Schätzer (vgl. Kapitel 1): Stichprobenmittel X N. Stichprobenmedian X N

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1 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.1 Schätzer für Lage- und Skalenparameter und Verteilungsmodellwahl Lageparameter (l(x + a) = l(x) + a): Erwartungswert EX Median von X = 1 2 -Quantil q 0,5: Ws(X q 0,5 ) = 1 2 (wenn X Dichte hat) Schätzer (vgl. Kapitel 1): Stichprobenmittel X N Stichprobenmedian X N Wenn X symmetrische Dichte hat, gilt: EX = q 0,5 Wenn X rechtsschiefe Dichte hat, gilt: EX q 0,5

2 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.2 Wenn X 1,..., X N u.i.v. normal- oder uniform-verteilt X N X N lognormal-, Weibull- oder speziell Exponential-verteilt X N X N

3 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.3 Genauer: X 1,..., X N u.i.v. Exp(λ)-verteilt EX = 1 λ, Ws(X q 0,5) = 1 e λq 0,5 = 1 2 q 0,5 = ln 2 λ = 0, 693 EX X N 0, 693 X N Skalenparameter (s(x + a) = s(x), s(c X) = c s(x), c > 0): Standardabweichung σ(x) = var X Quartilenabstand Q(X) = q 0,75 q 0,25 Schätzer (vgl. Kapitel 1): Stichprobenstandardabweichung s N Stichprobenviertelweite d v N

4 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.4 Quartile q 0,25, q 0,75 von N (µ, σ 2 ) : µ ± 0, 675 σ, da z.b. Ws(X µ+0, 675 σ) = Ws ( µ+σz µ+0, 675 σ ) = Ws(Z 0, 675) = 0, 75 mit standardnormalverteiltem Z. Quartilenabstand von N (µ, σ 2 ) : Q(X) = 1, 35 σ Für normalverteilte Daten gilt daher: d v N 1, 35 s N Exponentialverteilung: s 2 N var X = 1 λ 2 X2 N Poissonverteilung: s 2 N var X = λ X N

5 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.5 Anwendung I: Viertelweite, Ausreißer und 3 σ-regel Für N (µ, σ 2 )-verteiltes X: Quartile µ ± 0, 675 σ, Quartilenabstand Q(X) = 1, 35 σ Kapitel 1 (Boxplot): Ausreißer = Messwert, der um mehr als das 1,5 fache der Stichprobenviertelweite d v N unterhalb (oberhalb) des unteren (oberen) Viertelwerts liegt. Ws(X µ + 0, 675 σ + 1, 5 1, 35 σ) = 1 Ws(X µ + 2, 7 σ) = 1 Φ(2, 7) = 0, 0035 Ws( Ausreißer ) = 0, 007 sehr selten (7 von Tausend)

6 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.6 Qualitätskontrolle: 3 σ-regel Ws(X µ + 3 σ) = 0, 0013, Ws( X µ 3 σ) = 0, 0026 Variabilität der Produktqualität ( σ) nur so groß, dass maximal 2,6 von Tausend nicht den Ansprüchen genügen. Nicht ausreichend für Luftfahrt, Medikamentenproduktion,... Six Sigma als Firmenphilosophie im Produkt- und Prozessentwicklungsbereich (Motorola, in großem Maßstab dann bei GE) Heute: Weltweit bei zahlreichen Großunternehmen, auch im Dienstleistungssektor Von Zulieferern wird Nachweis der Six-Sigma-Qualität in den Produktionsprozessen verlangt.

7 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.7 Ws( X µ 6 σ) = 0, 00034% Anforderung: nur 3,4 von 1 Million Produkte ungenügend De facto ausschussfreie Produktion als Ziel Dazu kommen bei Produkt- und Prozessentwicklung strukturierte DMAIC-Prozesse (Define - Measure - Analyze - Improve - Control) und Prozessmanagement-Techniken zum Einsatz (Design for Six Sigma, DFSS) Statistische Toolbox: Histogramm, Paretodiagramm,... Statistische Versuchsplanung (Design of Experiments), Regressionsanalyse, Multivariate Analyse, statistische Testverfahren (F- Test, ANOVA), Wahrscheinlichkeitsnetz (Normal Plot)

8 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.8 Wahrscheinlichkeitsnetz oder Normal (probability) Plot: 1) Ordne Daten: X 1,..., X N X (1) X (2)... X (N) 2) Plotte Quantile Φ 1 ( j N ) gegen X (j), j = 1,..., N Wenn X 1,..., X N u.i.v. N (µ, σ 2 )-verteilt: Normal Plot ungefähr Gerade Wenn Daten mehr extreme Werte enthalten als normalverteilte: Normal Plot ungefähr -förmig Wenn Daten rechtsschief sind: Normal Plot gekrümmt mit nach rechts abnehmender Steigung

9 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.9

14 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.14 Probability Plots (Wahrscheinlichkeitsnetze, Wahrscheinlichkeitspapier) auch für andere Verteilungen mit Verteilungsfunktion F : Plotte Quantile F 1 ( j N ) gegen X (j), j = 1,..., N Wenn X 1,..., X N u.i.v. mit (bis auf Verschiebung und Skalierung) Verteilungsfunktion F (Beispiel Exp): Probability Plot ungefähr Gerade

15 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.15 Versuchsplanung: Modell: Regressionsgerade Y j = b 0 + b 1 x j + e j, j = 1,..., N. Mittel für N Experimente vorhanden - wie kann man x 1,..., x N so wählen, dass die Daten möglichst informativ sind? Hier: a) b 0, b 1 möglichst genau schätzen b) Gültigkeit des Modells überprüfbar ANOVA oder Varianzanalyse : Additives 2-Faktor-Modell: 2 Faktoren x, u, Daten Y x,u,j sind unabhängig, normalverteilt mit EY x,u,j = µ + α x + β u, j = 1,..., n, x = 1,..., m x, u = 1,..., m u Balanciertes Design - alle Teilstichproben haben denselben Umfang n. Teste, ob Faktor Mittelwert beeinflusst: H 0 : α 1 =... = α mx = 0 oder H 0 : β 1 =... = β mu = 0

16 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.16 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen X, Y unabhängig, wenn Ws(X A und Y B) = Ws(X A) Ws(Y B) für alle A, B Falls Dichten: p(x, y) = p x (x) p y (y) für alle x, y X, Y gemeinsam normalverteilt unabhängig unkorreliert, d.h. ρ = corr(x, Y ) = 0 Alternative: X, Y unabhängig, wenn Kenntnis von X die Einschätzung, welche Werte von Y besonders wahrscheinlich sind, nicht ändert bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingter Erwartungswert

17 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.17 Hat das Ereignis {X A} positive Wahrscheinlichkeit, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für {Y B} gegeben {X A} Ws ( Y B X A ) = X, Y unabhängig, wenn Ws ( Y B X A ) = Ws(Y B) Ws(X A und Y B) Ws(X A) für alle A, B Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann auch für Ws(X A) = 0 definiert werden. Haben X, Y zum Beispiel eine gemeinsame Dichte p(x, y), so ist die bedingte Dichte von Y gegeben X = x p(y x) = p(x, y) p x (x) und Ws ( Y B X = x ) = B p(y x)dy bedingter Erwartungswert E { Y X = x} = y p(y x)dy = beste Vorhersage für Y, wenn X = x bekannt ist.

18 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.19 Operationscharakteristik = Annahmewahrscheinlichkeit für n = 30 und n = 60, M = 0, 05N (+) bzw. M = 0, 01N (*)

19 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.20 Anwendung: Zweistufige Abnahmekontrolle Kontrollschema (X i = Ánzahl defekter in i. Stichprobe): 1) Ziehe 1. Stichprobe vom Umfang n 1 = 30 X 1 = 0 akzeptiere Lieferung X 1 = 1 ziehe 2. Stichprobe X 1 > 1 lehne Lieferung ab 2) Ziehe 2. Stichprobe vom Umfang n 2 = 60 X 2 c akzeptiere Lieferung X 2 > c lehne Lieferung ab OC M,N (c) = Ws( Lieferung wird angenommen) =? OC M,N (c) = Ws ( X 1 = 0 ) + Ws ( X 1 = 1, X 2 c ) = Ws ( X 1 = 0 ) + Ws ( X 2 c X 1 = 1 ) Ws ( X 1 = 1 )

20 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.21 OC M,N (c) = Ws ( X 1 = 0 ) + Ws ( X 2 c X 1 = 1 ) Ws ( X 1 = 1 ) X 1 ist H(n 1, M, N)-verteilt Ws ( X 1 = k ) = ( M k )( ) N M n 1 k ( N n 1 ), k = 0, 1 Wenn X 1 = 1, dann ist X 2 H(n 2, M 1, N n 1 )-verteilt Ws ( X 2 = k Ws ( X 2 c X 1 = 1 ) = X 1 = 1 ) = ( )( ) M 1 N n1 (M 1) k n 2 k ( N n1 c k=0 n 2 ), k = 0, 1,... Ws ( X 2 = k X 1 = 1 )

21 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.22 Kontingenztafeln und Unabhängigkeitstest (Skript 5.7) Zwei Merkmale mit je endlich vielen Werten a 1,..., a m bzw. b 1,..., b n. Setze X = k, wenn 1. Merkmal = a k Y = l, wenn 2. Merkmal = b l X, Y abhängig? Daten: (X 1, Y 1 ),..., (X N, Y N ) Modell: (X j, Y j ), j = 1,..., N, u.i.v. mit Werten in {(k, l), k = 1,..., m, l = 1,..., n}, Wahrscheinlichkeitsgewichte p kl = Ws ( X j = k, Y j = l ), k = 1,..., m, l = 1,..., n.

22 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.23 p kl = Ws ( X j = k, Y j = l ), k = 1,..., m, l = 1,..., n. Notation: p k = p k p kn, p l = p 1l p ml p k = Ws(X j = k), p l = Ws(Y j = l) Unabhängigkeit heißt: Für alle k, l p kl = Ws(X j = k, Y j = l) = Ws(X j = k) Ws(Y j = l) = p k p l. Für Datenanalyse reicht (wegen u.i.v.-annahme): Z kl = Anzahl der (X j, Y j ) mit X j = k und Y j = l Z kl, 1 k m, 1 l n als Tabelle mit m Zeilen und n Spalten (m n)-kontingenztafel.

23 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.24 Beispiel: X = Beurteilung der Leistung im Beruf nach 2 Jahren {1, 2, 3} Y = Studienabschlussnote {1, 2, 3} N = 400 Mitarbeiter Studium Zeilensummen Beruf Spaltensummen

24 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.25 Z l = Anzahl der j mit Y j = l, Z k = Anzahl der j mit X j = k. N = m n k=1 l=1 (m n)-kontingenztafel Z kl = m k=1 Z k = n Z l l=1 Y j n Zeilensummen 1 Z 11 Z Z 1n Z 1 X j 2. Z 21. Z Z 2n. Z 2. m Z m1 Z m2... Z mn Z m Spaltensummen Z 1 Z 2... Z n N Unter dem Modell ist Z = (Z 11, Z 12,..., Z mn ) multinomial verteilt mit Parameter (N, p 11, p 12,..., p mn ).

25 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.26 Unter der Hypothese H 0 : X j, Y j unabhängig, d.h. p kl = p k p l = p 0 kl, haben die Klassenwahrscheinlichkeiten eine bestimmte Form, die aber von unbekannten Größen abhängt Chi-Quadrat-Anpassungstest mit geschätzten Parametern p 0 kl. Schätzer für p kl, da Z kl B(N, p kl )-verteilt: ˆp kl = Z kl N Schätzer für p k, p l, da z.b. Z k B(N, p k )-verteilt ist mit p k = Ws(X j = k): ˆp k = Z k N, ˆp l = Z l N, ˆp0 kl = ˆp k ˆp l Intuition: Akzeptiere H 0, wenn ˆp kl ˆp 0 kl = ˆp k ˆp l für alle k = 1,..., m, l = 1,..., n

26 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.27 Chi-Quadrat-Statistik D = m n k=1 l=1 (Z kl N ˆp 0 kl )2 N ˆp 0 kl = m n k=1 l=1 (Z kl N 1 Z k Z l ) 2 1 N Z. k Z l Wenn H 0 wahr ist und N groß genug (Faustregel mit mn Klassen), ist D ungefähr χ 2 -verteilt, da zur Berechnung von (m 1) (n 1) insgesamt m + n 2 Parameter geschätzt werden müssen. ˆp 0 kl Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest, Niveau α Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn p kl = p k p l für alle k, l, d.h. X j, Y j abhängig D > χ 2 (m 1) (n 1),1 α X j, Y j unabhängig wobei χ 2 d,β = β-quantil der χ2 d -Verteilung.

27 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.28 Beispiel: H 0 : Leistung im Studium und im Beruf unabhängig. Z kl, Z k (Zeilensumme), Z l (Spaltensumme) direkt aus Kontingenztafel ablesbar, z.b. 1 N Z 1 Z 1 = N Z 1 Z 2 = N Z 3 Z 3 = D = (63 46, 0)2 46, = 46, = 56, = 16, 8 + (49 56, 9)2 56, (23 16, 8)2 16, 8 = 20, 34 Freiheitsgrade (m 1) (n 1) = 2 2 = 4. Für α = 0, 01 ergibt die Tabelle χ 2 4,0,99 = 13, 28 Da D > 13, 28, kann H 0 auf dem 1%-Niveau verworfen werden. Anhand der Daten sind wir ziemlich sicher, dass Leistung in Studium und Beruf etwas miteinander zu tun haben.

28 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.29 Beispiel: Nützt Airbag im PKW? N = 418 schwere Auffahrunfälle - hat der Fahrer überlebt? 2 2-Kontingenztafel mit Airbag ohne Airbag tot überlebt Erwartet unter H 0 N ˆp 0 kl 38,6 86,4 90,4 202,6 α = 1% χ 2 1,0,99 = 6, 64 D = 11, 40 > 6, 64 H 0 verwerfen auf Niveau 1% hilft beim Überleben Airbag

29 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.30 Fallstudie (Daten USA, Mitte 90er Jahre) Wie wählen Firmen der Elektronikindustrie ihre Zulieferer aus? Vergangenheit: im wesentlichen über den Preis. Im Studienzeitraum rückt Qualität in den Vordergrund. Gibt es Unterschiede zwischen kleinen und großen Firmen? 87 kleine und 123 große Firmen mit Jahresumsatz von im Durchschnitt 33 M$ bzw. 583 M$. Frage nach Reihenfolge der Bedeutung verschiedener Kriterien (Qualität, Preis, aktuelle Technik) für die Beschaffung. Gezählt wurde, wie viele Firmen einem Kriterium den 1., 2. oder 3. Rang bei der Beschaffungsentscheidung zuweisen.

30 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.31 Qualität Firmengröße Rang klein groß Preis Firmengröße Rang klein groß aktuelle Technik Firmengröße Rang klein groß m = 3, n = 2 (m 1) (n 1) = 2 Beschaffungsverfahren unabhängig von Firmengröße?

31 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.32 α = 0, 05, χ 2 2,0,95 = 5, 99 Qualität: D = 0, 991 H 0 akzeptieren Preis: D = 0, 483 H 0 akzeptieren aktuelle Technik: D = 1, 026 H 0 akzeptieren Die Daten liefern keinen Hinweis, dass es Unterschiede zwischen kleinen und großen Firmen gibt.