Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik

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1 Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Dozent: Volker Krätschmer Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, WS 2012/13

2 1. Präsenzübung Aufgabe T 1 Sei (Z 1,..., Z m) ein individuelles Modell zu einem Portfolio mit Bestandsgröße m, wobei für die Schäden der Einzelrisiken die Varianzen Var(Z 1),..., Var(Z m) existieren. Weiterhin sei π > 0 vorgegeben, und S bezeichne den Gesamtschaden des Portfolios mit Erwartungswert E[S] und Varianz Var(S). 1. Schätzen Sie mit Hilfe der Tschebycheff-Ungleichung die Ruinwahrscheinlichkeit mit Prämienzahlung π nach unten ab, wenn π < E[S] ist. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Abschätzung, die durch die Cantelli-Ungleichung gewonnen wird. 2. Schätzen Sie mit Hilfe der Tschebycheff-Ungleichung die Ruinwahrscheinlichkeit mit Prämienzahlung π nach oben ab, wenn π > E[S] ist. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Abschätzung, die durch die Cantelli-Ungleichung gewonnen wird. 3. Zeigen Sie, daß weder die Tschebycheff- noch die Cantelli-Ungleichung eine hilfreiche Abschätzung für die Ruinwahrscheinlichkeit mit Prämienzahlung π = E[S] liefert. [Hinweis: Für jede Zufallsvariable X gilt P({X > 0}) = lim k P({X 1 k })]

3 1. Präsenzübung Aufgabe T 2 Ein Versicherungsunternehmen verfügt über ein homogenes Portfolio mit 6400 Policen, sowie einer typischen Einzelschadensumme mit Erwartungswert von 5000 Euro und Standardabweichung von 720 Euro. Bestimmen Sie eine möglichst kleine Einzelprämie P, die für alle Policen gezahlt werden soll, und zu einer Ruinwahrscheinlichkeit mit akkumulierter Prämienzahlung führt, die 1 % nicht überschreiten darf. Aufgabe T 3 Sei (Z 1, Z 2, Z 3) ein individuelles Modell zu einem Versicherungsportfolio mit Bestandsgröße 3, wobei Z 1 Poi(1), Z 2 B(1, 1/4) und Z 3 U(4, 8, 12). Bestimmen Sie die Zähldichte für den Gesamtschaden. Aufgabe T 4 Seien Z 1,..., Z m unabhängige Zufallsvariablen, die identisch gemäß B(1, p) m (p ]0, 1[) sind. Zeigen Sie: Z i B(m, p). i=1

4 2. Präsenzübung Aufgabe T 5 Sei (Z 1,..., Z m) ein individuelles Modell für ein homogenes Portfolio mit typischer Schadensumme Z, deren Zähldichte p Z definiert ist durch { 1 1 : x N (x+1) p Z (x) = 2 (x+2) : otherwise. Beschreiben Sie die Verteilungen der Schadenzahl sowie der Schadenhöhe der angefallenen Schäden. Aufgabe T 6 Ein Versicherungsportfolio bestehe aus 3 Versicherungverträgen mit 3 Organisationsagenturen von Open Air Konzerten, denen eine fixierte Summe als Entschädigung für die Absage eines Konzertes auf Grund von Unwetter zugesichert wird. Alle Konzerte sollen während des Augusts stattfinden, das Risiko für Unwetter wird auf 10% Wahrscheinlichkeit eingeschätzt. Der erste Vertrag versichert 3 Konzert, mit einer Versicherungssumme von je Euro. Die anderen Agenturen organisieren gemeinsam zwei Konzerte, mit einer Versicherungssumme von je Euro für jede Agentur. Geben Sie ein geeignetes kollektives Modell für die Verteilung des Gesamtschadens an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Versicherungsunternehmen mehr als Euro Entschädigung zahlen muß. Ist hier die Wahl eines individuellen Modells sinnvoll?

5 3. Präsenzübung Aufgabe T 7 Zeigen Sie, dass die Verteilungsfamilien {B(m, p) m N, p ]0, 1[} und {Poi(λ) λ > 0} in der Panjer-Klasse enthalten sind. Bestimmen die jeweiligen Rekursionsparameter a, b. Aufgabe T 8 Ein Versicherungsunternehmen verfügt über ein Portfolio, dessen Schadenzahl Geo(1/2) verteilt ist, und dessen typische Schadenhöhe einen Erwartungswert von 5000 Euro sowie eine Standardabweichung von 720 Euro besitzt. Bestimmen Sie eine möglichst kleine Gesamtprämie Π für das Portfolio, so dass eine Ruinwahrscheinlichkeit von höchstens 1 % besteht. Aufgabe T 9 Ein Versicherungsunternehmen verfügt über ein Portfolio, dessen Schadenzahl Poi(3) verteilt ist, und dessen typische Schadenhöhe mit Wahrscheinlichkeit von 5 6 einen Betrag von Euro sowie mit Wahrscheinlichkeit von 1 6 einen Betrag von Euro annimmt. Wie große ist die Chance, keine Schadenzahlungen zu leisten, wie groß ist die Gefahr, mindestens Euro zu zahlen?

6 4. Präsenzübung Aufgabe T 10 Die Zähldichte q einer diskreten univariaten Verteilung sei definiert durch { Γ(x+10) : x N q(x) := x! Γ(10) 2 x : sonst. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz zu dieser Verteilung. Aufgabe T 11 Ein Versicherungsunternehmen verfügt über ein Portfolio, bei dem ein kollektives Modell für die Verteilung des Gesamtschadens S unterstellt sei mit Schadenzahl N, deren Verteilung zur Panjer-Klasse gehört, und typischer Schadenhöhe X, für die E[X ] = 10 4 sowie Var(X ) = 10 9 gelten soll. Weiterhin sei E[S] = und Var(S) = bekannt. Bestimmen Sie die Verteilung der Schadenzahl. Aufgabe T 12 Ein Versicherungsunternehmen verfügt über ein Portfolio, bei dem ein kollektives Modell für die Verteilung des Gesamtschadens S unterstellt sei mit Schadenzahl N Geo(1/2) und 1% Wahrscheinlichkeit für einen Schadenfall besteht, wobei dann eine Auszahlung von Euro fällig wird. Berechnen Sie 0.99(S) und vergleichen Sie den Wert mit E[S].

7 5. Präsenzübung Aufgabe T 13 Sei W eine stetig verteilte, nichtnegative Zufallsvariable mit Dichtefunktion f W, die stetig auf ]0, [ ist. Zeigen Sie: f 1. ( a > 0 : lim W (x) < ) Verteilung von W besitzt leichten Tail. x exp( ax) f 2. ( a > 0 : lim W (x) = ) Verteilung von W besitzt schweren Tail. x exp( ax) Aufgabe T 14 Sei W eine nichtnegative Zufallvariable. Entscheiden Sie, welche Art von Tail die Verteilung von W besitzt, wenn 1. W V für eine Zufallsvariable V N(µ, σ 2 ) (µ R, σ 2 ); 2. W Geo(p), p ]0, 1[; 3. W diskret Pareto-verteilt mit Parameter a > 0, c = 2, d.h. { 1 1 : x N, x 2 (x 1) p W (x) := a x a 0 : sonst definiert die Zähldichte von W.

8 6. Präsenzübung Aufgabe T Bestimmen Sie die momenterzeugende Funktion von V N(µ, σ 2 ) mit µ R und σ 2 > Bestimmen Sie alle Endlichkeitsstellen der momenterzeugenden Funktion von V Ga(α; a) mit α, a > 0. Entscheiden Sie dann, ob eine Zufallsvariable W exp(v ) einen leichten oder schweren Tail besitzt. [Bemerkung: Die Verteilung von exp(v ) ist eine sogenannte Loggamma-Verteilung] Aufgabe T 16 Sei W eine nichtnegative diskrete Zufallsvariable, für deren Zähldichte p W gilt { d (x 1) a d x a : x N, x c + 1 p w (x) := (a > 0, c N). 0 : sonst Bestimmen Sie d, und entscheiden Sie, ob die Verteilung von W einen leichten oder schweren Tail besitzt.

9 7. Präsenzübung Aufgabe T 17 Sei W Par(a, c) mit a, c > 0. Berechnen Sie die Tailfunktion von W und bestimmen Sie, wenn möglich, den Erwartungswert von W. Aufgabe T 18 Sei ( ) N, (X j ) j N ein kollektives Modell für die Verteilung des Gesamtschadens S zu einem Versicherungsportfolio. Zusätzlich besitze die typische Schadenhöhe X die Zähldichte p X, definiert durch p X (x) := { ( c ) a ( ) c a : x N, x c + 1 x 1 x 0 : sonst (a > 0, c N). 1. Berechnen Sie, wenn möglich, die mittlere Überschreitungsfunktion der typischen Schadenhöhe und untersuchen Sie deren Konvergenzverhalten für große Schwellenwerte. 2. Wird durch die vorgegebene Modellierung bei Vermutung einer Großschadenproblematik für das Versicherungsportfolio diesem Umstand Rechnung getragen?

10 8. Präsenzübung Aufgabe T 19 Sei W ein Versicherungsrisiko, dessen Zähldichte p W charakterisiert werde durch 0.80 : x = : x = 50 p W (x) := 0.04 : x = Bestimmen Sie E[W ], 0.95(W ). 2. Berechnen Sie 0.95(W ) 0.02 : x = : x = Welche Prämie ergibt sich für W gemäß des Holländischen Prämienprinzips? 4. Geben Sie für eine konkave Verzerrungsfunktion g die allgemeine Formel von ρ g (W ) an.

11 8. Präsenzübung Aufgabe T 20 (Wang Prämienprinzipien, Erweiterungen) Seien g eine Verzerrungsfunktion und für W L g := {W L Zeigen Sie 2. Beweisen Sie: ρ g (W ) := 0 F W (x) dx F W (x) dx < 1}. ρ g (W ) = g(p) für W B(1; p) mit p ]0, 1[. ρ g Prämienprinzip g(t) t für alle t ]0, 1[. 3. Weisen Sie nach, dass für α ]0, 1[ durch g(t) = 1 ]1 α,1] (t) eine Verzerrungsfunktion definiert mit L g = L 1 und α(w ) = ρ g (W ) für alle W L 1.

12 9. Präsenzübung Aufgabe T 21 Seien N 1 und N 2 die Schadenzahlen im Rahmen von kollektiven Modellen zweier Versicherungsportfolios, es gelte N i Poi(λ i ) für i = 1, 2. Bei welchem Portfolio ist die Gefahr für eine höhere Anzahl von Schadenfällen größer? Verwenden Sie für den Vergleich sowohl die übliche stochastische Ordnung als auch die Stopp-Loss Ordnung. Aufgabe T 22 Sei S L 1 der Gesamtschaden eines Versicherungsportfolios. Vergleichen Sie diesen Gesamtschaden mit seiner Nettoprämie hinsichtlich der üblichen stochastischen Ordnung sowie der Stopp-Loss Ordnung. Aufgabe T 23 Zeigen Sie 1. Für jede diskrete Zufallsvariable W mit existierendem Erwartungswert gilt x R : E[(W x) + ] = x F W (y) dy. 2. Das Holländische Prämienprinzip ist monoton bzgl. der Stopp-Loss Ordnung für Parameter γ ]0, 1].

13 10. Präsenzübung Aufgabe T 24 Zu einem Finanzrisiko liege eine Datenreihe von 100 Beobachtungen vor mit folgenden Häufigkeiten Daten Häufigkeiten Bezeichne W ein Finanzrisiko, deren Verteilung mit der empirischen Verteilung zu diesen Daten übereinstimmt. 1. Bestimmen Sie die empirische Verteilungsfunktion und die zugehörige Tailfunktion zu diesen Daten. 2. Berechnen Sie soweit wie möglich für W den Wert des konkaven Verzerrungsrisikomaßes mit konkaver Verzerrungsfunktion g. 3. Berechnen Sie 0.99(W ). 4. Ermitteln Sie soweit wie möglich für W den Wert des Holländischen Prämienprinzips mit Parameter γ ]0, 1].

14 10. Präsenzübung Aufgabe T 25 Sei S der Gesamtschaden eines Versicherungsportfolios, wobei S einen Erwartungswert besitze. Gegen einen Betrag von d ist ein Rückversicherer bereit, bei anfallenden Gesamtschadensummen über d den Differenzbetrag zu übernehmen. Gleichzeitig muß der Rückversicherer einen 1% Anteil von d an seine Anteilseigner weitergeben. 1. Stellen Sie in Abhängigkeit von d die Kostenfunktion für den Rückversicherer auf, wenn als Kosten für das Versicherungsrisiko des Rückversicherers die Nettoprämie unterstellt wird. 2. Bei welchem Betrag minimieren sich die Kosten des Rückversicherers? [Hinweis: Zeigen Sie, dass die Abbildung f : R R, definiert durch f (x) := E[(S x) + ], stetig und auf R \ N 0 differenzierbar ist mit f (x) = F S (x) für x R \ N 0.] 3. Wie groß ist der minimale Kostenbetrag?

15 11. Präsenzübung Aufgabe T 26 Sei S = m Z i der Gesamtschaden eines Versicherungsportfolios bestehend aus i=1 m Verträgen mit den individuellen Schadensummen Z 1,..., Z m. Die Gesamtprämie sei durch ein kohärentes verteilungsinvariantes Risikomaß R : X R mit R(0) 0 berechnet worden. Weiterhin seien Z 1,..., Z m X. Zeigen Sie, dass durch (R(Z 1),..., R(Z m)) eine konservative Prämienallokation von R(S) vorliegt. Aufgabe T 27 Sei (Z 1,..., Z 10) ein individuelles Modell für den Gesamtschaden S eines homogenen Versicherungsportfolios, wobei für den typischen Schaden mit einer Wahrscheinlichkeit von eine Schadensumme von Euro fällig wird. 1. Bestimmen Sie die Gesamtprämie für den Gesamtschaden S mit Hilfe des Average Value at Risk zum Niveau von Berechnen Sie die proportionale Prämienallokation zur Gesamtprämie. 3. Wann ist die proportionale Prämienallokation optimal? Wählen Sie für die zufälligen Gewichte des entsprechenden Optimierungsproblems den Ansatz W i := h i (Z i ).

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