion einer mit Parameter λ Poissonverteilten Zufallsvariablen Z. ii) Zeigen Sie: Sind Z 1,Z 2 : Ω Æ unabhängige und Poissonverteilte Zufallsvariablen mit Parametern λ 1 bzw. λ 2, so ist Z 1 +Z 2 ebenfalls Poissonverteilt mit Parameter λ 1 +λ 2. iii) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz einer mit Parameter λ Poissonverteilten Zufallsvariablen. 9

10 c) Eine Zufallsvariable Z : Ω {, 1,..., n} heißt binomialverteilt mit Parametern n und p, wenn gilt P ( {Z=k} ) = ( ) n n k p k (1 p) k i) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion einer mit Parametern n und p binomialverteilten Zufallsvariablen Z. ii) Zeigen Sie: Sind Z 1 : Ω {,1,...,n 1 } und Z 2 : Ω {,1,...,n 2 } unabhängige und binomialverteilte Zufallsvariablen mit Parametern n 1 und p bzw. n 2 und p, so ist Z 1 +Z 2 ebenfalls binomialverteilt mit Parametern n 1 +n 2 und p. Hinweis: Man verwende ohne Beweis 1, dass gilt: k l= ( ) ( ) n1 n2 = l k l ( ) n1 +n 2 k iii) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz einer mit Parametern n und p binomialverteilten Zufallsvariablen. Aufgabe 2 (Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation) X,Y,X 1,...,X N bezeichnen im Folgenden Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (N Æ). a) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsvariablen i) U := α X +β (α,β Ê konstant) ii) V := X [X] iii) W := X [X] s(x) b) Schließen Sie aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ( [X1 X 2 ] ) 2 [X 2 1 ] [X 2 2], dass die Korrelation zweier Zufallsvariablen nur Werte zwischen 1 und 1 annimmt. c) Prüfen Sie folgende Gleichung auf ihre Gültigkeit: ( N ) var X i = i=1 N var(x i )+ i=1 N cov(x i,x j ) i,j=1 i j d) Beweisen Sie für unabhängige Zufallsvariablen X 1,...,X N die Gleichung ( N ) N var X i = var(x i ) i=1 i=1 1 Fans der Mathematik beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion! 1

11 Aufgabe 21 (Unabhängigkeit, Erwartungswert, Bedingte Erwartung) a) Zeigen Sie, dass zwei Ereignisse A und B genau dann unabhängig sind, wenn die von ihnen erzeugten σ-algebren unabhängig sind. b) Seien X 1 und X 2 unabhängige Zufallsvariablen auf (Ω,A,P) mit P ( {X i =1} ) = P ( {X i = 1} ) = 1 2 für i=1,2. Zeigen Sie, dass X 1, X 2 und X 1 X 2 zwar paarweise unabhängig, jedoch nicht unabhängig sind. c) Sei Z eine Zufallsvariable auf (Ω,A,P) mit [Z 2 ]<. Zeigen Sie, dass die Funktion x [ (Z x) 2] ihr Minimum im Punkt x = [Z] annimmt. Vergleichen Sie diese Eigenschaft des Erwartungswertes mit der Eigenschaft der bedingten Erwartung. Aufgabe 22 (Verteilungsfunktion, RS-Integrale) Bei einem fairen Würfel bezeichne H(n, a) die Zahl der Möglichkeiten bei n Würfen die Augensumme a zu werfen (n Æ, a ). S n sei die Augensumme nach dem n-ten Wurf. a) Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften gelten { 1 für a {1,...,6} i) H(1,a) = für a \{1,...,6} ii) H(n+1,a) := 6 H(n, a j) j=1 iii) H(k,a) = in den Fällen a < k oder 6k < a iv) 6n a=n H(n,a) = 6 n Hinweis: Vollständige Induktion v) H(n, a) = H(n, 7n a) Hinweis: Vollständige Induktion n ( ) ( ) a 1 6l n b) Zeigen Sie, dass H(n, a) = ( 1) l gilt. n 1 l l= Hinweis: Überprüfen Sie die rekursive Eigenschaft aii). Verwenden Sie hierzu die folgenden Eigenschaften der Binomialkoeffizienten (Was bedeuten diese Aussagen im Pascalschen Dreieck?): ( ) ( ) ( ) l l l+1 + = k 1 k k m ( ) ( ) l m+1 = k k +1 k= 11

12 6 ( ) b j = r j=1 ( ) b r+1 ( ) b 6 r+1 c) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F n für die Augensumme S n! d) i) Zeichnen Sie F 3 in ein Schaubild und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Augensumme S 3 nach dem 3. Wurf zwischen 1 und 5, zwischen 1 und 2, sowie oberhalb von 15 liegt! ii) Berechnen Sie nachstehende RS-Integrale: + xdf 3 (x), + ( x [S3 ] )2 df 3 (x), + e x2 df 3 (x) Aufgabe 23 (Bedingte Erwartung) Beweisen Sie folgende Aussage: Eine I-messbare ZV Z ist genau dann gleich der bedingten Erwartung [Z I], wenn I-messbaren X : XZ dp = XZdP Ω Ω Hinweis: Beweisen Sie die Aussage zunächst für alle Treppenfunktionen X und verwenden Sie dann Satz 3.13 der Vorlesung. Aufgabe 24 (Bedingte Erwartung) Beweisen Sie folgende Eigenschaften der bedingten Erwartung (Satz 3.35 a), d), e), f)). Verwenden Sie dabei die Eigenschaften der bedingten Erwartung aus Satz a) [αz 1 +βz 2 I] = α [Z 1 I]+β [Z 2 I] Hinweis: Verwenden Sie die Linearität des Integrals. b) Ist X eine I-messbare Zufallsvariable, so gilt [X Z I] = X [Z I]. Hinweis: Beweisen Sie diese Aussage zunächst für den Fall, dass X eine Treppenfunktion ist und verwenden anschließend Satz 3.13 der Vorlesung. c) Für σ-algebren H I A gilt: [ ] [Z I] H = [Z H] (Tower Law) d) Sind die Zufallsvariable Z und die σ-algebra I stochastisch unabhängig, so gilt [Z I] = [Z]. 12

13 e) Seien X,Y Zufallsvariablen mit endlicher Varianz und den Eigenschaften [Y X] = X und [Y 2 X] = X 2. Zeigen Sie, dass X = Y fast sicher gilt. Hinweis: Betrachten Sie [(X Y) 2 ] Aufgabe 25 (Einfache symmetrische Irrfahrt) Eine faire Münze werde wiederholt geworfen. Bei Kopf gewinne Robert jeweils 1 e, bei Zahl verliere er 1e. a) Stellen Sie Roberts Ertrag X n nach dem n-ten Wurf als stochastischen Prozess dar und berechnen Sie die Mittelwert- sowie Varianzfunktion des Prozesses. b) Das Spiel werde nach dem n-ten Wurf abgebrochen. i) Wie viele verschiedene Spielerträge gibt es? ii) Wie viele verschiedene Spielverläufe sind denkbar? c) i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Roberts Ertrag nach dem 5. Wurf e beträgt? ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Robert nach dem 8. Wurf mehr als 5e gewonnen? iii) Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilungsapproximation die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Robert nach dem 1. Wurf nicht mehr als 1e verloren hat! d) Nach dem 6. Wurf hat Robert einen Ertrag von 2e erzielt. i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Robert nach dem 14. Wurf mehr als 7e gewonnen? ii) Nach dem 9. Wurf weist Roberts Ertragskonto einen Wert von 1e auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Robert nach dem 17. Wurf mehr als 6e gewonnen hat? iii) Wie hat sich Roberts Gewinnerwartung (im Vergleich zum ersten Wurf) nach dem 6. Wurf verändert? Aufgabe 26 (Arithmetischer Binomialprozess) Wir betrachten einen arithmetischen Binomialprozess X t := X + t k=1 Z k (t Æ) 13

14 mit den unabhängigen, identisch verteilten Zuwächsen (Z k ) k Æ und den Wahrscheinlichkeiten P(Z k =u) = p sowie P(Z k =d) = 1 p. a) Erzeugen Sie durch Münzwurf einen arithmetischen Binomialprozess mit p=.5, d=1 und u=2. Führen Sie konkret 3 Simulationen zu je 1 Schritten durch und dokumentieren Sie jeweils den Spielverlauf in einem Diagramm. b) Wie könnte man die Simulation verändern, um eine Wahrscheinlichkeit von p= 1, 3 p= 1 oder 6 p=1 zu erreichen? 7 Aufgabe 27 (Markoffprozess) Mit einem Würfel werde etliche Male hintereinander gewürfelt. Dabei beschreiben die Zufallsvariablen(X n ) n=1 das Ergebnis des n-ten Wurfes. Da man zusätzlich nach jedem Wurf an der Summe der bisher gewürfelten Augen interessiert ist, werden die Zufallsvariablen (S n ) n=1 eingeführt. Diese geben an, wie hoch die Augensumme nach dem n-ten Wurf ist. a) Sind die Zufallsvariablen der beiden Folgen untereinander stochastisch unabhängig? b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X n und S n in Abhängigkeit von n Æ. c) Zeigen Sie, dass (X n ) n=1 und (S n ) n=1 jeweils einen Markoffprozess bilden. Bemerkung: (X t ) t Æ heißt Markoffprozess, wenn für t 1 < t 2 < < t n < t n+1 und Ereignisse B 1,...,B n+1 A gilt: P(X tn+1 B n+1 X tn B n,...,x t1 B 1 ) = P(X tn+1 B n+1 X tn B n ) Aufgabe 28 (Lemma von Itô) Der Kurs(S t ) t einer Aktie genüge einer geometrisch Brownschen Bewegung, d.h. es gelte ds t = µ S t dt+σ S t dw t. Geben Sie folgende Prozesse in differentieller Form an: a) y t := ln(s t ). b) z t := St Θ, wobei Θ > fest. c) F t := Forward Price, bei stetigen Bestandshaltekosten b >. Aufgabe 29 (Lemma von Itô, Log-Normalverteilung) Berechnen Sie in Abhängigkeit von t den Erwartungswert und die Varianz einer in S startenden geometrischen Brownschen Bewegung (S t ) t mit ds t = µ S t dt+σ S t dw t. Hinweis: Stellen Sie S t in der Form S t = K e xt mit geeignetem allgemeinem Wiener-Prozess (x t ) 14

15 und passender Konstante K dar. Anschließend verwende man Aufgabe 18. Aufgabe 3 (Black/Scholes Differentialgleichung) a) Zeigen Sie, dass die in Satz 2.1 gefundene Funktion V K,t (S t ) = S t e (b i)t Ke it für den Wert eines Terminkontraktes mit Terminkurs K die Differentialgleichung von Black/Scholes erfüllt und der Randbedingung V(S t ) = S t K genügt. b) Berechnen Sie den Wert eines derivativen Finanzinstrumentes F vom europäischen Typ, das zum Verfallszeitpunkt t den Wert F(t ) = { 1 falls K1 S t K 2 sonst besitzt. Vorausgesetzt sei, dass das underlying S t einer geometrisch Brownschen Bewegung genügt und stetige Bestandshaltekosten b vorliegen. Aufgabe 31 (Black/Scholes, Hebel von Optionen) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen der Black/Scholes-Werte europäischer Optionen nach den Variablen S,t und T = t t und den Hebel europäischer Optionen. Hinweis: Man überlege sich zunächst, dass e bt S N (y+σ T) K N (y) = gilt. Aufgabe 32 (Exotische Option) Ein derivatives Finanzinstrument F besitze zum Verfallszeitpunkt t in Abhängigkeit vom underlying S t den pay-off (siehe nachfolgende Skizze) F t = falls S t K 1 S t K 1 falls K 1 S t K 1+K 2 2 K K 2 S t falls 1 +K 2 S 2 t K 2 falls K 2 S t Berechnen Sie den WertF t des Finanzinstrumentes zum Zeitpunktt, wenn keine vorzeitige Ausübung möglich ist, indem Sie das derivative Finanzinstrument als Summe geeigneter Puts, Calls und Bonds darstellen. Hierbei sei neben einem konstanten stetigen Zinssatz i vorausgesetzt, dass S t einer geometrisch Brownschen Bewegung ds t = µ S t dt+σ S t dw t genügt und konstante stetige Bestandshaltekosten b für S t vorliegen. 15

16 F t K 1 K 1 +K 2 2 K 2 S t Aufgabe 33 (Binomialmodell) Eine Aktie genüge einer geometrisch Brownschen Bewegung, wobei folgende Daten gegeben sind (die Prozentangaben beziehen sich jeweils auf ein Jahr): Aktienkurs: 2e,-, Volatilität: 19%, stetiger Zinssatz: 5%, stetige Bestandshaltekosten: 7% a) Bestimmen Sie unter Verwendung von 3 Zeitschritten mit Hilfe des Binomialmodells den Aktienkursbaum in der Gestalt Aktie 2 t =,1,2,3 b) Bestimmen Sie unter Verwendung des Kursbaumes aus Teil a) die Werte der folgenden drei Optionen auf diese Aktie. Beschriften Sie dabei die Knoten der Bäume mit dem jeweiligen Aktienkurs bzw. Optionswert. 16

17 i) europäischer Call, Ausübungskurs: 18 e,-, Dividende: 1 e,- zum Zeitpunkt,15, Laufzeit:,3 Jahre. Aktie Option 2 t =,1,2,3 t =,1,2,3 ii) europäischer Lookback-Put, Ausübungskurs: Maximum der angenommenen Aktienkurse, Dividende: keine, Laufzeit:,3 Jahre. Hinweis: Beachten Sie, dass aufgrund der Wegabhängigkeit des Ausübungskurses bei jedem Aktienkurs zum Verfallszeitpunkt in der Regel mehrere Werte des Payoffs der Lookback-Option berücksichtigt werden müssen. Aktie Option 2 t =,1,2,3 t =,1,2,3 17

18 iii) amerikanischer Lookback-Put, Ausübungskurs: Maximum der angenommenen Aktienkurse, Dividende: keine, Laufzeit:,3 Jahre. Aktie Option 2 t =,1,2,3 t =,1,2,3 18